☉浙江省玉環(huán)縣玉城中學(xué)蔣克于 張夏飛
例談高考中對(duì)正、余弦定理的考查
☉浙江省玉環(huán)縣玉城中學(xué)蔣克于 張夏飛
正、余弦定理是揭示三角形邊角關(guān)系的兩個(gè)重要定理,它將三角形的邊角巧妙地結(jié)合在一起,主要作用是將已知條件中的邊角關(guān)系轉(zhuǎn)化為純邊或純角的關(guān)系,使問(wèn)題得以解決;在解題中有著廣泛的應(yīng)用,是高考中的??贾R(shí)點(diǎn),下面介紹正、余弦定理在解題中的一些應(yīng)用,供參考.
正、余弦定理是三角形邊、角的混合關(guān)系,用定理能將已知條件轉(zhuǎn)化為純邊(或純角)的關(guān)系,從而判斷三角形的形狀.
即a2sinBcosA=b2sinAcosB.
所以sinAsinB(sinAcosA-sinBcosB)=0,
又A,B∈(0,π),所以sinA≠0,sinB≠0.
所以sin2A-sin2B=0.
因此△ABC為等腰三角形或直角三角形.
即a2sinBcosA=b2sinAcosB.
即(a2-b2)(a2+b2-c2)=0,
所以a=b或a2+b2=c2.
因此△ABC為等腰三角形或直角三角形.
判斷三角形形狀,通常用兩種常用方法:1.統(tǒng)一轉(zhuǎn)化為純角,再判斷(如解法1);2.統(tǒng)一轉(zhuǎn)化為純邊,再判斷(如解法2).
解三角形是指已知兩邊一角(或二角一邊或三邊),求其他三個(gè)元素問(wèn)題的過(guò)程,進(jìn)而求出三角形的三線(高線、角平分線、中線)及周長(zhǎng)等基本問(wèn)題.
由正弦定理,求出b及c,或整體求出b+c,則周長(zhǎng)為3+b+c而得到結(jié)果;由于本題是選擇題,也可用特殊化的辦法求解,取△ABC為直角三角形,則周長(zhǎng)應(yīng)為,故排除A、B、C.而選D.
解三角形時(shí),有時(shí)可用正弦定理,也可用余弦定理,同時(shí)合理運(yùn)用三角函數(shù)公式,如同角三角函數(shù)的基本關(guān)系等,解題時(shí)應(yīng)注意用哪一個(gè)定理更方便、簡(jiǎn)捷.
例3△ABC的內(nèi)角的對(duì)邊分別為a,b,c,已知a= bcosC+csinB.
(1)求B;
(2)若b=2,求△ABC的面積的最大值.
解:(1)由已知及正弦定理,得sinA=sinBcosC+sinC· sinB.①
又sinA=π-(B+C),
故sinA=sin(B+C)=sinBcosC+sinBsinC.②
由①②及C∈(0,π),得sinB=cosB.
(1)正弦定理和余弦定理并不是孤立的,解題時(shí)要根據(jù)具體題目合理運(yùn)用,有時(shí)還需要交替使用.(2)條件中出現(xiàn)平方關(guān)系多考慮余弦定理,出現(xiàn)一次式,一般要考慮正弦定理.(3)在求三角形的面積時(shí),通過(guò)正、余弦定理求一個(gè)角,兩邊乘積,是一種常見(jiàn)思路.
正、余弦定理在實(shí)際生活中有著極其廣泛的應(yīng)用,對(duì)經(jīng)過(guò)抽象、概括最終轉(zhuǎn)化為三角形中的邊、角問(wèn)題的實(shí)際應(yīng)用題的求解十分有效,下面舉兩例,以饗讀者.
1.“海上營(yíng)救”問(wèn)題
圖1
例4如圖1,某艦艇在A處,測(cè)得遇險(xiǎn)漁船在北偏東45°距離10海里的C處,此時(shí)得知該漁船正沿北偏東105°方向,以每小時(shí)9海里的速度航行,艦艇時(shí)速為21海里.問(wèn)艦艇朝什么方向前進(jìn)可以最快營(yíng)救漁船?所需時(shí)間是多少?(方向精確到1°)
解:設(shè)所需時(shí)間為t,則AB=21t,CB=9t,∠ACB=120°.
由余弦定理得(21t)2=102+(9t)2-2×10×9tcos120°.解得
2.“臺(tái)風(fēng)預(yù)報(bào)”問(wèn)題
例5在某海濱城市附近海面有一臺(tái)風(fēng),據(jù)監(jiān)測(cè),臺(tái)風(fēng)中心位于城市O(如圖2)的東偏南向300 km的海面P處,并以20km/h的速度向西偏北45°方向移動(dòng),臺(tái)風(fēng)侵襲的范圍為圓形區(qū)域,當(dāng)前半徑為60km,并以10km/h的速度不斷增大,問(wèn)幾小時(shí)后該城市開(kāi)始受到臺(tái)風(fēng)的侵襲?
解:設(shè)t小時(shí)該城市開(kāi)始受到臺(tái)風(fēng)的侵襲,
此時(shí)OQ≤10t+60.
由于PO=300,PQ=20t及cos∠OPQ=cos(θ-45°)=cosθ·
故12小時(shí)后該城市開(kāi)始受到臺(tái)風(fēng)的侵襲.
在立體幾何的問(wèn)題中,涉及一些邊長(zhǎng)的平方和關(guān)系時(shí),常常會(huì)聯(lián)想到余弦定理.
例6如圖3,在四面體ABCD中,若AB2+CD2=BD2+ AC2,試求AD與BC所成的角的大小.
分析:將AB2+CD2=BD2+AC2通過(guò)移向得CD2-BD2=AC2-AB2,可轉(zhuǎn)化為在兩個(gè)三角形中進(jìn)行處理.不妨將等式兩邊都加BC2,得CD2+ BC2-BD2=AC2+BC2-AB2,與余弦定理有點(diǎn)相似,所以可以試著用余弦定理處理.
圖3
解:由題設(shè)得CD2+BC2-BD2=AC2+BC2-AB2.用余弦定理上式即為2AC·BCcos∠ACB=2CD·BCcos∠BCD.
所以ACcos∠ACB=CDcos∠BCD.過(guò)A作AE⊥BC于E,過(guò)D作DE′⊥BC于E′,所以CE=CE′,E與E′重合,從而AE⊥BC,DE⊥BC.故AD⊥BC,即AD與BC成90°角.
有些方程組的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)與余弦定理的結(jié)構(gòu)相似,因此可以想到構(gòu)造圖形,運(yùn)用余弦定理解決.
圖4
圖5
當(dāng)要證明的不等式中含有余弦或具有一定的余弦定理的結(jié)構(gòu)時(shí),可以考慮是否使用余弦定理.
證明:因?yàn)?R(abcos C+bccos A+cacos B)=abc·
又由余弦定理,得R(a2+b2+c2)=abc·
總之,解題離不開(kāi)方法的遷移,思路的聯(lián)想和知識(shí)的交融,只要我們?cè)趯W(xué)習(xí)時(shí),注意各種公式,定理的順用、逆用和變形應(yīng)用,變換角度,縱橫聯(lián)想以及多考慮知識(shí)之間的聯(lián)系,就可以達(dá)到化抽象為具體,化繁冗為簡(jiǎn)單,活學(xué)活用的效果.