• <tr id="yyy80"></tr>
  • <sup id="yyy80"></sup>
  • <tfoot id="yyy80"><noscript id="yyy80"></noscript></tfoot>
  • 99热精品在线国产_美女午夜性视频免费_国产精品国产高清国产av_av欧美777_自拍偷自拍亚洲精品老妇_亚洲熟女精品中文字幕_www日本黄色视频网_国产精品野战在线观看 ?

    橢球面上平面曲線類型的閉測地線

    2016-01-28 02:27:20旭,
    大學數(shù)學 2015年1期
    關(guān)鍵詞:橢球面

    姜 旭, 張 量

    (安徽師范大學數(shù)學計算機科學學院,蕪湖241000)

    ?

    橢球面上平面曲線類型的閉測地線

    姜旭,張量

    (安徽師范大學數(shù)學計算機科學學院,蕪湖241000)

    [摘要]通過對橢球面上平截線的研究, 找出了橢球面上所有平面曲線類型的閉測地線.

    [關(guān)鍵詞]橢球面; 平面曲線; 閉測地線

    1引言

    測地線是平面上的直線在一般曲面上的推廣, 其物理意義在于光滑曲面上的質(zhì)點(除約束力外,不受其它外力)的運動軌跡即為測地線[1]. 研究曲面上的測地線一直是經(jīng)典微分幾何的一個重要課題.熟知球面上的測地線有且僅有大圓[1], 然而對于橢球面, 情況復雜得多,文獻[2]給出了推導橢球面上測地線微分方程的一種方法.今本文主要討論橢球面上平面曲線類型的測地線, 通過研究橢球面與平面交線的幾何性質(zhì), 找到了橢球面上所有平面曲線類型的閉測地線. 需要說明的是本文關(guān)于某些復雜幾何量的計算中利用了數(shù)學軟件Maple, 這一現(xiàn)代數(shù)學軟件已廣泛地運用于微分幾何的研究中[3]. 此外本文約定三維歐式空間3中總是取直角坐標系Oxyz. 本文獲得的結(jié)果具體如下.

    對于旋轉(zhuǎn)橢球面, 其上所有平面曲線類型的閉測地線由下述定理給出.

    定理2經(jīng)線和半徑最大的緯圓是旋轉(zhuǎn)橢球面上僅有的兩類平面曲線類型的閉測地線.

    2預備知識

    這一部分我們回憶三維歐式空間中曲線和曲面微分幾何的一些基本理論.

    設α(s)是S上一條以弧長為參數(shù)的曲線, 則α的測地曲率定義為

    這里( , , )表示向量的混合積, “·”表示關(guān)于弧長參數(shù)的導數(shù).特別地, 如果α的測地曲率恒為零, 則稱α為S上的一條測地線[4].

    設S為3中的正則曲面, r(u,v)為S的一個參數(shù)表示, 則S的單位法向量場n,可如下計算:

    (2.1)

    其中ru,rv分別為r(u,v)關(guān)于u,v的偏導數(shù).

    下面的引理告訴我們?nèi)绻恋膮?shù)不是弧長參數(shù), 仍可通過計算相應的混合積判斷其是否為測地線.

    引理2.1設S為3中的正則曲面,n為S的單位法向量場,又設α(t)為S上的一條正則參數(shù)曲線(t未必為弧長參數(shù)), 則α為S的一條測地線當且僅當沿著α有(n,α′,α″)=0.

    證設s為α的弧長參數(shù), 直接計算可得

    從而

    本文主要結(jié)論的證明還需要如下兩個引理.

    引理2.2[5]旋轉(zhuǎn)曲面上的經(jīng)線均為測地線, 緯圓為測地線當且僅當其上每點沿經(jīng)線的切線與旋轉(zhuǎn)軸平行.

    引理2.3[4](Gauss-Bonnet)設S是具有定向n的正則曲面,Ω是S上的一個正則區(qū)域,邊界?Ω是由有限條互不相交的分段正則簡單閉曲線C1,C2,…,Cn組成,且θ1,θ2,…,θp為C1,C2,…,Cn的所有外角,則

    其中s為Ci的弧長參數(shù),κg為邊界了?Ω的測地曲率,K為Ω的Gauss曲率,χ(Ω)為區(qū)域Ω的Euler示性數(shù).

