二次曲線垂直切線的研究

王　慶

(蘇州市職業(yè)大學(xué)數(shù)理部, 江蘇蘇州215104)

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二次曲線垂直切線的研究

王慶

(蘇州市職業(yè)大學(xué)數(shù)理部, 江蘇蘇州215104)

[摘要]用解析幾何與射影幾何的方法討論二次曲線垂直切線交點(diǎn)的軌跡,重新證明了:橢圓、雙曲線垂直切線交點(diǎn)的軌跡是圓;拋物線垂直切線的交點(diǎn)在準(zhǔn)線上,且切點(diǎn)的連線過焦點(diǎn).

[關(guān)鍵詞]二次曲線; 射影幾何; 切線

探討平面二次曲線相互垂直切線交點(diǎn)的軌跡是平面解析幾何的一個(gè)經(jīng)典問題.文獻(xiàn)[1] p.169 題291提出橢圓的互成直角的切線的交點(diǎn)軌跡是一個(gè)圓(Jes.1884).本文首先用解析幾何與射影幾何的方法對(duì)這一結(jié)果給出詳細(xì)證明. 其次還利用射影幾何的方法研究了雙曲線及拋物線互成直角的切線的交點(diǎn)軌跡.

證法一首先用解析幾何的方法討論.

設(shè)切點(diǎn)是P(x1,y1)，P′(x2,y2)，則有

同理可得

直線AP，AP′成直角的條件是

(x1-x0)(x2-x0)+(y1-y0)(y2-y0)

這證明橢圓相互垂直的切線的交點(diǎn)在圓：x2+y2=a2+b2上.

下面用射影幾何的方法證明，證明的過程也給出許多幾何信息.所謂射影幾何的方法是把歐氏平面上的幾何問題看作拓廣平面上的問題，用射影幾何的定理性質(zhì)來解決.把歐氏平面平行的直線看做交于無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，而所有無窮遠(yuǎn)點(diǎn)構(gòu)成一條無窮遠(yuǎn)直線，可以得到拓廣歐氏平面，拓廣平面可以等同于射影平面.本文討論中所用射影幾何的概念性質(zhì)可見文獻(xiàn)[2].

圖1

證法二設(shè)ABCD是橢圓的外切矩形，P，P′分別是AB，AD上切點(diǎn).由文獻(xiàn)[2] p.186 題8，它的對(duì)角線是一對(duì)共軛直徑，交點(diǎn)O是橢圓的中心.設(shè)線段AO交PP′與橢圓于E，T，利用仿射變換及圓的性質(zhì)可以證明，OT2=OE·OA.類似設(shè)線段BO交過P，AO的平行線與橢圓于S，R，有OR2=OS·OB.

OT2=OE·OA也可以證明如下(這一方法可以用于雙曲線).

設(shè)T處切線交AB于F，OF交PP′于G，不難知道TP上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)與O，F(xiàn)共軛，是OF的極點(diǎn)，TP，F(xiàn)G的交點(diǎn)是TP的中點(diǎn).不難證明AC的極點(diǎn)是BD上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，F(xiàn)在這一無窮遠(yuǎn)點(diǎn)與T的連線上，TF，PP′平行，因此TG，AB也平行.于是

OA∶OT=OF∶OG=OT∶OE，

因而，OT2=OE·OA.

ABCD是橢圓的外切矩形，OA=OB，PP′平行于BD，PS平行于AO，AE=EP=P′E=OS，OE=SP=SB.因此，

OT2+OR2=OE·OA+OS·OB=OA·(OE+EA)=OA2.

同樣利用射影幾何的方法, 對(duì)于雙曲線可以獲得如下結(jié)果.

證明類似性質(zhì)1，證明中要用到下面的性質(zhì)，證明留給讀者.

對(duì)于拋物線相互垂直切線交點(diǎn)的軌跡問題有如下結(jié)果.

性質(zhì)4拋物線相互垂直切線的交點(diǎn)在準(zhǔn)線上，且切點(diǎn)的連線過焦點(diǎn).

對(duì)于這一結(jié)果仍可用射影幾何的方法加以證明, 關(guān)鍵在于拋物線的如下兩個(gè)性質(zhì).

性質(zhì)5設(shè)兩條拋物線有相同的焦點(diǎn)與對(duì)稱軸，過焦點(diǎn)的直線與拋物線交于四點(diǎn)，則過此四點(diǎn)的切線構(gòu)成一個(gè)矩形，它的一條對(duì)角線過焦點(diǎn)(見文獻(xiàn)[1] p.145 題2).

設(shè)∠APF=α，如圖，過拋物線Γ1的頂點(diǎn)S作切線交PA于T.由文獻(xiàn)[2] p.209 例5，PT⊥TF，∠SFP=2∠TFP=π-2α.同理設(shè)∠FQ′B=β，如圖，過拋物線Γ2的頂點(diǎn)X作切線交BQ′于Y，則∠XFQ′=π-2β.從∠PFS=∠XFQ′可得α=β，直線PA與BQ′平行，ADBC是矩形，它的頂點(diǎn)A，B分別在拋物線Γ1與Γ2的準(zhǔn)線上.

圖2

性質(zhì)6設(shè)A是拋物線上點(diǎn)B，C處切線的交點(diǎn)，過拋物線上點(diǎn)P的切線分別交AB，AC于X，Y，過P的直徑交BC于Z，則AXZY是平行四邊形.如果BC過拋物線的焦點(diǎn)，則AXZY是矩形.

圖3

[參考文獻(xiàn)]

[1]科克肖特A，沃爾特斯F B. 圓錐曲線的幾何性質(zhì)[M]. 蔣聲譯.上海：上海教育出版社，2002.

[2]周建偉. 高等幾何[M].北京：高等教育出版社, 2003.

The Study About Vertical Tangent Lines of Quadratic Curves

WANGQing

(Ministry of Mathematical and Physical, Suzhou Vocational University, Suzhou 215104,China)

Abstract:We use the method of analytic geometry and projective geometry to discuss the track of intersection point about vertical tangent lines of quadratic curves,and prove that the track of intersection point about vertical tangent lines of ellipse, hyperbolic is circle and the intersection point about vertical tangent lines of parabola is on the directrix and the connection to the point of tangency pass focus.

Key words:quadratic curve; projective geometry; tangent line

[收稿日期]2014-04-28

[中圖分類號(hào)]O123.1

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]C

[文章編號(hào)]1672-1454(2015)01-0124-03