淺議定積分的概念教學(xué)

葛守富

（火箭軍工程大學(xué)士官學(xué)院 山東 青州 262500）

摘 要：定積分概念的教學(xué)一直是高等數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)之一，本文將從問題情境出發(fā)，幫助學(xué)生進(jìn)行意義建構(gòu)，進(jìn)而使學(xué)生形成定積分概念。在這個(gè)過程中，我們通過幾何和物理兩個(gè)情境搭建起定積分的概念模型，從而達(dá)到突破難點(diǎn)的目的。

關(guān)鍵詞：定積分；問題情境；極限

微積分是高等數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容之一，在微積分的教學(xué)過程中，定積分的概念既是積分學(xué)的重點(diǎn)，也是積分學(xué)的難點(diǎn)，因此，我們采用問題情境教學(xué)，幫助學(xué)生從幾何和物理兩個(gè)方面進(jìn)行意義建構(gòu)，形成定積分概念，最后我們回扣經(jīng)典問題，形成定積分的幾何模型。

一、創(chuàng)設(shè)問題情境——兩個(gè)經(jīng)典引例

首先，我們引入求不規(guī)則平面圖形的面積問題，如計(jì)算地圖中某個(gè)省份的面積。我們經(jīng)過劃分，將不規(guī)則平面圖形劃分成若干曲邊梯形，只要我們能夠找到求曲邊梯形面積的一般方法，就可以解決不規(guī)則平面圖形的面積問題。將曲邊梯形放到坐標(biāo)系中研究。

設(shè)函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上非負(fù)、連續(xù)。由直線x=a，x=b，x軸和曲線y=f（x）所圍成的圖形稱為曲邊梯形，其中曲線y=f（x）是曲邊。在區(qū)間[a，b]內(nèi)任意插入n-1個(gè)分點(diǎn)x1，x2，…，xn-1，令a=x0，b=xn，將區(qū)間[a，b]分成n個(gè)小區(qū)間[x0，x1]，[x1，x2]，…，[xn-1，xn]，記△xi=xi-xi-1，i=1，2，…，n。作直線x=xi，i=1，2，…，n-1。將這個(gè)曲邊梯形分成n個(gè)小曲邊梯形，記第i個(gè)小曲邊梯形的面積為△Ai，i=1，2，…，n，然后對(duì)每個(gè)小曲邊梯形用一個(gè)矩形來代替，任取 ，以△xi為底，以 為高這樣的矩形面積近似代替第i個(gè)曲邊梯形的面積△Ai，i=1，2，…，n，再將這些矩形面積求和，近似代替曲邊梯形的面積。當(dāng)這種分割越細(xì)時(shí)，每一個(gè)小矩形面積就越接近小曲邊梯形梯形面積，也就是說，小矩形上面的直邊就越接近小曲邊梯形的曲邊，或者說，局部以直代曲。當(dāng)這種分割無限細(xì)時(shí)，這些矩形的面積之和就無限趨近整個(gè)曲邊梯形的面積，這就是取極限的過程。令 ，曲邊梯形的面積 。我們通過以上四個(gè)步驟分割、近似替代、求和、取極限，我們得到一個(gè)特殊和式的極限，這實(shí)際上是一種特殊的無限求和。比如說，如果我們把每一個(gè)矩形看做一個(gè)抽屜，第一個(gè)抽屜有五個(gè)蘋果，第二個(gè)抽屜有八個(gè)蘋果，第三個(gè)抽屜有七個(gè)蘋果，第四個(gè)抽屜有五個(gè)蘋果，第五個(gè)抽屜有六個(gè)蘋果，第六個(gè)抽屜有七個(gè)蘋果，一共有多少個(gè)蘋果啊？小朋友就可以把它們數(shù)出來，等上學(xué)了，他們就知道這是一種求和，到了現(xiàn)在，只是這種求和復(fù)雜了一些，抽屜不再是一個(gè)兩個(gè)這樣的自然數(shù)，而是連續(xù)的實(shí)數(shù)，蘋果也不再是七個(gè)八個(gè)這樣的自然數(shù)，而是以抽屜為自變量的連續(xù)函數(shù)，這種無限求和就是定積分。