    3主要結(jié)論的證明

    定理1的證明設α是橢球面S上的平面曲線類型的閉測地線, 首先證明α所在的平面必過3的原點, 即橢球面中心, 否則α所在平面將橢球面分成兩個大小不同的區(qū)域, 取其中較大的區(qū)域, 記為Ω. 熟知橢球面S的全曲率為?SKdA=4π, 即

    ?ΩKdA+?SΩKdA=4π,

    由橢球面的對稱性并注意到Ω為橢球面上的較大區(qū)域,SΩ較小, 因此必有

    ?ΩKdA>?SΩKdA,

    從而

    ?ΩKdA>2π,

    (3.1)

    設過原點的平面π的一般方程為Ax+By+Cz=0.[6]橢球面S與平面π交線α的參數(shù)表示為[7]:

    α(t)=(a(a1cost+a2sint),b(b1cost+b2sint),c(c1cost+c2sint)).

    (3.2)

    其中

    r1=(a1,b1,c1),r2=(a2,b2,c2)

    (3.3)

    為齊次線性方程aAx+bBy+cCz=0的兩個單位正交的解向量, 直接計算有

    已知橢球面S的參數(shù)表示為

    r(u,v)=(asinucosv,bsinusinv,ccosu),

    兩邊分別對u,v求導可得

    ru=(acosucosv,bcosusinv,-csinu),

    rv=(-asinusinv,bsinucosv,0).

    根據(jù)(2.1)可得

    注意到α(t)為橢球面上的一條曲線, 因此存在函數(shù)u(t)和v(t)滿足

    a1cost+a2sint=sinu(t)cosv(t),

    b1cost+b2sint=sinu(t)sinv(t),

    c1cost+c2sint=cosu(t).

    此時沿著平截線α變化的單位法向量可化簡為

    根據(jù)引理2.1可知,若曲線α為橢球面S的測地線, 則沿著α有(n,α′,α″)=0.以下利用數(shù)學軟件Maple求解混合積(n,α′,α″). 方便起見, 將該混合積記為KG. 在Maple中運行程序段

    >with(LinearAlgebra):

    >n:=:

    alpha:=:

    >alphaa:=map(diff,alpha,t):

    >alphaaa:=map(diff,alphaa,t):

    >KG:=simplify(DotProduct(CrossProduct(n,alphaa),alphaaa,conjugate=false));

    返回結(jié)果

    (3.4)

    其中

    若α為測地線, 則U=0. 其充要條件為

    (3.5)

    (3.6)

    下面分兩種情形討論:

    (i) 當A,B不同時為零時, 此時在(3.3)中取

    (3.7)

    (3.8)

    其中P=(a2A2+b2B2+c2C2)(a2A2+b2B2).將(3.7), (3.8)代入(3.5), (3.6), 得到

    (3.9)

    (3.10)

    由于a,b,c兩兩互異且均大于零, 根據(jù)(3.10)知C=0或者

    又根據(jù)(3.9)可知A,B有且僅有一個為零, 故A=C=0或B=C=0, 即交線α為橢球面與坐標軸平面xOz,yOz的交線.

    (ii) 當A=B=0時, 平面π的一般方程為z=0. 此時橢球面S與平面π交線α的參數(shù)表示為α(t)=(acost,bsint,0). 此時在(3.3)中可取

    a1=1,b1=0,c1=0,a2=0,b2=1,c2=0.

    (3.11)

    將(3.11)代入(3.5), (3.6), 可以發(fā)現(xiàn)兩式恒成立, 因此α即橢球面與xOy平面的交線為橢球面上的測地線.證畢.

    對于旋轉(zhuǎn)橢球面, 由引理2.2可知其上所有的經(jīng)線及最大的緯圓必為測地線, 以下可以進一步證明這兩類曲線還是旋轉(zhuǎn)橢球面上僅有的平面曲線類型的閉測地線.

