一道課本習(xí)題的探究及思考

☉浙江省杭州市余杭實(shí)驗(yàn)中學(xué) 王國(guó)軍

一道課本習(xí)題的探究及思考

☉浙江省杭州市余杭實(shí)驗(yàn)中學(xué) 王國(guó)軍

一、背景

著名數(shù)學(xué)教育家波利亞說：“一個(gè)專心認(rèn)真?zhèn)湔n的教師能夠拿出一個(gè)有意義的但不復(fù)雜的題目去幫助學(xué)生挖掘問題的各個(gè)方面，使得通過這道題，就好像通過一道門戶，把學(xué)生引入一個(gè)完整的理論領(lǐng)域.”學(xué)生的思維是靈動(dòng)的和多向的，教師要不斷地激發(fā)他們的興趣，拓展他們的思維空間，使他們的潛能得到最大限度的發(fā)展.而對(duì)課本習(xí)題進(jìn)行變式探究是一條十分有效的途徑.通過改變條件，讓學(xué)生對(duì)滿足不同條件的情況作出正確的分析；通過改變結(jié)論等培養(yǎng)學(xué)生推理、探索的能力；通過推廣引申，使學(xué)生在深入探究中認(rèn)清問題的本質(zhì).這些變式探究可以培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力，使學(xué)生的認(rèn)知能力得到較大地提高，有效地提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.下面筆者以一道解析幾何題為例，談一談變式探究的方法和自己的教學(xué)思考.

二、題目

已知△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是（-5，0），（5，0），且AC，BC所在直線的斜率之積等于m（m≠0），試探求頂點(diǎn)C的軌跡.（新人教A版高中課本選修2-1第80頁(yè)復(fù)習(xí)參考題A組第10題）

三、探究過程

在講這道題目之前，我讓學(xué)生預(yù)習(xí)了這道題目，許多學(xué)生運(yùn)用直接法順利地完成了解答.

解：設(shè)頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x，y），

化簡(jiǎn)，得mx2-y2=25m（x≠±5，m≠0）.

分類討論如下：

（1）當(dāng)m=-1時(shí)，得x2+y2=25（x≠±5），此時(shí)C的軌跡是圓心在原點(diǎn)，半徑為5的圓（不含A和B兩點(diǎn)）；

講完這道題后，我試著問學(xué)生：分類（1）反過來成立嗎？

探究1：圓x2+y2=25上任意一點(diǎn)（除A，B之外）與A，B的連線的斜率之積為定值嗎？

學(xué)生開始積極思考和演算，很快得出結(jié)論：

當(dāng)在圓x2+y2=25上任取異于A（5，0）和B（-5，0）的一點(diǎn)M，因?yàn)锳B是直徑，直徑所對(duì)圓周角為直角，AM和BM互相垂直.所以AM與BM的斜率乘積為定值-1.

在學(xué)生嘗到一點(diǎn)收獲的甜頭后，我拋出了一個(gè)問題：圓和橢圓有非常密切的關(guān)系，橢圓是否和圓具有類似的性質(zhì)？學(xué)生在討論后形成了以下問題：

學(xué)生們經(jīng)過一番思索和演算后，形成下面的解答過程：

解：設(shè)M（x0，y0）是=1上任意一點(diǎn)，則1.①

假設(shè)kMA×kMB=m，即=m，所以

此時(shí)，我引導(dǎo)學(xué)生觀察這個(gè)定值的特征：a2=25，b2= 16，即m=-于是拋出了又一個(gè)問題：是否可以猜想：在任意橢圓的情況下也有類似結(jié)論？隨后我將問題展示在屏幕上：

在幾番討論和爭(zhēng)執(zhí)后，學(xué)生們得出了結(jié)果，我請(qǐng)一位學(xué)生把過程板書了出來：

解：設(shè)橢圓上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x0，y0），則=1.①

由題意知，A（1-a，0），A（2a，0），

沒有想到，這名學(xué)生還沒有寫完，下面就有個(gè)同學(xué)站起來說：我發(fā)現(xiàn)焦點(diǎn)在y軸上的橢圓上任意一點(diǎn)與長(zhǎng)軸端點(diǎn)連線的斜率乘積也是定值！我把他提出的問題展示在屏幕上：

然后請(qǐng)他上來板書過程如下：

解：設(shè)橢圓上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x0，y0），則=1.①由題意知，A1（0，a），A2（0，-a），

結(jié)果，學(xué)生們通過自己的探索得到這樣的結(jié)論：

（1）焦點(diǎn)在x軸上的橢圓上任意一點(diǎn)與長(zhǎng)軸端點(diǎn)連線的斜率乘積為定值

（2）焦點(diǎn)在y軸上的橢圓上任意一點(diǎn)與長(zhǎng)軸端點(diǎn)連線的斜率乘積為定值

雖然下課鈴聲響了，但學(xué)生們還沉浸在發(fā)現(xiàn)新知識(shí)的喜悅當(dāng)中，討論不休，幾個(gè)學(xué)生沖到我面前，提出了兩個(gè)新的問題：

我特別肯定了他們的積極參與思考，鼓勵(lì)他們動(dòng)手先自己算一下，然后再師生一起討論.結(jié)果第二天剛進(jìn)教室，許多學(xué)生就把他們的探究結(jié)果給我看：

解：設(shè)雙曲線上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x0，y0），則

由題意知，A1（-a，0），A2（a，0），

于是，他們得到的結(jié)論是：焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線上任意一點(diǎn)與長(zhǎng)軸端點(diǎn)連線的斜率乘積為定值.同時(shí)他們也推證了：焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線上任意一點(diǎn)與長(zhǎng)軸端點(diǎn)連線的斜率乘積為定值.因?yàn)樵谇懊嫖液蛯W(xué)生一起用“點(diǎn)差法”推證過橢圓和雙曲線中點(diǎn)弦公式，學(xué)生們還提出了橢圓和雙曲線的這四個(gè)結(jié)論和它們的中點(diǎn)弦公式完全對(duì)應(yīng)的看法.

