全國大學生數(shù)學競賽之空間解析幾何題的特色解法

黃晴 黃浩 盧衛(wèi)君

【摘要】在全國大學生數(shù)學競賽中，空間解析幾何具有幾何直觀性，是參賽選手重點攻克并較容易取得分值的題型.由此，保證參賽學生在考試中能夠準確切入題目并拿下可觀分值，成為指導教師研究的一個重要主題.一個重要的思路是由圖形認知題目，利用幾何不變量進行刻畫.基于此角度，本文針對第八屆、第九屆全國大學生數(shù)學競賽預賽題的空間解析幾何題給出個人特色解答版本，同時與官方解答版本做對比.特色解答是面向讀者群體的精細版本，旨在突出解答的想法、思路和解答過程的程序細節(jié)，與官方證法相比，優(yōu)勢在于可讀性更強、更接近教材，學生更容易看得懂.

【關(guān)鍵詞】橢球面;單葉雙曲面;隱函數(shù)應用;二次曲線的分類;特色解法

【基金項目】廣西高等教育本科教學改革工程項目（編號：2017JGA173）;2016廣西民族大學教改工程項目（編號：2016XJGY25）.

一、引 言

全國大學生數(shù)學競賽是數(shù)學學科極具影響力的全國性高水平競賽，旨在激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣及選拔數(shù)學創(chuàng)新型人才.賽題的綜合性需要學生有扎實的數(shù)學功底以及較強的綜合分析能力.本文以第八屆、第九屆全國大學生數(shù)學競賽預賽題的空間解析幾何題為例，給出個人特色解答以期推動同學們的學習與思考.在第八屆全國大學生數(shù)學競賽預賽的光線照射題[1]中，由于光線照射會出現(xiàn)一個切平面，因而，不考慮采用中學解一元二次方程的方法求出交點，而是利用隱函數(shù)在幾何上的應用來分析切平面、切點及其走勢，用梯度去擺平切平面上的法向量，幾何與數(shù)學分析的結(jié)合使其更容易理解，同學們也便于記憶.在第九屆全國大學生數(shù)學競賽預賽的空間平面與曲面相交問題[2]中，我們利用平面上拋物線的不變量特征進行求解，相對官方版本，先求出平面的法向量，再求解法線與z-軸的交角，更為簡單易懂.

二、實例分析Ⅰ

下面例題來自第八屆全國大學生數(shù)學競賽預賽試卷第一題，屬于空間解析幾何部分.

四、結(jié) 語

通過以上題目的分析，我們知道要靈活解決解析幾何問題，需要重視二次曲面、二次曲線的相關(guān)知識，同時融合高等代數(shù)的矩陣、行列式、特征方程及特征值，數(shù)學分析的梯度、偏導數(shù)及隱函數(shù)（組）的幾何應用[3]（包括平面曲線的切線與法線、空間曲線的切線與法平面、曲面的切平面與法線）.為了保證參賽時有強大的理論知識支撐而不至于巧婦難為無米之炊，同學們首先要夯實基礎(chǔ)，注重相關(guān)重要知識要點的記憶.分析題目時應注重大學三高課程（高等代數(shù)、數(shù)學分析和空間解析幾何）間知識的互相滲透，通過題目已知條件以及知識點的思考，總結(jié)并形成合適的解題方法.

【參考文獻】

[1]中國大學大學生數(shù)學競賽資源網(wǎng)——競賽試題[OL].http：//www.cmathc.cn/article/list_2_2.html.

[2]中國大學大學生數(shù)學競賽資源網(wǎng)——競賽試題[OL].http：//www.cmathc.cn/article/list_2.html.

[3]華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析：第4版[M].北京：高等教育出版社，2001.

[4]呂林根，許子道.解析幾何[M].北京：高等教育出版社，2005.

[5]李勇，伍日清，羅群.全國大學生數(shù)學競賽題的分析[J].數(shù)學學習與研究，2014（5）：119-120.