    定理2的證明設α是橢球面S上的平面曲線類型的閉測地線, 類似于定理1的證明可知α所在的平面必過3的原點, 即橢球面中心.

    Ax+By+Cz=0.

    由(3.5),(3.6)可得

    又a≠c, 且均大于零, 則

    a2b1-a1b2=0,

    (3.12)

    c1=c2=0.

    (3.13)

    下面將分兩種情形對旋轉(zhuǎn)橢球面上平面型閉測地線進行分析.

    (i) 當A,B不同時為零時,c2≠0,則將(3.7),(3.8)代入(3.12),可得

    則C=0,此時交線α為橢球面與過z軸的平面的交線, 即經(jīng)線.

    (ii) 當A=B=0時, 將(3.11)代入(3.12),(3.13), 可以發(fā)現(xiàn)兩式恒成立.此時交線α為橢球面與坐標軸平面xOy的交線.證畢.

    [參考文獻]

    [1]孟道驥, 梁科. 微分幾何[M]. 北京: 科學出版社, 2008.

    [2]馬力. 簡明微分幾何[M]. 北京: 清華大學出版社, 2004.

    [3]John Oprea. Differential geometry and its application[M]. Washington DC: The Mathematical Association of America, 2007.

    [4]Do Carmo Manfredo P.Differential Geometry of Curves and Surfaces[M]. Englewood Cliffs NJ: Prentice-Hall, Inc, 1976.

    [5]黃保軍. 特殊曲面上測地線的幾何特征[J]. 大學數(shù)學, 2007, 28(4): 6-9.

    [6]陳志杰. 高等代數(shù)與解析幾何(下)[M]. 北京: 高等教育出版社, 2001.

    [7]任行者, 李長文. 用代數(shù)方法確定空間圓的參數(shù)方程[J]. 淮陰師范學院教育科學論壇, 2007, 9(3):67-70.

    Planar Closed Geodesics on Ellipsoids

    JIANGXu,ZHANGLiang

    (School of Mathematics and Computer Science, Anhui Normal University, Wuhu 241000,China)

    Abstract:We determine all the planar closed geodesics on ellipsoids by studying the intersections of ellipsoids and planes.