其次，我們來看變速直線運(yùn)動(dòng)的路程問題。設(shè)物體在時(shí)間間隔[T1，T2]上的速度函數(shù)是v=v（t），在時(shí)間段[T1，T2]內(nèi)任意插入n-1個(gè)分點(diǎn)t1，t2，…，tn-1，令T1=t0，T2=tn，將區(qū)間[T1，T2]分成n個(gè)小區(qū)間[t0，t1]，[t1，t2]，…，[tn-1，tn]，記△ti=ti-ti-1，i=1，2，…，n。設(shè)物體在第i個(gè)小時(shí)間段[ti-1，ti]上運(yùn)動(dòng)的路程為△si，雖然物體在這個(gè)小時(shí)間段上仍做變速運(yùn)動(dòng)，因?yàn)闀r(shí)間段小，速度變化就小，任取

，以 代替這個(gè)小時(shí)間段上的平均速度，我們有 ，i=1，2，…，n。在每個(gè)這樣的小時(shí)間段上以勻速代替變速，當(dāng)分割越細(xì)時(shí)，這種近似程度就越好，這時(shí)它們的和就越接近時(shí)間段[T1，T2]上的運(yùn)動(dòng)路程s。令

，物體在時(shí)間段[T1，T2]上的路程 。通過以上四個(gè)步驟分割、近似替代、求和、取極限，得到這樣一個(gè)特殊和式的極限。

二、進(jìn)行意義建構(gòu)——形成定積分的概念

以上兩個(gè)問題的共性是：解決它們的方法步驟相同，都是經(jīng)過四個(gè)步驟分割、近似替代、求和、取極限，得到的結(jié)果本質(zhì)上相同都是一個(gè)特殊和式的極限。我們把它們的共性抽象出來就是定積分的定義。

定義：設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上有界，在[a，b]內(nèi)任意插入n-1個(gè)分點(diǎn)a=x0

，即 。其中f（x）叫做被積函數(shù)，f（x）dx叫做被積表達(dá)式，x叫做積分變量，a叫做積分下限，b叫做積分上限，[a，b]叫做積分區(qū)間。

三、回扣經(jīng)典問題——定積分的幾何意義

通過定積分的定義可以看出，若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上非負(fù)、連續(xù)，則f（x）在區(qū)間[a，b]上的定積分就是由直線x=a，x=b，x軸和曲線y=f（x）所圍成的曲邊梯形的面積 。這就是定積分的幾何意義，即曲邊梯形的面積。并且規(guī)定曲邊梯形在x軸上方時(shí)定積分為正，在x軸下方時(shí)定積分為負(fù)。然后我們用定積分的幾何意義來解釋定積分的性質(zhì)時(shí)，會(huì)更形象，更直觀，更有利于學(xué)生的掌握。

比如說，定積分性質(zhì)中的積分中值定理，若f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則在區(qū)間上必存在一點(diǎn)，使得在上的定積分等于f（ ）·（b-a），用幾何意義來說，對(duì)于這個(gè)曲邊梯形的面積，就一定能在y=f（x）這條連續(xù)曲線找到一個(gè)點(diǎn)，使得這樣一個(gè)矩形的面積等于曲邊梯形的面積，也就是能使得曲邊梯形比矩形多出的這塊面積等于曲邊梯形比矩形少的這塊面積。從這個(gè)性質(zhì)能夠進(jìn)一步說明定積分實(shí)質(zhì)上是連續(xù)函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上函數(shù)值的無限求和， 就是連續(xù)函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上的平均值，因此，這個(gè)積分中值定理又稱為均值定理。

本文從三個(gè)方面闡述了如何利用問題情境教學(xué)法設(shè)計(jì)定積分概念的教學(xué)思路。問題情境教學(xué)法是數(shù)學(xué)概念教學(xué)的主要方法之一，這樣設(shè)計(jì)不僅有利于幫助學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)概念，而且還培養(yǎng)了學(xué)生歸納抽象的思維能力。