定積分在求經(jīng)濟(jì)函數(shù)中的應(yīng)用

摘要：本文通過幾種典型題型的探究來說明怎樣用定積分求經(jīng)濟(jì)學(xué)中的一些函數(shù)，如總產(chǎn)量函數(shù)、需求函數(shù)、成本函數(shù)、收益函數(shù)和利潤(rùn)函數(shù)等。希望讀者能夠從簡(jiǎn)單的角度理解定積分在經(jīng)濟(jì)函數(shù)中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：定積分;經(jīng)濟(jì)函數(shù);應(yīng)用

在迅速發(fā)展的經(jīng)濟(jì)現(xiàn)狀下，各種不同領(lǐng)域的商業(yè)經(jīng)濟(jì)分析顯得尤為重要，數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的地位逐步提高并成為經(jīng)濟(jì)分析的一個(gè)重要工具。數(shù)學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)兩個(gè)學(xué)科之間的交集越來越大并出現(xiàn)了融合的走勢(shì)，使得定積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用取得了極大的進(jìn)展，在合理性的經(jīng)濟(jì)投資和最優(yōu)化的經(jīng)濟(jì)收益方面具有科學(xué)和準(zhǔn)確的推論。定積分在不同的經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中發(fā)揮著重要的作用，例如有效計(jì)算函數(shù)總量、總量生產(chǎn)函數(shù)、投資決策、最大值與最小值、消費(fèi)者剩余與生產(chǎn)者剩余等。我們將對(duì)定積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)應(yīng)用中如何求經(jīng)濟(jì)函數(shù)問題進(jìn)行探討。

1.定積分在求總產(chǎn)量函數(shù)中的應(yīng)用

已知經(jīng)濟(jì)函數(shù)的變化率，求總產(chǎn)量函數(shù)。

設(shè)某產(chǎn)品產(chǎn)量為Q作為時(shí)間t的函數(shù)Q（t），如果已知產(chǎn)量Q對(duì)時(shí)間t的變化率為Q′（t）=f（t），則總產(chǎn)量函數(shù)關(guān)系式為Q（t）=∫Q′（t）dt=∫f（t）dt。

在任一時(shí)間間隔[t1，t2]內(nèi)，總產(chǎn)量Q為

Q（t）=∫t2t1Q′（t）dt=∫t2t1f（t）dt。

如果初始時(shí)刻t1的總產(chǎn)量Q（t1）已知，則在時(shí)刻t的總產(chǎn)量函數(shù)為

Q（t）=Q（t1）+∫tt1Q′（t）dt（t≥t1）。

例1已知某煉鋼廠的鋼產(chǎn)量的變化率是時(shí)間t（年）的函數(shù)f（t）=4t-5（t≥0）。

（1）求第一個(gè)五年計(jì)劃期間該廠鋼的產(chǎn)量;

（2）按照題設(shè)的變化率，求第n個(gè)五年計(jì)劃期間鋼的總產(chǎn)量;

（3）按照上述變化率，該廠將在第幾個(gè)五年計(jì)劃期間鋼的總產(chǎn)量達(dá)到800？

解：（1）總產(chǎn)量是它的變化率的原函數(shù)，故

Q=∫50（4x-5）dt=（2t2-5t）50=25。

（2）第n個(gè)五年計(jì)劃期間總產(chǎn)量為Q=∫5n5n-5（4t-5）dt=（2t2-5t）5n5n-5=100n-75。

（3） 設(shè)第n個(gè)五年計(jì)劃期間總產(chǎn)量達(dá)到800，則100n-75=800，解之得n=8.75，即第9個(gè)五年計(jì)劃期間鋼的總產(chǎn)量可達(dá)到800。

2.定積分在求總需求函數(shù)中的應(yīng)用

已知邊際需要或邊際收益，求總需求函數(shù)。

一般需求函數(shù)Q（P）是價(jià)格P的單調(diào)遞減函數(shù)。已知邊際需求Q′（P）=f（P），求總需求函數(shù)Q（P），用不定積分求之：Q（P）=∫Q′（P）dP=∫f（P）dP。

為得到所要求的總需求函數(shù)，還需要知道一個(gè)求積分常數(shù)的條件。例如，題目常給出最大需求量Q0（即P=0時(shí)，Q（0）=Q0）作為積分常數(shù)的條件。

例2設(shè)五金廠生產(chǎn)某零件x個(gè)的邊際收益函數(shù)為R′（x）=ab/（x+b）2-c（元/單位）。

（1） 求生產(chǎn)該零件x個(gè)時(shí)的總收益函數(shù);

（2） 求該零件相應(yīng)的需求函數(shù)（即平均價(jià)格是產(chǎn)量的函數(shù)）。

解：（1）因?yàn)镽′（x）=ab/（x+b）2-c，且R（0）=0，得到R（x）=

∫x0R′（t）dt=∫x0ab（t+b）2-cdt=-abx+b-cx+a。

（2）需求函數(shù)為Q（x）=R（x）x=1x（a-cx-abx+b）=

a（x+b）-abx（x+b）-c=ax+b-c。

3.定積分在求成本函數(shù)中的應(yīng)用

已知邊際成本，求總成本函數(shù)。

如果C′（x）表示產(chǎn)品產(chǎn)量為x時(shí)的邊際成本（或邊際費(fèi)用），且當(dāng)產(chǎn)量為零時(shí)的成本為C（0），則產(chǎn)量為x時(shí)的總成本函數(shù)（或總費(fèi)用）的可變成本為 C（x）=∫x0C′（x）dx。