    Key words:ellipsoid; plane curve; closed geodesic

    [收稿日期]2014-07-19

    [中圖分類號]O186.11

    [文獻標識碼]C

    [文章編號]1672-1454(2015)01-0116-05

    猜你喜歡
    橢球面
    幾種新型異形橢球面方程、幾何特征及其應用前景
    一種基于離軸橢球面的小光程差波面整形系統(tǒng)
    應用光學(2022年3期)2022-07-05 08:12:14
    空間桁架拱支單層橢球面網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)設計與分析
    大地高代替正常高在低等級公路工程測量中的應用
    全國大學生數(shù)學競賽之空間解析幾何題的特色解法
    帶電導體為橢球體的電場分布
    平面和橢球面相截所得的橢圓的參數(shù)方程及其應用
    基于華中數(shù)控宏程序三軸不等半凸型橢球曲面的加工
    運用Matlab討論橢球面性質(zhì)
    橢球面上的等角剖分、共形映射與建筑造型
    日日干狠狠操夜夜爽| 免费人成视频x8x8入口观看| 亚洲欧美成人综合另类久久久 | 麻豆av噜噜一区二区三区| av在线天堂中文字幕| 国产av在哪里看| 免费人成在线观看视频色| 欧美丝袜亚洲另类| 乱人视频在线观看| 国产不卡一卡二| 亚洲电影在线观看av| 在线播放无遮挡| 亚洲婷婷狠狠爱综合网| 亚洲精品久久久久久婷婷小说 | 国产美女午夜福利| 亚洲五月天丁香| 色综合站精品国产| 精品久久久久久久久亚洲| 寂寞人妻少妇视频99o| 国产成人一区二区在线| 日韩视频在线欧美| 精品日产1卡2卡| 给我免费播放毛片高清在线观看| 日韩成人av中文字幕在线观看| 99热只有精品国产| 亚洲自拍偷在线| 午夜a级毛片| 看非洲黑人一级黄片| 欧美三级亚洲精品| 熟妇人妻久久中文字幕3abv| 中文在线观看免费www的网站| 免费在线观看成人毛片| 99国产精品一区二区蜜桃av| 色哟哟·www| 亚洲欧美成人综合另类久久久 | 亚洲人成网站在线播放欧美日韩| 国产精品不卡视频一区二区| 久久久a久久爽久久v久久| 极品教师在线视频| 成人性生交大片免费视频hd| 一个人观看的视频www高清免费观看| 国产成人福利小说| 一区福利在线观看| 欧美日韩一区二区视频在线观看视频在线 | 日韩制服骚丝袜av| 国产精品无大码| 亚洲欧美日韩东京热| 久久久久久久久久久丰满| 最近手机中文字幕大全| 亚洲熟妇中文字幕五十中出| 男人舔奶头视频| 天天一区二区日本电影三级| 丝袜喷水一区| 少妇人妻精品综合一区二区 | 最近2019中文字幕mv第一页| 亚洲av熟女| 国产私拍福利视频在线观看| 三级国产精品欧美在线观看| 午夜视频国产福利| 欧美成人精品欧美一级黄| 国产成人影院久久av| 91久久精品国产一区二区三区| 少妇人妻一区二区三区视频| 1000部很黄的大片| 免费观看在线日韩| 亚洲电影在线观看av| 国产成人精品久久久久久| 欧美日韩综合久久久久久| 黄色配什么色好看| 熟妇人妻久久中文字幕3abv| 亚洲,欧美,日韩| av在线亚洲专区| 在线播放无遮挡| 在线播放无遮挡| 在线国产一区二区在线| 免费人成在线观看视频色| 国产探花在线观看一区二区| 精品久久久久久久久久免费视频| 欧美高清性xxxxhd video| 国产精品伦人一区二区| 国产黄色视频一区二区在线观看 | 一个人免费在线观看电影| a级毛片a级免费在线| 国产国拍精品亚洲av在线观看| 日韩三级伦理在线观看| 爱豆传媒免费全集在线观看| 久久精品国产清高在天天线| 草草在线视频免费看| 久久精品夜夜夜夜夜久久蜜豆| 