例談三角函數(shù)試題的求解策略

☉浙江省寧?？h知恩中學(xué) 王麗亞

例談三角函數(shù)試題的求解策略

☉浙江省寧?？h知恩中學(xué) 王麗亞

近幾年來(lái)，各省高考對(duì)三角函數(shù)部分的考查，在內(nèi)容、題量、分值三個(gè)方面保持穩(wěn)定的同時(shí)，加重了對(duì)三角函數(shù)性質(zhì)的考查，難度適中.這樣的命題意在考查學(xué)生的計(jì)算能力、演繹推理能力、綜合應(yīng)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力以及數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用，激發(fā)了學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)的潛能.對(duì)應(yīng)思想作為數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要思想，近幾年來(lái)不斷在高考三角函數(shù)圖像與性質(zhì)的相關(guān)問(wèn)題中出現(xiàn)，成為高考題型中的一個(gè)創(chuàng)新.筆者根據(jù)近幾年的教學(xué)實(shí)踐，總結(jié)了一些解決三角函數(shù)題時(shí)的基本方法，僅供參考.

一、利用導(dǎo)數(shù)巧解三角函數(shù)題

導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的一個(gè)很重要的工具，利用導(dǎo)數(shù)可以很容易解決函數(shù)的極值、最值和函數(shù)的單調(diào)性等問(wèn)題.三角函數(shù)作為一種特殊的函數(shù)，導(dǎo)數(shù)這個(gè)工具自然也適合三角函數(shù).

1.利用導(dǎo)數(shù)求三角函數(shù)值

我們知道，形如y=Asin（ωx+φ）+k（y=Acos（ωx+φ）+ k）的三角函數(shù)f（x）對(duì)稱性有其特殊性：對(duì)稱軸x=x0處必為極（最）值點(diǎn)，從而f′（x0）=0.

常規(guī)解法此略，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解此題：

2.利用導(dǎo)數(shù)證明三角恒等式

例2證明：sin2αsin2β+cos2αcos2β-

分析：本題若采用常規(guī)的三角函數(shù)的化簡(jiǎn)方法，都比較復(fù)雜.考慮到要證明的結(jié)果是一個(gè)常數(shù)，我們只需把左邊看成α或β的函數(shù)，證明該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)恒等于零，然后取一個(gè)特殊角求出這個(gè)常數(shù)即可！

證明：構(gòu)造函數(shù)f（α）=sin2αsin2β+cos2αcos2βcos2β.

求導(dǎo)數(shù)得f′（α）=2sinαcosαsin2β-2cosαsinαcos2β+ sin2αcos2β=sin2α（sin2β-cos2β）+sin2αcos2β=-sin2αcos2β+ sin2αcos2β≡0，

故f（α）為一常數(shù)，

而f（0）=cos2β-

所以sin2αsin2β+cos2αcos2β-

3.利用導(dǎo)數(shù)求三角函數(shù)的最值

令f′（x）=0?bsinn+2x-acosn+2x=0?tann+2

為方便起見(jiàn)，即滿足上述方程的解為x0，由sinx和 cosx在上的單調(diào)性可知，x0為函數(shù)（fx）唯一的極小值點(diǎn)，從而為最小值點(diǎn).利用解得

從而

二、利用對(duì)應(yīng)思想巧解三角函數(shù)問(wèn)題

我們所說(shuō)的對(duì)應(yīng)是人的思維對(duì)兩個(gè)集合之間聯(lián)系的把握，反映的是兩個(gè)集合元素之間的關(guān)系.對(duì)應(yīng)將各種類別、各種層次的對(duì)象聯(lián)系起來(lái)，呈現(xiàn)出它們之間各種各樣的屬性，使得各種數(shù)學(xué)對(duì)象能夠互相結(jié)合、互相轉(zhuǎn)化和深入.運(yùn)用對(duì)應(yīng)思想方法，通過(guò)三角函數(shù)圖像之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，求解近幾年來(lái)高考中的三角函數(shù)圖像與性質(zhì)的相關(guān)問(wèn)題，大大簡(jiǎn)化計(jì)算，起到了事半功倍的效果.

圖1

無(wú)論是傳統(tǒng)法還是對(duì)應(yīng)法，都很好地利用了圖像上的特殊點(diǎn).傳統(tǒng)法通過(guò)最值點(diǎn)列方程求解φ，揭示了φ的本質(zhì)；而對(duì)應(yīng)法則根據(jù)函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=sinx在一個(gè)周期內(nèi)圖像特殊點(diǎn)之間一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，結(jié)合整體思想，列出關(guān)于ω，φ的方程組求解，相比之下更為簡(jiǎn)捷、明了.

在求解三角函數(shù)圖像以及性質(zhì)相關(guān)問(wèn)題的選擇題或填空題時(shí)，在推導(dǎo)的嚴(yán)密性要求不是很高的情況下，利用對(duì)應(yīng)思想，把要研究的三角函數(shù)問(wèn)題對(duì)應(yīng)到相應(yīng)基本三角函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖像上研究，思路清晰，方法簡(jiǎn)捷，既簡(jiǎn)化了問(wèn)題，使學(xué)生把握了問(wèn)題的本質(zhì)，又提高了學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)！

三、利用換元法解三角函數(shù)題

在解某些三角函數(shù)問(wèn)題時(shí)，如果直接運(yùn)用三角公式運(yùn)算非常復(fù)雜，或無(wú)法求解.這時(shí)不妨采用換元法，溝通題設(shè)條件與所求結(jié)果（或所證結(jié)論）的關(guān)系，運(yùn)算過(guò)程就會(huì)化難為易，變繁為簡(jiǎn)，使問(wèn)題順利得到解決.

