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      例談三角函數(shù)試題的求解策略

      2017-03-17 07:16:01浙江省寧??h知恩中學(xué)王麗亞
      中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2017年1期
      關(guān)鍵詞:反證法導(dǎo)數(shù)公式

      ☉浙江省寧??h知恩中學(xué) 王麗亞

      例談三角函數(shù)試題的求解策略

      ☉浙江省寧??h知恩中學(xué) 王麗亞

      近幾年來(lái),各省高考對(duì)三角函數(shù)部分的考查,在內(nèi)容、題量、分值三個(gè)方面保持穩(wěn)定的同時(shí),加重了對(duì)三角函數(shù)性質(zhì)的考查,難度適中.這樣的命題意在考查學(xué)生的計(jì)算能力、演繹推理能力、綜合應(yīng)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力以及數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用,激發(fā)了學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)的潛能.對(duì)應(yīng)思想作為數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要思想,近幾年來(lái)不斷在高考三角函數(shù)圖像與性質(zhì)的相關(guān)問(wèn)題中出現(xiàn),成為高考題型中的一個(gè)創(chuàng)新.筆者根據(jù)近幾年的教學(xué)實(shí)踐,總結(jié)了一些解決三角函數(shù)題時(shí)的基本方法,僅供參考.

      一、利用導(dǎo)數(shù)巧解三角函數(shù)題

      導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的一個(gè)很重要的工具,利用導(dǎo)數(shù)可以很容易解決函數(shù)的極值、最值和函數(shù)的單調(diào)性等問(wèn)題.三角函數(shù)作為一種特殊的函數(shù),導(dǎo)數(shù)這個(gè)工具自然也適合三角函數(shù).

      1.利用導(dǎo)數(shù)求三角函數(shù)值

      我們知道,形如y=Asin(ωx+φ)+k(y=Acos(ωx+φ)+ k)的三角函數(shù)f(x)對(duì)稱性有其特殊性:對(duì)稱軸x=x0處必為極(最)值點(diǎn),從而f′(x0)=0.

      常規(guī)解法此略,運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解此題:

      2.利用導(dǎo)數(shù)證明三角恒等式

      例2證明:sin2αsin2β+cos2αcos2β-

      分析:本題若采用常規(guī)的三角函數(shù)的化簡(jiǎn)方法,都比較復(fù)雜.考慮到要證明的結(jié)果是一個(gè)常數(shù),我們只需把左邊看成α或β的函數(shù),證明該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)恒等于零,然后取一個(gè)特殊角求出這個(gè)常數(shù)即可!

      證明:構(gòu)造函數(shù)f(α)=sin2αsin2β+cos2αcos2βcos2β.

      求導(dǎo)數(shù)得f′(α)=2sinαcosαsin2β-2cosαsinαcos2β+ sin2αcos2β=sin2α(sin2β-cos2β)+sin2αcos2β=-sin2αcos2β+ sin2αcos2β≡0,

      故f(α)為一常數(shù),

      而f(0)=cos2β-

      所以sin2αsin2β+cos2αcos2β-

      3.利用導(dǎo)數(shù)求三角函數(shù)的最值

      令f′(x)=0?bsinn+2x-acosn+2x=0?tann+2

      為方便起見(jiàn),即滿足上述方程的解為x0,由sinx和 cosx在上的單調(diào)性可知,x0為函數(shù)(fx)唯一的極小值點(diǎn),從而為最小值點(diǎn).利用解得

      從而

      二、利用對(duì)應(yīng)思想巧解三角函數(shù)問(wèn)題

      我們所說(shuō)的對(duì)應(yīng)是人的思維對(duì)兩個(gè)集合之間聯(lián)系的把握,反映的是兩個(gè)集合元素之間的關(guān)系.對(duì)應(yīng)將各種類別、各種層次的對(duì)象聯(lián)系起來(lái),呈現(xiàn)出它們之間各種各樣的屬性,使得各種數(shù)學(xué)對(duì)象能夠互相結(jié)合、互相轉(zhuǎn)化和深入.運(yùn)用對(duì)應(yīng)思想方法,通過(guò)三角函數(shù)圖像之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,求解近幾年來(lái)高考中的三角函數(shù)圖像與性質(zhì)的相關(guān)問(wèn)題,大大簡(jiǎn)化計(jì)算,起到了事半功倍的效果.

      圖1

      無(wú)論是傳統(tǒng)法還是對(duì)應(yīng)法,都很好地利用了圖像上的特殊點(diǎn).傳統(tǒng)法通過(guò)最值點(diǎn)列方程求解φ,揭示了φ的本質(zhì);而對(duì)應(yīng)法則根據(jù)函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=sinx在一個(gè)周期內(nèi)圖像特殊點(diǎn)之間一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系,結(jié)合整體思想,列出關(guān)于ω,φ的方程組求解,相比之下更為簡(jiǎn)捷、明了.

      在求解三角函數(shù)圖像以及性質(zhì)相關(guān)問(wèn)題的選擇題或填空題時(shí),在推導(dǎo)的嚴(yán)密性要求不是很高的情況下,利用對(duì)應(yīng)思想,把要研究的三角函數(shù)問(wèn)題對(duì)應(yīng)到相應(yīng)基本三角函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖像上研究,思路清晰,方法簡(jiǎn)捷,既簡(jiǎn)化了問(wèn)題,使學(xué)生把握了問(wèn)題的本質(zhì),又提高了學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)!