婷婷六月久久综合丁香| 男女做爰动态图高潮gif福利片| 国产精品久久久久久精品电影| 欧美bdsm另类| 精品一区二区免费观看| 久久精品夜夜夜夜夜久久蜜豆| 一区二区三区高清视频在线| av天堂在线播放| 亚洲中文字幕日韩| 成年版毛片免费区| 欧美日本视频| 中文字幕久久专区| 亚洲人成网站高清观看| 国产av一区在线观看免费| 国内精品一区二区在线观看| 久久精品夜色国产| 久久久国产成人免费| 男插女下体视频免费在线播放| 日韩av在线大香蕉| 免费大片18禁| 国产精品三级大全| 久久6这里有精品| 一个人观看的视频www高清免费观看| 国产国拍精品亚洲av在线观看| 变态另类成人亚洲欧美熟女| 亚洲av二区三区四区| 国产精品国产高清国产av| 亚洲欧美日韩东京热| 日韩,欧美,国产一区二区三区 | 日本一本二区三区精品| 久久草成人影院| 给我免费播放毛片高清在线观看| 亚洲欧美清纯卡通| 欧美成人一区二区免费高清观看| 搡老妇女老女人老熟妇| 我要搜黄色片| 久久久精品欧美日韩精品| 色综合站精品国产| 成人特级av手机在线观看| 国产成人福利小说| 国产一区二区亚洲精品在线观看| 99在线人妻在线中文字幕| 国产男人的电影天堂91| 黑人高潮一二区| 五月玫瑰六月丁香| 久久人人爽人人爽人人片va| 九色成人免费人妻av| 国产国拍精品亚洲av在线观看| 久久中文看片网| 亚洲18禁久久av| 九色成人免费人妻av| 97在线视频观看| 亚洲无线在线观看| 男女边吃奶边做爰视频| or卡值多少钱| 一级毛片久久久久久久久女| 日本av手机在线免费观看| 国产黄色小视频在线观看| 搡老妇女老女人老熟妇| 99热精品在线国产| av在线老鸭窝| 亚洲三级黄色毛片| 久久久欧美国产精品| 亚洲国产日韩欧美精品在线观看| 久久久久久久久久成人| 欧美日韩国产亚洲二区| .国产精品久久| 天堂中文最新版在线下载 | 国产黄色视频一区二区在线观看 | av在线天堂中文字幕| 一边亲一边摸免费视频| 99久久中文字幕三级久久日本| 看非洲黑人一级黄片| 成人三级黄色视频| 国产乱人视频| 国内精品美女久久久久久| 欧美日韩一区二区视频在线观看视频在线 | 久久热精品热| 日本黄大片高清| 成人亚洲欧美一区二区av| 国产精品国产高清国产av| 伊人久久精品亚洲午夜| 变态另类成人亚洲欧美熟女| 国产精品久久久久久亚洲av鲁大| 草草在线视频免费看| 欧美性猛交╳xxx乱大交人| 国产亚洲精品久久久com| 欧美xxxx性猛交bbbb| 蜜桃亚洲精品一区二区三区| 乱码一卡2卡4卡精品| 在线国产一区二区在线| 欧美不卡视频在线免费观看| 亚洲电影在线观看av| 神马国产精品三级电影在线观看| www日本黄色视频网| 爱豆传媒免费全集在线观看| 亚洲无线在线观看| 日韩av在线大香蕉| 国产真实乱freesex| 欧美丝袜亚洲另类| 久久久久久久久久久丰满| 国产精品野战在线观看| 国产私拍福利视频在线观看| 有码 亚洲区| 校园人妻丝袜中文字幕| 一本久久精品| 欧美色欧美亚洲另类二区| 精品久久久久久久久久久久久| 国产av麻豆久久久久久久| 久久精品国产亚洲av涩爱 | 国产一区二区亚洲精品在线观看| 18禁在线播放成人免费| 禁无遮挡网站| 成人二区视频| 久久亚洲国产成人精品v| 一个人看视频在线观看www免费| 日本成人三级电影网站| 国产午夜精品久久久久久一区二区三区| 热99在线观看视频| а√天堂www在线а√下载| 婷婷色av中文字幕| 国产成人freesex在线| 边亲边吃奶的免费视频| 国产精品福利在线免费观看| 我要看日韩黄色一级片| 国产亚洲av嫩草精品影院| 老司机福利观看| 久久久久免费精品人妻一区二区| 亚洲精品乱码久久久久久按摩| 亚洲自偷自拍三级| 午夜a级毛片| 变态另类丝袜制服| 