復(fù)平面上正多邊形的判定及應(yīng)用

蔣巧云，　袁邢華

(南通大學(xué)理學(xué)院，江蘇南通226007)

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復(fù)平面上正多邊形的判定及應(yīng)用

蔣巧云，袁邢華

(南通大學(xué)理學(xué)院，江蘇南通226007)

[摘要]結(jié)合教學(xué)給出復(fù)平面上n個(gè)點(diǎn)成為正多邊形的條件，最后討論它的一些應(yīng)用.

[關(guān)鍵詞]復(fù)平面； 正多邊形； n次方根

1引言

設(shè)z為復(fù)數(shù)，n為正整數(shù)，方程ωn=z的任一解稱為z的一個(gè)n次方根，其全部n次方根為

本文在第二部分先討論一般情況，對(duì)于復(fù)平面上n(n≥3)個(gè)點(diǎn)z1,z2,…,zn，在哪些條件下可以保證n(n≥3)個(gè)點(diǎn)z1,z2,…,zn是內(nèi)接于圓的一個(gè)正n邊形的頂點(diǎn).然后討論當(dāng)n=4和n=5時(shí)的情況，給出另外一個(gè)形式的等價(jià)條件.

在本文的第三部分簡(jiǎn)單討論它的一些應(yīng)用.

希望通過本文的討論，在今后的教學(xué)過程中更加全面深入的講解這部分知識(shí)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，幫助學(xué)生更好地理解和掌握相關(guān)的內(nèi)容.

2主要結(jié)果與證明

在這部分，先給出如下記號(hào)：設(shè)復(fù)平面上n(n≥3)個(gè)點(diǎn)z1,z2,…,zn，令

(1)

則z1,z2,…,zn是中心在原點(diǎn)的正n邊形的n個(gè)頂點(diǎn).

證由于z1,z2,…,zn是n次多項(xiàng)式

f(z)=(z-z1)(z-z2)…(z-zn)=zn-T1zn-1+T2zn-2-…+(-1)n-1Tn-1z+(-1)nTn

的根.

f(z)=zn+(-1)nTn=zn+(-1)nz1·z2·…·zn，

即z1,z2,…,zn是方程zn=(-1)n-1z1·z2·…·zn的n個(gè)根. 由引言知，這n個(gè)復(fù)數(shù)根均勻的分布在以原點(diǎn)為中心的正n邊形的頂點(diǎn)上.

定理2對(duì)于復(fù)平面上四個(gè)點(diǎn)z1,z2,z3,z4，如果滿足條件

則z1,z2,z3,z4是內(nèi)接于單位圓的一個(gè)正四邊形的頂點(diǎn).

證由于z1,z2,z3,zn是4次多項(xiàng)式

f(z)=(z-z1)(z-z2)(z-z3)(z-z4)=z4-T1z3+T2z2-T3z+T4

知T2=0.再由定理1知z1,z2,z3,z4是內(nèi)接于單位圓的一個(gè)正四邊形的頂點(diǎn).

定理3對(duì)于復(fù)平面上五個(gè)點(diǎn)z1,z2,z3,z4,z5，如果滿足條件

則z1,z2,z3,z4,z5是內(nèi)接于單位圓的一個(gè)正五邊形的頂點(diǎn).

證由于z1,z2,z3,z4,z5是5次多項(xiàng)式

f(z)=(z-z1)(z-z2)(z-z3)(z-z4)(z-z5)=z5-T1z4+T2z3-T3z2+T4z-T5

例判斷以下幾組點(diǎn)是否構(gòu)成正多邊形：

解i) 經(jīng)計(jì)算

故z1,z2,z3,z4是內(nèi)接于單位圓的一個(gè)正四邊形的頂點(diǎn).

3應(yīng)用

在這部分中我們討論對(duì)于給定的多項(xiàng)式如何判斷它的根是否可以構(gòu)成一個(gè)正多邊形.

設(shè)f(z)=zn+a1zn-1+a2zn-2+…+an-1z+an的n個(gè)復(fù)根為z1,z2,…,zn，由根與系數(shù)的關(guān)系知z1+z2+…+zn=-a1. 而由z1,z2,…,zn組成的多邊形的中心

g(z)=zn+a′1zn-1+a′2zn-2+…+a′n-1z+a′n.

若a′k=0,k=1,2,…,n-1，a′n≠0則原多項(xiàng)式的n個(gè)復(fù)根z1,z2,…,zn構(gòu)成一個(gè)正n邊形，否則不能.

例不求方程的根，判斷下列多項(xiàng)式的根是否可以構(gòu)成一個(gè)正多邊形

i)f1(z)=z4+4z3+6z2+4z+2；

ii)f2(z)=z5-5z4+10z3-10z2+6z+1.

解i) 由于f1(z)的四個(gè)根組成的四邊形的中心為-1，故經(jīng)過坐標(biāo)平移后

故f1(z)的四個(gè)根構(gòu)成一個(gè)正四邊形

ii) 由于f2(z)的五個(gè)根組成的四邊形的中心為1，故經(jīng)過坐標(biāo)平移后

故f2(z)的五個(gè)根不能構(gòu)成一個(gè)正五邊形.

[參考文獻(xiàn)]

[1]鐘玉泉. 復(fù)變函數(shù)論[M]. 3版. 北京:高等教育出版社, 2004.

[2]余家榮. 復(fù)變函數(shù)論[M]. 3版. 北京:高等教育出版社, 2000.

[3]路見可,鐘可壽，等. 復(fù)變函數(shù)論. (第二版)[M]. 2版. 武漢:武漢大學(xué)出版社, 2007.

The Decision to Regular Polygons in Complex Plane and Application

JIANGQiao-yun,YUANXing-hua

(College of Science, Nantong University, Nantong,Jiangsu 226007， China)

Abstract:Connect with teaching we give the condition to n-pionts be a regular polygons in Complex plane and talk about the application.

Key words:complex plane; regular polygons; n-th root

[基金項(xiàng)目]南通大學(xué)教學(xué)改革課題(2014B7)

[收稿日期]2011-04-22

[中圖分類號(hào)]O174.5

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]C

[文章編號(hào)]1672-1454(2015)01-0113-03