定積分計算探討

邱為鋼

(湖州師范學(xué)院理學(xué)院, 浙江湖州313000)

?

定積分計算探討

邱為鋼

(湖州師范學(xué)院理學(xué)院, 浙江湖州313000)

[摘要]綜合利用傅里葉級數(shù)法，參數(shù)求和法, 參數(shù)展開法, 得到了一些定積分的值.

[關(guān)鍵詞]傅里葉級數(shù); 參數(shù)展開; 定積分

1引言

定積分的計算是高等數(shù)學(xué)的一項很重要的基本功，文獻[1-5]對常用方法和技巧作了歸納和總結(jié).這些方法，對常見的定積分計算有很大幫助，但對一些不常見的定積分的計算，作用不大.此時，必須借助傅里葉級數(shù)法[6]，參數(shù)展開法和圍道積分法[7,8]來計算.文獻[6]方法關(guān)鍵之處在于找到一些(特殊)函數(shù)的傅里葉級數(shù)法展開式，而文獻[7，8]在于得到一些含參數(shù)積分的解析表達式.本文繼續(xù)推廣文獻[6-8]的方法，得到了一些數(shù)學(xué)手冊上還未收錄的積分公式.在下文的計算過程中，積分和求和順序，積分和參數(shù)運算(求和,展開,積分)經(jīng)?；Q，其合理性由結(jié)果的正確性驗證，不再一一細(xì)述.

2傅里葉級數(shù)法

先簡要推導(dǎo)幾個函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開式.由以下級數(shù)展開:

(1)

在(1)式中令z=rexp(iθ), 0

(2)

對比(2)式的虛部，得到

(3)

(3)式兩邊乘以ln2r，在區(qū)間(0,1)內(nèi)積分，得到

(4)

由積分公式

(5)

(4)式化為

(6)

(6)式右邊的傅里葉級數(shù)有解析表達式[9,10]

(7)

由此得到(4)式的最終結(jié)果

(8)

有以下級數(shù)展開:

(9)

(10)

在(9-10)兩式中把z延拓到z=exp(iθ)，由以下式子

(11)

(12)

對比(9-10)式兩邊實部，得到

(13)

(14)

(13)式兩邊除以θ2+α2，在區(qū)間(0,∞)內(nèi)積分，并利用積分公式

(15)

計算得到

(16)

利用無窮求和式

(17)

計算得到

(18)

同樣(14)式兩邊除以θ2+α2，在區(qū)間(0,∞)內(nèi)積分，并利用積分公式(15)式，計算得到

(19)

有以下級數(shù)展開:

(20)

在(20)式中令z=rexp(iθ),0

(21)

對比(20-21)式的實部和虛部，得到

(22)

(23)

(23)式中作代換θ→π/2-θ，得到

(24)

(22)式兩邊除以sinθ，在區(qū)間(0,π/2)內(nèi)積分，得到

(25)

利用積分公式

(26)

計算得到

(27)

(24)式兩邊除以sinθ，在區(qū)間(0,π/2)內(nèi)積分，計算得到

(28)

利用積分公式(26)式，計算得到

(29)

3參數(shù)求和法

由文獻[9，10]，Zeta函數(shù)ζ(s,a)定義為

(30)

且有以下的積分表示

(31)

(31)式兩邊對參數(shù)a求和，并利用以下公式

(32)

計算得到以下積分表達式

(33)

(33)式中的無窮求和為

(34)

由Zeta函數(shù)ζ(s,a)的定義式(30)式

(35)

(35)式中的兩重?zé)o窮求和可以重新拆分為

(36)

繼續(xù)拆分求和，計算得到

(37)

由此得到(33)式的另外表示

(38)

由(31)式和(32)式，得到以下積分表示

(39)

即

(40)

由Zeta函數(shù)ζ(s,a)的展開式[9,10]

(41)

(42)

以及

(43)

當(dāng)s→0，計算得到以下積分表示式

(44)

其中ψ(a)=?！?a)/Γ(a)是伽瑪函數(shù)的對數(shù)微商.

4參數(shù)展開法

定義一個含參數(shù)a的函數(shù)為

(45)

由正切函數(shù)的指數(shù)函數(shù)展開

(46)

再作變量代換z=exp(2iθ)，得到

(47)

積分路徑是從上半單位圓周上順時針方向.把路徑改為從實軸的-1到+1，因為閉合路徑內(nèi)沒有極點，積分化為

(48)

先計算以下積分

(49)

(50)

其中B(α,β)是貝塔函數(shù).另一個積分是

(51)

(52)

(48)式的積分分為兩區(qū)間(-1,0)和(0,1)積分之和

(53)

代入(50)和(52)式，計算得到

(54)

I(a)有兩個表達式，一個是積分表示(45)式，一個是特殊函數(shù)表示(54)式，把它們在a=a0處展開，得到

(55)

取a0=1，對比展開式(55)式的第三項(可以借助數(shù)學(xué)軟件解析計算)，得到以下積分公式：

(56)

對比展開式(55)式的其他階展開系數(shù)，可以得到一系列的積分公式，篇幅所致，不再詳述.

5結(jié)論

以上定積分的解析式，都得到數(shù)學(xué)軟件數(shù)值計算結(jié)果的檢驗，說明本文所用的方法是合理正確的.

[參考文獻]

[1]寧榮健.定積分計算的方法和技巧[J].工科數(shù)學(xué),1995,1(11)：199-203.

[2]張俊祖.定積分的一些計算方法和技巧[J].高等數(shù)學(xué)研究,1996,4：27-28.

[3]李開丁,李莉.定積分的兩種換元法及其應(yīng)用[J].高等數(shù)學(xué)研究,1999,2(4)：15-18.

[4]王貴君.遞推序列在一些定積分計算中的巧妙應(yīng)用[J].高等數(shù)學(xué)研究,2000,3(4)：29-32.

[5]錢林,楊巧林.妙用公式求積分[J].高等數(shù)學(xué)研究,2004,7(6)：45-47.

[6]鄭晨,邱為鋼.基于傅里葉級數(shù)的定積分計算技巧[J].高等數(shù)學(xué)研究，2010,,13(3)：31-32.

[7]邱為鋼,唐榮榮.對數(shù)三角函數(shù)的定積分[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2011,27(5)：134-137.

[8]邱為鋼,倪仁興.用參數(shù)展開法計算一類含對數(shù)函數(shù)的定積分[J].大學(xué)數(shù)學(xué),2011,27(6)：174-176.

[9]王竹溪,郭頓仁.特殊函數(shù)概論[M].北京：北京大學(xué)出版社，2000.

[10]Gradshteyn I S., Ryzhik I M. 積分，級數(shù)和乘積表 [M].7版.北京:世界圖書出版公司,2007.

Evaluation of Some Definite Integrals

QIUWei-gang

(School of Science, Huzhou Teacher’s College, Huzhou, Zhejiang 313000, China)

Abstract:Some definite integrals are obtained by the Fourier series method, parameter summation method and the parameter expansion method.

Key words:Fourier series; parameter expansion; definite integrals

[基金項目]國家自然科學(xué)基金(11275067,11475062)； 浙江省高等學(xué)校創(chuàng)新團隊(T200924)

[收稿日期]2014-08-09;[修改日期]2015-01-08

[中圖分類號]O172.2

[文獻標(biāo)識碼]C

[文章編號]1672-1454(2015)01-0062-05