新論與二次曲面有交線圓的平面的存在性

金　晶

(1.華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖北武漢430079；　2. 漢口學(xué)院公共數(shù)學(xué)部，湖北武漢430212)

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新論與二次曲面有交線圓的平面的存在性

金晶1,2

(1.華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖北武漢430079；2. 漢口學(xué)院公共數(shù)學(xué)部，湖北武漢430212)

[摘要]利用平面與球面的任何交線均為圓這一特點(diǎn)，本文研究了與橢球面、雙曲面、拋物面交線為圓的平面的存在性問題，提出了不同于旋轉(zhuǎn)變換法和二次型方法的新的更簡捷的證明方法.

[關(guān)鍵詞]二次曲面； 交線； 圓

1引言

一般地, 平面與二次曲面相交于二次曲線[1], 這種交線能否為圓, 依賴于平面與二次曲面的相對位置關(guān)系，那么交線為圓的平面存在么？ [2]利用三維空間中的旋轉(zhuǎn)變換，化空間曲線為平面曲線進(jìn)而討論曲線何時為圓，從而提出了交線為圓的平面的條件，證明了對于橢球面，雙曲面，橢圓拋物面都存在交線為圓的平面，后來，[3，4]利用二次型及特征根理論簡化了[2]的證明. 事實(shí)上，任何平面和球面交線必為圓，基于這一基本事實(shí)，我們進(jìn)一步簡化了[2]的證明過程.

2主要結(jié)論

證首先不失是一般性，可設(shè)橢球面等同于

Ax2+By2+Cz2=D,00.

先將橢球面方程改寫為Ax2+(C-B)z2+By2+Bz2=D,再取平面z=kx+l去截橢球面所得曲線為

(1)

將(1)2代入(1)1得

[A+(C-B)k2]x2+By2+Bz2+2k(C-B)xl+(C-B)l2=D，

只要此方程是球面方程，則平面z=kx+l與它的交線C一定是圓. 最簡單的方法是取

注1若A=B=C，則本身就是球了，只需取平面z=0. 若A=B≠C，只需取平面z=0.

證首先不失是一般性可設(shè)雙面等同于

Ax2+By2-Cz2=D,00，

先將橢球面方程改寫為Ax2+Ay2+(B-A)y2-Cz2=D，取平面去截雙曲面所得曲線為

(2)

將(2)2代入(2)1得

Ax2+Ay2+[(B-A)k2-C]z2+2(B-A)klz+(B-A)l2=D，

只要此方程是球面方程，則平面y=kz+l與它的交線一定是圓，若D>0,只需取

若D<0,則仍需(B-A)k2-C=A,此時可配方如下

注2若A=B，只需取平面z=0.

推論1對于二次錐面，即D=0，交線為圓的平面存在.

證首先不失一般性可設(shè)雙面等同于

Ax2+By2=2z,0

先將橢圓拋物面方程改寫為Ax2+Ay2+(B-A)y2=2z，取平面y=kz+l與橢圓拋物面的交線為

(3)

將(3)2代入(3)1得

Ax2+Ay2+(B-A)k2z2+2(B-A)klz+(B-A)l2=2z，

只要此方程是球面方程，則平面y=kz+l與它的交線一定是圓，只需取

注3若A=B，只需取平面為z=0.

3應(yīng)用

例1求與橢球面x2+3y2+2z2=9交線為圓的平面.

解首先將橢球面改寫為方程x2+2y2+2z2+y2=9，取平面y=kx+l去截橢球面所得曲線為

(4)

將(4)2代入(4)1得(k2+1)x2+2y2+2z2+2kxl+l2=9，為了使上述方程表示某一球面，只需令k2=1,l=0，即所求平面為y=±x.

注4為了驗(yàn)證例1結(jié)論的正確性，下面用坐標(biāo)變換下證明曲線

是圓.

證首先構(gòu)造旋轉(zhuǎn)變化

(5)

在此變換下，坐標(biāo)系O-xyz中的平面y=±x化為新坐標(biāo)系O-x′y′z′中坐標(biāo)平面y′=0從而交線

由坐標(biāo)系O-xyz中的空間曲線轉(zhuǎn)化為新坐標(biāo)系O-x′y′z′中坐標(biāo)平面y′=0上的平面曲線.在新坐標(biāo)系O-x′y′z′中曲線C化為

[參考文獻(xiàn)]

[1]樊惲，劉宏偉. 線性代數(shù)與解析幾何教程[M].北京：科學(xué)出版社，2009.

[2]馬淑云，劉長保. 與二次曲面有交線圓的平面的存在性[J]. 南都學(xué)壇, 2001,(3):19-26.

[3]馬淑云.再論與二次曲面有交線圓的平面[J]. 南陽師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2003,(9):1-6.

[4]周華生. 用特征根求二次曲面圓截面方程[J]. 大學(xué)數(shù)學(xué), 2004, (20):109-112.

New Theory on the Existence of Plane Which Intersects

with Quadric Surfaces in a Circle

JINGJin1,2

(1. College of Mathematics and Statistics, Central China Normal University, Wuhan 430079, China;

2. Mathematics Department of Public, Hankou University, Wuhan 430212, China)

Abstract:Using the characteristic that plane intersects with sphere in a circle, this article studied the existence of plane which intersects with ellipsoid, hyperboloid, parabolic surfaces in a circle. Especially, we introduce an easier method to prove this existence result.

Key words:quadric surfaces ; intersection line ; circle

[收稿日期]2014-11-12

[中圖分類號]O182.2

[文獻(xiàn)標(biāo)識碼]C

[文章編號]1672-1454(2015)01-0110-03