在线观看美女被高潮喷水网站| 国产精品久久久久久av不卡| 一本一本综合久久| 久久99热6这里只有精品| 精品人妻一区二区三区麻豆| 成人午夜精彩视频在线观看| 色综合色国产| 久久热精品热| 精品国产三级普通话版| 国产精品人妻久久久影院| 亚洲av一区综合| 亚洲欧美清纯卡通| 亚洲一区高清亚洲精品| 亚洲天堂国产精品一区在线| 亚洲国产日韩欧美精品在线观看| 欧美区成人在线视频| 国产极品天堂在线| 99热网站在线观看| а√天堂www在线а√下载| 久久国内精品自在自线图片| 女人被狂操c到高潮| 久久人妻av系列| 搞女人的毛片| 悠悠久久av| 男女下面进入的视频免费午夜| 97超视频在线观看视频| 噜噜噜噜噜久久久久久91| 好男人视频免费观看在线| 99热这里只有是精品在线观看| 欧美极品一区二区三区四区| 久久精品久久久久久久性| 99热这里只有精品一区| 久久精品国产99精品国产亚洲性色| 成人美女网站在线观看视频| 熟妇人妻久久中文字幕3abv| 熟女电影av网| 黄片无遮挡物在线观看| 国产国拍精品亚洲av在线观看| 嫩草影院新地址| 可以在线观看的亚洲视频| 国产91av在线免费观看| 波多野结衣巨乳人妻| 一级黄色大片毛片| 日日啪夜夜撸| 在线免费观看的www视频| 国产黄片视频在线免费观看| 18禁裸乳无遮挡免费网站照片| 啦啦啦啦在线视频资源| 一级毛片aaaaaa免费看小| av福利片在线观看| 日韩中字成人| 黄色视频,在线免费观看| 久久久久网色| 乱码一卡2卡4卡精品| 大香蕉久久网| 亚洲精品日韩在线中文字幕 | 日韩 亚洲 欧美在线| 亚洲天堂国产精品一区在线| 亚洲最大成人中文| 国产乱人视频| 国产一区亚洲一区在线观看| 欧美在线一区亚洲| 亚洲成a人片在线一区二区| 欧美最黄视频在线播放免费| .国产精品久久| 97超视频在线观看视频| 干丝袜人妻中文字幕| 全区人妻精品视频| 亚洲内射少妇av| 99久国产av精品| 三级男女做爰猛烈吃奶摸视频| 色哟哟·www| 特大巨黑吊av在线直播| 人体艺术视频欧美日本| 亚洲av.av天堂| 一个人观看的视频www高清免费观看| 99热全是精品| 国产成人午夜福利电影在线观看| 午夜福利高清视频| 亚洲国产欧美在线一区| 日韩高清综合在线| 色尼玛亚洲综合影院| 99久久九九国产精品国产免费| 91aial.com中文字幕在线观看| 亚洲最大成人av| 亚洲精华国产精华液的使用体验 | 嫩草影院新地址| 麻豆乱淫一区二区| 麻豆一二三区av精品| 中文字幕av成人在线电影| 亚洲内射少妇av| 老司机影院成人| 最近最新中文字幕大全电影3| 国产高清不卡午夜福利| 精品国产三级普通话版| 色播亚洲综合网| 免费黄网站久久成人精品| 亚洲第一区二区三区不卡| 久久精品国产清高在天天线| 成人特级av手机在线观看| 1024手机看黄色片| 国产色婷婷99| 日韩欧美 国产精品| 长腿黑丝高跟| 亚洲最大成人手机在线| 天堂影院成人在线观看| 三级男女做爰猛烈吃奶摸视频| 日韩精品有码人妻一区| 久久韩国三级中文字幕| 国产精品蜜桃在线观看 | 久久欧美精品欧美久久欧美| 精品久久久久久久久av| 午夜爱爱视频在线播放| 国产伦精品一区二区三区四那| 亚洲精品亚洲一区二区| 一夜夜www| 日本在线视频免费播放| 国产亚洲精品久久久久久毛片| 亚洲熟妇中文字幕五十中出| 亚洲欧美日韩高清专用| kizo精华| 少妇人妻一区二区三区视频| 日日摸夜夜添夜夜爱| 国产色婷婷99| 波多野结衣高清无吗| 听说在线观看完整版免费高清| 亚洲av电影不卡..