1.利用三角函數(shù)進(jìn)行換元

=sinθcosφ+cosθsinφ=sin（θ+φ）≤1.

通過(guò)利用三角換元進(jìn)行降次，便于用三角公式直接運(yùn)算，使證題過(guò)程變得十分順暢.

2.利用萬(wàn)能代換公式進(jìn)行換元

例6若tanα+secα=2，求sinα的值.

通過(guò)利用萬(wàn)能代換公式進(jìn)行換元，使三角運(yùn)算轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算，使解題過(guò)程變煩瑣為簡(jiǎn)潔.

四、逆向思維在解三角函數(shù)有關(guān)問(wèn)題中的應(yīng)用

根據(jù)思維過(guò)程的指向性，思維可分為正向思維（常規(guī)思維）和逆向思維（求異思維）.在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，與逆向思維緊密聯(lián)系的有逆運(yùn)算、逆命題、反證法、分析法和充要條件等.當(dāng)一道數(shù)學(xué)題用常規(guī)思路和方法求解思維受阻而無(wú)法進(jìn)行下去時(shí)，我們可以嘗試尋求另一種數(shù)學(xué)思想方法，即用逆向思維的方法來(lái)探索開(kāi)辟新的解題途徑，往往能起到意想不到的良好效果.

1.逆運(yùn)算

《三角恒等變換》中的和（差）角公式：

例7求值：（1+tan1°）（1+tan2°）…（1+tan44°）.

本題是多個(gè)因式相乘，乍一看，似乎根本無(wú)法下手.其實(shí)只要靜下心來(lái)仔細(xì)觀察題目的特點(diǎn)，會(huì)發(fā)現(xiàn)1°+44° =2°+43°=…=45°，而45°正好是一個(gè)特殊角，且tan45°=1，于是我們可將第一項(xiàng)與最后一項(xiàng)結(jié)合，第二項(xiàng)與倒數(shù)第二項(xiàng)結(jié)合，…，以此類推，但只做到這里，許多同學(xué)就再也進(jìn)行不下去了.這些同學(xué)能想到把首尾兩項(xiàng)相結(jié)合已經(jīng)很不錯(cuò)了，只可惜逆向思維能力欠缺，最終導(dǎo)致功虧一簣.

解：因?yàn)椋?+tan1°）（1+tan44°）

=1+tan1°+tan44°+tan1°tan44°

=1+tan（1°+44°）（1-tan1°tan44°）+tan1°tan44°

=1+1-tan1°tan44°+tan1°tan44°

=2.

同理可得（1+tan2°）（1+tan43°）=（1+tan3°）（1+ tan42°）=…=（1+tan22°）（1+tan23°）=2.

所以（1+tan1°）（1+tan2°）…（1+tan44°）=222.

二倍角正弦公式連續(xù)使用時(shí)要注意構(gòu)造余弦的二倍角關(guān)系，類似地，可以證明恒等式cosαcos2αcos4α…

2.反證法

反證法在解題中用途十分廣泛，在三角函數(shù)的證明中作用也是非同小可.

例8在△ABC中，若sinA＞sinB，則A＞B.

本題已知正弦值的大小，求與其所對(duì)應(yīng)角的大小關(guān)系，我們可以根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解.值得一提的是，注意自變量是否在同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)，否則先轉(zhuǎn)化再比較.

證明（反證法）：假設(shè)A≤B.

（1）若A=B，則sinA=sinB，顯然矛盾，故A≠B.

所以sinA＜sinB，這與sinA＞sinB矛盾，故A＞B.

在△ABC中，A+B＜π，A＜π-B，

故sinA＜sin（π-B）=sinB，

這與sinA＞sinB矛盾，故A＞B.

反證法是中學(xué)數(shù)學(xué)的一種重要思想方法，按結(jié)論的反面是否為一個(gè)時(shí)可分為歸謬法和窮舉法.一般地說(shuō)，當(dāng)結(jié)論的反面比結(jié)論本身更簡(jiǎn)單或直接證明包含無(wú)限等問(wèn)題存在困難時(shí)宜采用反證法.

總之，三角函數(shù)的三角變換涉及的公式較多，應(yīng)立足課本，在掌握這些公式的內(nèi)在聯(lián)系及推導(dǎo)過(guò)程的基礎(chǔ)上，理解并熟記這些公式，掌握公式的正用、逆用、變形用，它可以提高思維起點(diǎn)，縮短思維路徑，從而使運(yùn)算流暢自然.善于運(yùn)用方程的思想，把三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)與求值問(wèn)題轉(zhuǎn)化成方程問(wèn)題求解.利用三角函數(shù)圖象熟練掌握函數(shù)性質(zhì).