一道數(shù)學(xué)競賽題的探討

王泓博

(合肥工業(yè)大學(xué)電氣與自動化工程學(xué)院2012級，合肥230009)

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一道數(shù)學(xué)競賽題的探討

王泓博

(合肥工業(yè)大學(xué)電氣與自動化工程學(xué)院2012級，合肥230009)

[摘要]對浙江省高等數(shù)學(xué)競賽題的一道試題給出了新的解法，同時(shí)提出了若干類似問題并給出解答.

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)競賽試題； 基本初等函數(shù)； 最大(小)值； Taylor公式； 函數(shù)單調(diào)性

1引言

2013年浙江省高等數(shù)學(xué)競賽(文科與專科類)第三題為：

該試題的參考答案如下.

其中ξ介于0與x之間.

這道試題及解答啟發(fā)我們提出如下問題：該試題是否還有其他解法？另外，若將試題中的f(x)=sinx改為其他基本初等函數(shù)(初等函數(shù))，如cosx,tanx,ex，lnx(或ln(1+x))，arcsinx, arctanx等，是否也會產(chǎn)生類似問題？本文將對比展開討論.

2試題的第2種解法

ψ′(x)=2cosx-2+xsinx,ψ″(x)=xcosx-sinx=cosx(x-tanx).

3與試題類似的問題

(iii) 設(shè)f3(x)=ex，g3(x)=1+x+a3x2.若對?x>0,f3(x)≥g3(x)，求常數(shù)a3的最大值.

(iv) 設(shè)f4(x)=ln(1+x)，g4(x)=x-a4x2.若對?x>0,f4(x)≥g4(x)，求常數(shù)a4的最小值.

(v) 設(shè)f5(x)=arcsinx，g5(x)=x+a5x3.若對?x>0,f5(x)≥g5(x)，求常數(shù)a5的最大值.

(vi) 設(shè)f6(x)=arctanx，g6(x)=x-a6x3.若對?x>0,f6(x)≥g6(x)，求常數(shù)a6的最小值.

由于解題方法類似，因此我們僅給出問題(ii),(iv),(vi)的解答，其余問題可供讀者作為練習(xí).

問題(ii)的解答.

故由Taylor公式知

問題(iv)的解答.

其中ξ>0.所以

問題(vi)的解答.

故由Taylor公式知

當(dāng)x>0時(shí)，由于

作為本文的結(jié)束，我們還要給出兩點(diǎn)說明.

(A) 問題(ii),(iv),(vi)的解法主要是借助于基本初函數(shù)(初等函數(shù))的Taylor公式，若利用前面試題的第2種方法(即利用函數(shù)的單調(diào)性)也可以求解.

(B) 由于雙曲函數(shù)(反雙曲函數(shù))與三角函數(shù)有相似的性質(zhì)，因此對于雙曲函數(shù)(反雙曲函數(shù))也會有類似的問題，例如：

設(shè)f7(x)=shx，g7(x)=x+a7x3.若對?x>0,f7(x)>g7(x)，求常數(shù)a7的最大值；

設(shè)f8(x)=arcthx，g8(x)=x+a8x3.若對?x>0,f8(x)≥g8(x)，求常數(shù)a8的最大值.

這些問題的解答以及尚未提出的問題及解答留給有興趣的讀者去思考.

[參考文獻(xiàn)]

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)(上冊)[M].6版.北京：高等教育出版社，2012.

[收稿日期]2014-02-15

[中圖分類號]O172

[文獻(xiàn)標(biāo)識碼]C

[文章編號]1672-1454(2015)01-0102-03