      三、利用換元法解三角函數(shù)題

      在解某些三角函數(shù)問(wèn)題時(shí),如果直接運(yùn)用三角公式運(yùn)算非常復(fù)雜,或無(wú)法求解.這時(shí)不妨采用換元法,溝通題設(shè)條件與所求結(jié)果(或所證結(jié)論)的關(guān)系,運(yùn)算過(guò)程就會(huì)化難為易,變繁為簡(jiǎn),使問(wèn)題順利得到解決.

      1.利用三角函數(shù)進(jìn)行換元

      =sinθcosφ+cosθsinφ=sin(θ+φ)≤1.

      通過(guò)利用三角換元進(jìn)行降次,便于用三角公式直接運(yùn)算,使證題過(guò)程變得十分順暢.

      2.利用萬(wàn)能代換公式進(jìn)行換元

      例6若tanα+secα=2,求sinα的值.

      通過(guò)利用萬(wàn)能代換公式進(jìn)行換元,使三角運(yùn)算轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算,使解題過(guò)程變煩瑣為簡(jiǎn)潔.

      四、逆向思維在解三角函數(shù)有關(guān)問(wèn)題中的應(yīng)用

      根據(jù)思維過(guò)程的指向性,思維可分為正向思維(常規(guī)思維)和逆向思維(求異思維).在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中,與逆向思維緊密聯(lián)系的有逆運(yùn)算、逆命題、反證法、分析法和充要條件等.當(dāng)一道數(shù)學(xué)題用常規(guī)思路和方法求解思維受阻而無(wú)法進(jìn)行下去時(shí),我們可以嘗試尋求另一種數(shù)學(xué)思想方法,即用逆向思維的方法來(lái)探索開(kāi)辟新的解題途徑,往往能起到意想不到的良好效果.

      1.逆運(yùn)算

      《三角恒等變換》中的和(差)角公式:

      例7求值:(1+tan1°)(1+tan2°)…(1+tan44°).

      本題是多個(gè)因式相乘,乍一看,似乎根本無(wú)法下手.其實(shí)只要靜下心來(lái)仔細(xì)觀察題目的特點(diǎn),會(huì)發(fā)現(xiàn)1°+44° =2°+43°=…=45°,而45°正好是一個(gè)特殊角,且tan45°=1,于是我們可將第一項(xiàng)與最后一項(xiàng)結(jié)合,第二項(xiàng)與倒數(shù)第二項(xiàng)結(jié)合,…,以此類推,但只做到這里,許多同學(xué)就再也進(jìn)行不下去了.這些同學(xué)能想到把首尾兩項(xiàng)相結(jié)合已經(jīng)很不錯(cuò)了,只可惜逆向思維能力欠缺,最終導(dǎo)致功虧一簣.

      解:因?yàn)椋?+tan1°)(1+tan44°)

      =1+tan1°+tan44°+tan1°tan44°

      =1+tan(1°+44°)(1-tan1°tan44°)+tan1°tan44°

      =1+1-tan1°tan44°+tan1°tan44°

      =2.

      同理可得(1+tan2°)(1+tan43°)=(1+tan3°)(1+ tan42°)=…=(1+tan22°)(1+tan23°)=2.

      所以(1+tan1°)(1+tan2°)…(1+tan44°)=222.

      二倍角正弦公式連續(xù)使用時(shí)要注意構(gòu)造余弦的二倍角關(guān)系,類似地,可以證明恒等式cosαcos2αcos4α…

      2.反證法

      反證法在解題中用途十分廣泛,在三角函數(shù)的證明中作用也是非同小可.

      例8在△ABC中,若sinA>sinB,則A>B.

      本題已知正弦值的大小,求與其所對(duì)應(yīng)角的大小關(guān)系,我們可以根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解.值得一提的是,注意自變量是否在同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi),否則先轉(zhuǎn)化再比較.

      證明(反證法):假設(shè)A≤B.

      (1)若A=B,則sinA=sinB,顯然矛盾,故A≠B.

      所以sinA<sinB,這與sinA>sinB矛盾,故A>B.

      在△ABC中,A+B<π,A<π-B,

      故sinA<sin(π-B)=sinB,

      這與sinA>sinB矛盾,故A>B.

      反證法是中學(xué)數(shù)學(xué)的一種重要思想方法,按結(jié)論的反面是否為一個(gè)時(shí)可分為歸謬法和窮舉法.一般地說(shuō),當(dāng)結(jié)論的反面比結(jié)論本身更簡(jiǎn)單或直接證明包含無(wú)限等問(wèn)題存在困難時(shí)宜采用反證法.

      總之,三角函數(shù)的三角變換涉及的公式較多,應(yīng)立足課本,在掌握這些公式的內(nèi)在聯(lián)系及推導(dǎo)過(guò)程的基礎(chǔ)上,理解并熟記這些公式,掌握公式的正用、逆用、變形用,它可以提高思維起點(diǎn),縮短思維路徑,從而使運(yùn)算流暢自然.善于運(yùn)用方程的思想,把三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)與求值問(wèn)題轉(zhuǎn)化成方程問(wèn)題求解.利用三角函數(shù)圖象熟練掌握函數(shù)性質(zhì).

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