在线观看| 人人妻人人澡人人爽人人夜夜 | 久久精品国产99精品国产亚洲性色| 人妻制服诱惑在线中文字幕| 日韩制服骚丝袜av| 99久久精品国产国产毛片| 亚洲av成人精品一区久久| 国产熟女欧美一区二区| 欧美精品国产亚洲| 51国产日韩欧美| www.av在线官网国产| 日韩制服骚丝袜av| av女优亚洲男人天堂| 国产精品人妻久久久久久| 深夜a级毛片| 午夜老司机福利剧场| 国产在线精品亚洲第一网站| 少妇人妻一区二区三区视频| 丰满乱子伦码专区| 成人性生交大片免费视频hd| 精品久久久噜噜| 成人特级黄色片久久久久久久| 国产高清激情床上av| 日本av手机在线免费观看| 国产69精品久久久久777片| 国产在线男女| 久久久久久九九精品二区国产| 少妇被粗大猛烈的视频| 九九久久精品国产亚洲av麻豆| 超碰av人人做人人爽久久| 国产精品久久久久久精品电影小说 | 亚洲成人中文字幕在线播放| 国产视频首页在线观看| 精品一区二区三区视频在线| 亚洲av成人精品一区久久| 全区人妻精品视频| 亚洲av.av天堂| 欧美在线一区亚洲| 亚洲精品456在线播放app| 国产精品不卡视频一区二区| 日韩欧美 国产精品| 亚洲18禁久久av| 久久午夜亚洲精品久久| 又黄又爽又刺激的免费视频.| 成人亚洲欧美一区二区av| 国产精品久久久久久精品电影| 一个人观看的视频www高清免费观看| 特大巨黑吊av在线直播| 日韩国内少妇激情av| 亚洲成人中文字幕在线播放| 日韩成人av中文字幕在线观看| 欧美色欧美亚洲另类二区| 久久久久久久久中文| 亚洲精品自拍成人| a级毛片a级免费在线| 午夜激情欧美在线| 国产精品人妻久久久久久| 国产精品久久久久久精品电影| 国产人妻一区二区三区在| 搞女人的毛片| 成人国产麻豆网| 亚洲成人久久爱视频| 精品少妇黑人巨大在线播放 | 国产真实伦视频高清在线观看| 日日干狠狠操夜夜爽| 精品日产1卡2卡| 高清午夜精品一区二区三区 | 精品久久久久久久久久久久久| 麻豆久久精品国产亚洲av| 99九九线精品视频在线观看视频| 欧美极品一区二区三区四区| 免费观看在线日韩| 亚洲精品国产成人久久av| 成人鲁丝片一二三区免费| 三级男女做爰猛烈吃奶摸视频| АⅤ资源中文在线天堂| 麻豆av噜噜一区二区三区| 亚洲经典国产精华液单| 亚洲国产欧美在线一区| 亚洲成a人片在线一区二区| 国产精品国产高清国产av| 深夜精品福利| 欧美色欧美亚洲另类二区| 日本爱情动作片www.在线观看| 国产黄色视频一区二区在线观看 | 成人午夜精彩视频在线观看| 在线免费观看的www视频| 欧美成人精品欧美一级黄| 成人特级黄色片久久久久久久| 久久中文看片网| 国产一级毛片在线| 一进一出抽搐gif免费好疼| 一级二级三级毛片免费看| 国产av一区在线观看免费| 国产爱豆传媒在线观看| 日韩成人av中文字幕在线观看| 中文在线观看免费www的网站| 在线观看av片永久免费下载| 日本爱情动作片www.在线观看| 真实男女啪啪啪动态图| 人人妻人人澡欧美一区二区| 一本久久中文字幕| 天堂网av新在线| 国产三级在线视频| 一级毛片我不卡| 18+在线观看网站| 精品一区二区免费观看| 三级毛片av免费| 亚洲经典国产精华液单| 97在线视频观看| 亚洲不卡免费看| 中文字幕av成人在线电影| 欧美在线一区亚洲| 99久久精品一区二区三区| 最新中文字幕久久久久| 成人av在线播放网站| 国产毛片a区久久久久| 少妇的逼好多水| 久久精品国产99精品国产亚洲性色| 高清午夜精品一区二区三区 | 午夜视频国产福利| 久久精品国产自在天天线| 亚洲欧美日韩高清专用| 看免费成人av毛片| 波多野结衣高清作品| 极品教师在线视频| 12—13女人毛片做爰片一| 亚洲aⅴ乱码一区二区在线播放| 国产伦精品一区二区三区四那| 亚洲欧美成人综合另类久久久 | 久久国内精品自在自线图片| 欧美+日韩+精品| 国产高清视频在线观看网站| 性欧美人与动物交配| 欧美最新免费一区二区三区| 色综合亚洲欧美另类图片| 