帶電導(dǎo)體為橢球體的電場(chǎng)分布

張拴柱

（長(zhǎng)治學(xué)院 電子信息與物理系，山西 長(zhǎng)治 046011）

在一般的電磁學(xué)教科書中，討論帶電導(dǎo)體球的例題、習(xí)題很多，但對(duì)帶電橢球體的問題并沒有涉及到，原因是橢球體問題需要用到的數(shù)學(xué)知識(shí)復(fù)雜一些，因此一般的電磁學(xué)教科書避而不談。文章采用橢球坐標(biāo)系，對(duì)橢球體外場(chǎng)的分布以及其他的一些問題展開討論。

1 帶電導(dǎo)體橢球體的場(chǎng)分布

設(shè)：在真空中有一帶電量為Q的導(dǎo)體橢球體，其橢球面方程為：

在橢球坐標(biāo)系中，點(diǎn)M在空間的橢球坐標(biāo)系，是這樣的三個(gè)有序數(shù)（ξ，η，ν），它與直角坐標(biāo)系的關(guān)系是：

坐標(biāo) ξ，η，ν滿足

在橢球坐標(biāo)系中，坐標(biāo)曲面分別是：

ξ=常數(shù)：為橢球面

η=常數(shù)：為單葉雙曲面

ν=常數(shù)：為雙葉雙曲面

橢圓坐標(biāo)系的拉梅系數(shù)

其中，

在橢球坐標(biāo)系中，電勢(shì)φ的拉普拉斯方程[1]為

φ的邊界條件是：在（1）式的橢球面上φ為常數(shù)，而在遠(yuǎn)離導(dǎo)體橢球非常遠(yuǎn)處φ應(yīng)該趨于點(diǎn)電荷或帶電球體、帶電球面的電勢(shì)。

在一族橢球面即方程（6）中，當(dāng)ξ=0就是帶電橢球體的橢球面方程，在橢球面上電勢(shì)φc是與η、ν均無關(guān)的常量，因此，如果φ只是ξ的函數(shù)，就可以滿足上面所說的邊界條件。這時(shí)拉普拉斯方程（12）式變?yōu)椋?/p>

解方程（14）得：

式中D是積分常數(shù)，由邊界條件確定。

再由E=-▽?duì)湛汕蟮秒妶?chǎng)強(qiáng)度為：

由（16）式可得：

電勢(shì)等勢(shì)面：

由于 φ=φ（ξ）只是一元函數(shù)，當(dāng) φ= 常數(shù)時(shí)，則一定有ξ=常數(shù)，而ξ=常數(shù)，則為一族橢球面組成

即上式為所求的電勢(shì)等勢(shì)面。

電力線：

由正交曲線坐標(biāo)系知識(shí)可知，電力線應(yīng)該滿足微分方程

由于 Eη=0，所以 dη=0，則 η=常數(shù)，而 η=常數(shù)，對(duì)應(yīng)是一族單葉雙曲面

同理，由于 Eν=0，所以 dν=0，則 ν=常數(shù)，而 ν=常數(shù)，對(duì)應(yīng)的是一族雙葉曲面

而式（22）和（23）組成聯(lián)立方程，即兩族曲面的相交線就是所求的空間電力線的分布函數(shù)。

下面把電勢(shì)、電場(chǎng)強(qiáng)度表達(dá)式由橢球面坐標(biāo)系改寫為直角坐標(biāo)系，并且確定積分常數(shù)D。

由正交曲線坐標(biāo)系變換規(guī)則[3]可知，

由（2）式和（9）式可求得：

同理，根據(jù)（3、（4））和（10）、（11）式可求得：

由（19）式得：

若場(chǎng)點(diǎn)在橢球面上時(shí)，取ξ=0，

把 η，ν換成 x，y，z表示出來

上式過渡的球面時(shí)，則取a=b=c=R

而半徑為R的帶電荷Q的球面公式

（33）式（34）比較可得：

（35）式代入（16）、（19）和（29）式，至此可寫出橢球體外電勢(shì)和電場(chǎng)強(qiáng)度公式

由（38）式進(jìn)行一些討論：

當(dāng)ξ=0時(shí)，即是帶電導(dǎo)體橢球面任一點(diǎn)的場(chǎng)

當(dāng)ξ=ξ時(shí)，即ξ取任意一個(gè)值時(shí)，則它代表的是一族橢球面中的某一個(gè)橢球面，而在這個(gè)橢球面上任一點(diǎn)的場(chǎng)可以表達(dá)為：

其實(shí)（40）式就是把（38）式中的η和ν用ξ表示出來了。而ξ的意義根據(jù)文獻(xiàn)[2]可知，與（1）式共焦的二次曲面

中，λ的三個(gè)互不相等的實(shí)根，三個(gè)實(shí)根大小次序選為ξ＞η＞ν，經(jīng)過空間任一點(diǎn)的三個(gè)曲面（42），其中對(duì)應(yīng)于λ=ξ的一個(gè)根是橢球，對(duì)應(yīng)于λ=η的一個(gè)根是單葉雙曲面，對(duì)應(yīng)于λ=ν的一個(gè)根是雙葉雙曲面[2]。

2 帶電導(dǎo)體橢球面上的電荷分布

由電磁場(chǎng)邊值關(guān)系

由（9）、（18）、（35）式得：

代入（43）式得：

（31）代入（45）式得：

幾個(gè)特殊點(diǎn)的情況：

（1）在x軸上兩個(gè)端點(diǎn)，即x=±a，y=z=0

（2）在y軸上兩個(gè)端點(diǎn)，即y=±b，x=z=0

（3）在z軸上兩個(gè)端點(diǎn)，即z=±c，x=y=0

由此看出，因?yàn)閍＞b＞c，所以曲率大的地方，電荷密度越大，如x軸兩端點(diǎn)，反之，曲率小的地方，電荷密度越小，如z軸兩端點(diǎn)。

如果是球體時(shí)，x2+y2+z2=R2，a=b=c=R 則

3 兩個(gè)同焦點(diǎn)橢球面組成電容器的電容量

若有兩個(gè)同焦點(diǎn)帶電導(dǎo)體橢球面構(gòu)成的電容器，方程為：

由（36）式可知，

第一個(gè)橢球面的電勢(shì)，注意：

第二個(gè)橢球面的電勢(shì)，注意：

所以橢球面構(gòu)成電容器的電容量

特殊情況下，當(dāng)a1=b1=c1=R1，a2=b2=c1=R2即兩個(gè)同心球面構(gòu)成的電容器

回到一般教科書上的結(jié)果。