積分變換中常見問題

滕巖梅

(北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院，北京100190)

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積分變換中常見問題

滕巖梅

(北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院，北京100190)

[摘要]積分變換是工科基礎課程，具有公式多、難度大、應用廣泛的特點.本文對積分變換中教師和學生易忽略問題進行了歸納總結，并舉出大量例子.

[關鍵詞]傅立葉變換； 拉普拉斯變換； 廣義積分

1引言

積分變換課程是許多工科院系必修的一門課程，具有公式多、計算量大等特點，它對后繼課程的學習至關重要，在物理、通訊、圖像處理、統(tǒng)計等領域均有著廣泛應用.

學生在學習積分變換時多數(shù)會感覺有些吃力，公式較多且容易混淆，不容易記憶是一方面的原因；另外積分變換中有一些容易忽略問題，導致錯誤發(fā)生，在講授積分變換時，也要求教師特別留意.

2積分變換中要注意的問題

1.1　古典傅立葉變換之前提

例1求函數(shù)e-2it的傅立葉變換.

按反常積分來計算

發(fā)現(xiàn)此積分無法計算.此種計算方法沒有注意到函數(shù)e-2it不滿足古典傅立葉變換要求的絕對可積條件，它的古典傅立葉變換是不存在的.這時應考慮其廣義傅立葉變換.

方法2. 因為

令a=0，則

方法2是錯誤的，這是因為盡管a>0時，te-atu(t)是絕對可積的，但在a→0的過程中，te-atu(t)收斂的速度越來越慢，以至于當a=0時，te-atu(t)不再絕對收斂.

1.2　關于δ(t)函數(shù)

δ(t)函數(shù)即為工程中的單位脈沖函數(shù)，在工程上，它非常易描述，很直觀，學生很好理解.如果用準確的數(shù)學語言來描述其本質，對沒有學習過弱拓撲的工科學生來說，比較晦澀難懂. 這時，一方面盡量把與δ(t)函數(shù)相關問題用工程語言來解釋，并注意它的篩選性質；另一方面，強調量化計算時，δ(t)函數(shù)作為一個抽象的函數(shù)，不能直接運算，而考慮用弱極限的運算來替換.

例3求函數(shù)sin2t的傅立葉變換.

表面看起來，這是兩個不同結果，而所用兩種方法均是正確的，似乎出現(xiàn)奇怪現(xiàn)象.實際上，這兩個結果是相等的，可以按δ(t)函數(shù)的數(shù)學定義或篩選性質來驗證.

另外，在驗證廣義傅立葉變換的積分性質等一些問題時也用到了這一思想[2].

例4求函數(shù)δ(t)et的拉普拉斯變換.

解

1.3　性質使用不準確

用積分變換性質計算函數(shù)傅立葉變換，有時會出現(xiàn)用不同方法，所得結果完全不同的現(xiàn)象.這也是學生經(jīng)常感到疑惑的地方.

例5求函數(shù)tf(-2t)的傅立葉變換.

解方法1.

方法2.

這兩種方法哪種是正確的呢？可以用傅立葉變換的定義來檢驗.

方法1對傅立葉變換的微分性質使用不正確.應對f(-2t)的傅立葉變換求導，它是關于ω的復合函數(shù).

解方法1.

方法2.

方法3.

這里，方法2是錯誤的，這是用位移性質求積分變換常見問題，一定要注意關于s函數(shù)如何賦值問題，必要時用定義檢驗.

1.4　性質使用時沒有注意要求的條件

例如拉普拉斯的延遲性質：

L [f(t-τ)u(t-τ)]=e-sτL [f(t)]，

在使用時要注意公式中的u(t-τ)條件，此條件也可以替換為t<0時，f(t)=0.

例7求下列函數(shù)的拉普拉斯變換: (i) sin(t-π)u(t-π); (ii) sin(t-π).

例8求函數(shù)f(t)=(t-1)2et的拉普拉斯變換.

方法2. L [(t-1)2et]=L [(t2-2t+1)et]=L [t2et]-2 L [tet]+L [et]

方法1錯誤的使用了延遲性質，忽視了延遲性質中當t<0時，f(t)=0的要求.

1.5　常見的不能用留數(shù)方法求拉普拉斯逆變換情況

例8用拉普拉斯變換求解微分方程

y″+3y′+2y=u(t-1)，y(0)=0，y′(0)=1.

解方法1.設y(s)是y(t)的拉普拉斯變換

第一步：兩邊求拉氏變換得

第二步：整理得

第三步：求拉普拉斯逆變換

方法2.

第一步：兩邊求拉氏變換得

第二步：整理得

第三步：求拉普拉斯逆變換

兩邊進行拉氏逆變換，由延遲性質得

而

方法2.

1.6　求分段函數(shù)的拉普拉斯變換

例10用拉普拉斯變換求解微分方程

其中y(0)=0，y′(0)=1.

解方法1. 當t<1時，兩邊進行拉氏變換得

s2y(s)-1+3sy(s)+2y(s)=0，

因此

=e-t-e-2t.

當t>1時，兩邊進行拉氏變換得

整理得

求拉普拉斯逆變換得

方法2. 方程兩邊同時進行拉普拉斯變換得

整理得

求拉普拉斯逆變換得

例11[3]利用拉普拉斯變換求解微分方程

其中y(0)=0，y′(0)=0.

解方程兩邊同時進行拉普拉斯變換得

整理得

求拉普拉斯逆變換得

3 結 論

從上述幾個問題中可以看到， 有的結果與準確的結果只有極小的差異， 但絕不是計算上的粗心， 而是根本思路上的錯誤， 為了避免出現(xiàn)類似的情況， 在使用定義， 性質及定理時， 要注意其包含的條件及采用的方法.

[參考文獻]

[1]宋琪，容太平.有關傅立葉變換和傅立葉系數(shù)求解的有關問題[J].電氣電子教學學報，2000，22(3)：40-42.

[2]高宗升，滕巖梅.復變函數(shù)與積分變換[M]. 5版.北京航空航天大學出版社， 2010.

[3]Saff E B. Snider AD. Fundamentals of Complex Analysis With Applicationsto Engineering and Science[M]. 3rd Ed. Beijing: China Machine Press， 2005.

Some Problems in Integeral Transform

TENGYan-mei

(School of Mathematics and Systems Science， Beihang University， Beijing 100191， China)

Abstract:Integral transform is fundamental curriculum of higher engineer colledge and has the character of more figure，difficult and widely used. In this paper， we summarize the problems that the teachers and the students easily ignored and some examples are given.

Key words:Fourier transform; Laplace transform

[基金項目]北京航空航天大學校重點教改項目(201413)

[收稿日期]2014-05-15；[修改日期]2015-01-23

[中圖分類號]O177.6

[文獻標識碼]C

[文章編號]1672-1454(2015)01-0105-05