兩個積分不等式

趙顯曾

(東南大學(xué)數(shù)學(xué)系，南京210096)

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兩個積分不等式

趙顯曾

(東南大學(xué)數(shù)學(xué)系，南京210096)

[摘要]用經(jīng)典的微積分方法，證明了兩個關(guān)于定積分的嚴格不等式.

[關(guān)鍵詞]定積分； 積分不等式； 微分中值定理

1. 設(shè)非常值函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且f(0)=f(1)=0，證明

xM-|f(x)|=xM-|f(x)-f(0)|=x[M-|f′(θ1x)|]≥0;

(1)

(1-x)M-|f(x)|=(1-x)M-|f(x)-f(1)|=(1-x)[M-|f′(θ2x)|]≥0,

(2)

推論1設(shè)非常值函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且f(0)=f(1)，則有

2. 設(shè)非常值函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，且f(0)=f(1)=0，證明

則g(x)在區(qū)間[0,x0]上有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，且g(0)=g(x0)=0.由于f(x0)≠0，當(dāng)f(x0)>0時，有

所以存在δ>0，使當(dāng)0

g(x)>g(x0)=0.

因為在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的零點集合

I={x|g(x)=0, 0≤x≤x0}

是非空的閉集，故存在一點a∈I，使當(dāng)x∈(a,x0)時g(x)>0，即

而當(dāng)f(x0)<0時，同理有

由微分中值定理可知，存在ξ1∈(a,x0)，使

因為點O(0,0)，N(x0,f(x0))，P(a,f(a))三點在一直線上，有

所以

(3)

于是，存在η1∈(0,ξ1)，使

f′(ξ1)≠f′(η1).

再對f′(x)在區(qū)間[η1,ξ1]用微分中值公式，存在τ1∈(η1,ξ1)，使

0≠f′(ξ1)-f′(η1)=(ξ1-η1)f″(τ1),

可知f″(τ1)≠0.也就是說，存在τ1∈(0,x0)，使連續(xù)函數(shù)f″(x)在區(qū)間[0,ξ1]上不恒為零，有

(4)

同理可證，還存在ξ2∈(x0,1)，使

(5)

(6)

由式(3)與式(5)，可得

f(x0)-f(0)=x0f′(ξ1),

f(x0)-f(1)=(x0-1)f′(ξ2),

其中0<ξ1

f(x0)=x0f′(ξ1),

(7)

f(x0)=(x0-1)f′(ξ2).

(8)

將式(7)乘以1-x0加上式(8)乘以x0，得

因此，有

綜上，即得所證.

推論2設(shè)非常值函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，且f(0)=f(1)，則有

[參考文獻]

[1]趙顯曾.微積分教程(上冊)[M].南京：東南大學(xué)出版社，2002：170.

[收稿日期]2013-04-22

[中圖分類號]O172.2

[文獻標(biāo)識碼]C

[文章編號]1672-1454(2015)01-0078-03