又當(dāng)產(chǎn)量為零時(shí)的成本為C（0）（即固有成本為C（0）），則產(chǎn)量為x時(shí)的總成本函數(shù)為C（x）=∫x0C′（x）dx+C（0）。（※）

例3將食品商生產(chǎn)某產(chǎn)品設(shè)為x個(gè)單位，它的總成本設(shè)為C，C（x）是C對(duì)x的函數(shù)，假設(shè)固定成本（即C（0））為20元，邊際成本函數(shù)為C′（x）=2x+10（元/單位），求該食品商生產(chǎn)某產(chǎn)品總成本函數(shù)C（x）。

解一：C（x）是C′（x）=2x+10函數(shù)，故C（x）=∫C′（x）dx=∫（2x+10）dx

=x2+10x+k，由固定成本為20元即C（0）=20，得到k=20，故C（x）=x2+10x+20。

解二：已知固定成本為20元，由式（※）得C（x）=∫x0C′（x）dx+20=x2+10x+20。

4.定積分在求總收益函數(shù)中的應(yīng)用

已知邊際收益，求總收益函數(shù)。

設(shè)某商品的總收益函數(shù)為R（Q），其邊際收益函數(shù)為R′（Q），則銷售Q個(gè)單位時(shí)的總收益函數(shù)常用定積分

R（Q）=∫Q0R′（Q）dQ計(jì)算，其中R（0）=0，即假定銷售量為零時(shí)，總收益為零。

如用不定積分R（Q）=∫R′（Q）dQ計(jì)算，需用初始條件中R（0）=0求積分常數(shù)。

5.定積分在求總利潤(rùn)函數(shù)中的應(yīng)用

已知邊際收益、邊際成本，求總利潤(rùn)函數(shù)。

設(shè)某產(chǎn)品的邊際收益為R′（x），邊際成本為C′（x），則總收益R（x）=∫x0R′（x）dx，

總可變成本（不包含固定成本）為F（x）=∫x0C′（x）dx（注意C′（x）與固定成本無關(guān)）。

總成本函數(shù)為C（x）=F（x）+C0（固定成本）=∫x0C′（x）dx+C0。

邊際利潤(rùn)為L(zhǎng)′（x）= [R（x）-C（x）]′=R′（x）-C′（x）=R′（x）-F′（x）。

6.由邊際函數(shù)求總函數(shù)的最值

先用積分法求出總函數(shù)，然后使用求最值的方法求出總函數(shù)的最值。

例4將某廠生產(chǎn)電視的總成本設(shè)為C（萬元），假定它的變化率（即邊際成本）C′（x）=1，總收益為R（萬元）的變化率（即邊際收益）為生產(chǎn)量x（百臺(tái)）的函數(shù)，即R′=R′（x）=5-x。

（1）求生產(chǎn)量等于多大時(shí)，總利潤(rùn)L=R-C為最大？

（2）當(dāng)生產(chǎn)量達(dá)到利潤(rùn)最大時(shí)，又生產(chǎn)了100臺(tái)，那么總利潤(rùn)減少了多少？

解：（1）由C′（x）=1，R′（x）=5-x得到L′（x）=R′（x）-C′（x）=5-x-1=4-x。

令L′（x）=0，得唯一駐點(diǎn)x=4（百臺(tái)）。因L″（x）=-1<0，故L″（4）<0，所以當(dāng)x=4時(shí)，有極大值。由于駐點(diǎn)唯一，L（x）在x=4時(shí)取最大值，即生產(chǎn)量為400臺(tái)時(shí)，利潤(rùn)最大。

（2）L（5）-L（4）=∫54L′（x）dx=∫54（4-x）dx=-0.5（萬元），即生產(chǎn)400臺(tái)后又生產(chǎn)100臺(tái)總利潤(rùn)減少0.5萬元。

對(duì)用定積分求經(jīng)濟(jì)函數(shù)這一問題的探討，我們認(rèn)識(shí)到解決這類問題要從理論和實(shí)際問題出發(fā)，利用定積分的相關(guān)知識(shí)去解決求經(jīng)濟(jì)函數(shù)問題，如求總產(chǎn)量函數(shù)、需求函數(shù)、成本函數(shù)、收益函數(shù)和利潤(rùn)函數(shù)等，以及求一些與經(jīng)濟(jì)函數(shù)相關(guān)的數(shù)值，如由邊際函數(shù)求總函數(shù)的最值。這充分說明了定積分這個(gè)知識(shí)內(nèi)容應(yīng)用在求經(jīng)濟(jì)函數(shù)中的可行性和重要性。我們將數(shù)學(xué)的內(nèi)容和經(jīng)濟(jì)學(xué)實(shí)際相結(jié)合，使實(shí)際問題解決最優(yōu)化、經(jīng)濟(jì)效益最大化。

參考文獻(xiàn)：

[1]顧曉夏.經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)[M].北京：北京理工大學(xué)出版社，2009.

[2]辛春元.定積分的應(yīng)用研究[J].現(xiàn)代商貿(mào)工業(yè)，2008（09）：262—263.

作者簡(jiǎn)介：莫慶美（1963—），女，廣西蒙山人，賀州學(xué)院副教授，主要研究方向：高等數(shù)學(xué)與微分方程教學(xué)。