這些結(jié)果是讓我始料不及的，盡管這些要推出來并不是很難，但學(xué)生并沒有因?yàn)槲覜]有要求就停止探索，這種精神出現(xiàn)在我的學(xué)生身上，我非常激動(dòng)！如果說前邊的探究1到3是我提出問題，學(xué)生分析回答問題，那么后面的則完全是學(xué)生積極主動(dòng)探索的結(jié)果.雖然我任教的兩個(gè)班學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)并不高，但現(xiàn)在他們積極參與的態(tài)度和獲得的結(jié)果來看，說明他們對(duì)數(shù)學(xué)的興趣很高，而且可以模仿提出一些類似的新問題，有了一定探索意識(shí).

四、幾點(diǎn)思考和感悟

通過該例題的深度剖析和變式探究，不僅鞏固、加深已學(xué)過的知識(shí)，而且汲取主干中的營(yíng)養(yǎng)，生發(fā)出新的枝葉，進(jìn)而能培育出知識(shí)和能力的參天大樹.基于以上案例分析，筆者認(rèn)為在變式教學(xué)中應(yīng)遵循如下原則.

1.內(nèi)容要有針對(duì)性

變式要有的放矢，應(yīng)根據(jù)教學(xué)目標(biāo)變式，應(yīng)根據(jù)知識(shí)點(diǎn)在整個(gè)知識(shí)結(jié)構(gòu)中的紐帶作用進(jìn)行變式，要充分了解學(xué)生的知識(shí)、方法、經(jīng)驗(yàn)、興趣和思維特點(diǎn)等，遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，在知識(shí)的易錯(cuò)、易混淆處變式，在知識(shí)交匯處變式，在思想方法交融處變式，在知識(shí)拓展延伸處變式.本題變式探究的內(nèi)容（定值問題）既是解析幾何中的核心知識(shí)點(diǎn)，并蘊(yùn)含著重要的數(shù)學(xué)思想方法，同時(shí)也是解析幾何中能推廣引申、揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)的典型素材.

2.內(nèi)容難度應(yīng)該可行

教師應(yīng)在學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi)進(jìn)行變式，過分簡(jiǎn)單的變式題組會(huì)影響學(xué)生的思維質(zhì)量，思維活動(dòng)未得到充分展開，缺乏應(yīng)有的激勵(lì)作用，難度太大的變式題組容易挫傷學(xué)生的積極性，學(xué)生難以獲得成功的喜悅.變式題組的設(shè)計(jì)要注意小坡度、密臺(tái)階，層層遞進(jìn)，螺旋上升，有利于學(xué)生逐步深入，變式既要注重面上拓展，又要注意縱向深入，發(fā)揮例題的輻射作用，促進(jìn)技能思維定式的正遷移，有效地將知識(shí)深化，把握形同質(zhì)異題的處理策略，從而達(dá)到通一類、帶一串、建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)揭示解題規(guī)律，使探究教學(xué)有效、高效.例如圍繞本題的第一問證明，筆者編制三道符合學(xué)生認(rèn)知水平、層層遞進(jìn)的變式，這三道變式題都是定值問題，筆者引導(dǎo)學(xué)生展開遞進(jìn)式探究，從而歸納提煉出解決這類問題的基本方法和策略：引進(jìn)適當(dāng)?shù)膮?shù)，運(yùn)用設(shè)而不求、整體代換的策略.

3.習(xí)題的結(jié)論可以推廣

猜想是對(duì)研究的對(duì)象和問題進(jìn)行觀察、實(shí)驗(yàn)、比較、歸納等，依據(jù)已有的知識(shí)作出符合一定經(jīng)驗(yàn)與事實(shí)的推測(cè)性想象的方式.在教學(xué)中，教師要?jiǎng)?chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)契機(jī)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行發(fā)散性思考，培養(yǎng)學(xué)生勇于猜想、推理，通過觀察、分析、比較、聯(lián)想等方式，實(shí)現(xiàn)對(duì)已有事實(shí)和結(jié)論的推廣.本題在進(jìn)行了一題多變后沒有結(jié)束探究，而是此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生猜想、引申、推廣，從而發(fā)現(xiàn)本題的一般性規(guī)律，揭示了問題的本質(zhì)，找到了該題的“題根”及源頭.學(xué)生的創(chuàng)新思維得到了升華，這對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生提出問題、發(fā)現(xiàn)問題的能力具有重要的作用.

波利亞曾形象地指出：“好的問題同某種蘑菇有些相像，它們都成堆地生長(zhǎng)，找到一個(gè)以后，你應(yīng)當(dāng)在周圍找一找，很可能附近就有好幾個(gè).”創(chuàng)新的程度直接依賴于努力鉆研的堅(jiān)韌程度.高三數(shù)學(xué)解題教學(xué)中由一個(gè)基本問題出發(fā)，運(yùn)用特殊化、一般化、分解、重組、增加背景、改編要素以及類比、聯(lián)想等思維方法，探索問題的發(fā)展變化，使我們發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)，主動(dòng)地克服思維的心理定勢(shì)，變中求進(jìn)，進(jìn)中求通，常給人以新鮮感，能夠喚起學(xué)生的好奇心和求知欲，激發(fā)其參與教學(xué)活動(dòng)的興趣和熱情，讓學(xué)生感悟到數(shù)學(xué)課堂的獨(dú)特魅力，從而拓展了學(xué)生的思維空間.