99riav亚洲国产免费| 欧美另类亚洲清纯唯美| 1000部很黄的大片| 天美传媒精品一区二区| 中文字幕人妻熟人妻熟丝袜美| 91午夜精品亚洲一区二区三区| 亚洲欧美日韩卡通动漫| 午夜精品一区二区三区免费看| 村上凉子中文字幕在线| 亚洲高清免费不卡视频| 天堂av国产一区二区熟女人妻| 国产一区二区三区av在线 | 亚洲精华国产精华液的使用体验 | 99热全是精品| 亚洲成人av在线免费| 国产精品爽爽va在线观看网站| 精品久久久噜噜| 成人国产麻豆网| 成熟少妇高潮喷水视频| 日韩精品青青久久久久久| 久久久色成人| 亚洲经典国产精华液单| 成人漫画全彩无遮挡| 啦啦啦观看免费观看视频高清| 一区福利在线观看| 麻豆精品久久久久久蜜桃| 寂寞人妻少妇视频99o| 性插视频无遮挡在线免费观看| 亚洲无线观看免费| 长腿黑丝高跟| 国产乱人偷精品视频| 91av网一区二区| 亚洲成人久久爱视频| 在线天堂最新版资源| 色播亚洲综合网| 亚洲国产日韩欧美精品在线观看| 国产成年人精品一区二区| 成人亚洲精品av一区二区| 日产精品乱码卡一卡2卡三| 国产老妇伦熟女老妇高清| 小说图片视频综合网站| 亚洲七黄色美女视频| 国产精品不卡视频一区二区| 亚洲av成人av| 国产av一区在线观看免费| 五月伊人婷婷丁香| 久久久久性生活片| 我的老师免费观看完整版| 一区二区三区免费毛片| 中国美白少妇内射xxxbb| 色哟哟·www| 国产成人a区在线观看| 最新中文字幕久久久久| 久久精品久久久久久久性| 1000部很黄的大片| 一本久久中文字幕| 免费无遮挡裸体视频| 精品免费久久久久久久清纯| 成人午夜精彩视频在线观看| 亚洲自偷自拍三级| 精品人妻一区二区三区麻豆| 日韩中字成人| 麻豆av噜噜一区二区三区| 大型黄色视频在线免费观看| 亚洲va在线va天堂va国产| 亚洲色图av天堂| 少妇猛男粗大的猛烈进出视频 | 国产精品人妻久久久久久| 噜噜噜噜噜久久久久久91| 最近最新中文字幕大全电影3| 久久久成人免费电影| 国产在视频线在精品| 99久久中文字幕三级久久日本| 最近最新中文字幕大全电影3| 国产精品免费一区二区三区在线| 99热这里只有是精品50| 久久久久久久久久黄片| 国产成人a区在线观看| av又黄又爽大尺度在线免费看 | 欧美激情在线99| 不卡视频在线观看欧美| 综合色丁香网| 国产伦一二天堂av在线观看| 激情 狠狠 欧美| 国产成人午夜福利电影在线观看| 有码 亚洲区| 免费人成在线观看视频色| 波多野结衣高清作品| 免费一级毛片在线播放高清视频| 久久久久久国产a免费观看| 99热精品在线国产| 免费电影在线观看免费观看| 高清在线视频一区二区三区 | 成人高潮视频无遮挡免费网站| 免费看美女性在线毛片视频| 欧美日本视频| 国产视频首页在线观看| 午夜免费男女啪啪视频观看| 丰满乱子伦码专区| 看黄色毛片网站| 色综合站精品国产| 午夜免费男女啪啪视频观看| 欧美性猛交黑人性爽| 国产精品人妻久久久久久| 激情 狠狠 欧美| 91精品一卡2卡3卡4卡| 欧美性感艳星| 国产成人一区二区在线| 校园人妻丝袜中文字幕| 亚洲欧美日韩东京热| 女人十人毛片免费观看3o分钟| 国产精品一区二区三区四区免费观看| 69av精品久久久久久| 国产黄片美女视频| videossex国产| 国产熟女欧美一区二区| 日本欧美国产在线视频| 三级国产精品欧美在线观看| 简卡轻食公司| 国内少妇人妻偷人精品xxx网站| 在线免费十八禁| 亚洲精品乱码久久久久久按摩| 午夜激情欧美在线| 欧美日本亚洲视频在线播放| 亚洲精品456在线播放app| 久久精品国产自在天天线| 99久久人妻综合| 99热只有精品国产| 亚洲丝袜综合中文字幕| 欧美性猛交黑人性爽| 日韩欧美在线乱码| 国产精品爽爽va在线观看网站|