銳角三角函數(shù)中的幾何基本圖形

楊彥

【摘要】 銳角三角函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，它的背景是直角三角形及可以轉(zhuǎn)化為直角三角形的圖形，但學(xué)生一見(jiàn)到復(fù)雜的圖形就不知如何入手，要解決這個(gè)難題，就要在平時(shí)的教學(xué)中注重滲透基本圖形的教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生從復(fù)雜圖形中分解出基本圖形或構(gòu)造基本圖形，從而輕而易舉地解決問(wèn)題。

【關(guān)鍵詞】 直角三角形 基本圖形 銳角三角函數(shù)

【中圖分類(lèi)號(hào)】 G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】 A 【文章編號(hào)】 1992-7711（2014）09-026-02

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《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》在幾何方面的學(xué)習(xí)要求學(xué)生“能從較復(fù)雜的圖形中分解出基本的圖形，并能分析其中的基本元素及其關(guān)系，利用直觀來(lái)進(jìn)行思考”，數(shù)學(xué)中的基本圖形分為兩種：課本中的概念、公式和定理所對(duì)應(yīng)的圖形叫做理論型基本圖形；重要的例題和習(xí)題所對(duì)應(yīng)的圖形叫做經(jīng)驗(yàn)型基本圖形，經(jīng)驗(yàn)型基本圖形都是由兩個(gè)或兩個(gè)以上的簡(jiǎn)單的理論型基本圖形組合而成的。幾何證明題是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，但學(xué)生一見(jiàn)到復(fù)雜的圖形就不知如何入手，為了解決這個(gè)難題，筆者在平時(shí)的教學(xué)中注重滲透基本圖形的教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生從復(fù)雜圖形中分解出基本圖形或構(gòu)造基本圖形，從而輕而易舉地解決問(wèn)題，因此筆者在銳角三角函數(shù)復(fù)習(xí)課中，特地設(shè)計(jì)了專(zhuān)題復(fù)習(xí)課——分解圖形，變難為易。

銳角三角函數(shù)的應(yīng)用題一般數(shù)據(jù)較多，題目信息量較大，學(xué)生讀完之后常常會(huì)因理不清楚思路，從而沒(méi)法下手，做不下去。其實(shí)銳角三角函數(shù)的應(yīng)用題通常可以轉(zhuǎn)化為解直角三角形的應(yīng)用題得以解決，筆者在教學(xué)過(guò)程當(dāng)中發(fā)現(xiàn)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用題抽象為數(shù)學(xué)模型的話，大概有如下三類(lèi)基本情況。（以下僅討論直角三角形位于異側(cè)情況，同側(cè)情況類(lèi)似，略去）。

情形一：實(shí)際問(wèn)題抽象為兩個(gè)直角三角形都可解。

例1：（2013·襄陽(yáng)）如圖，在數(shù)學(xué)活動(dòng)課中，小敏為了測(cè)量校園內(nèi)旗桿AB的高度，站在教學(xué)樓上的C處測(cè)得旗桿底端B的俯角為45°，測(cè)得旗桿頂端A的仰角為30°，如旗桿與教學(xué)樓的水平距離CD為9m，則旗桿的高度是多少？（結(jié)果保留根號(hào)）

分析：根據(jù)在Rt△ACD中，tan∠ACD= ，求出AD的值，再根據(jù)在Rt△BCD中，tan∠BCD= ，求出BD的值，最后根據(jù)AB=AD+BD，即可求出答案。

解：在Rt△ACD中，∵tan∠ACD= ，∴tan30°= ，∴ = ，∴AD=3 m，

在Rt△BCD中，∵tan∠BCD= ，∴tan45°= ，∴BD=9m，

∴AB=AD+BD=3 +9（m）.

答：旗桿的高度是（3 +9）m.

基本圖形1：在△ ABC中，CD⊥AB于D，CD=10，∠A=45°，∠B=30°，求AB.

分析：本題目標(biāo)線段AB為線段AD與線段BD的和，顯見(jiàn)Rt△ACD與Rt△BCD都可解，根據(jù)銳角三角函數(shù)易得線段AD，BD長(zhǎng)，進(jìn)而得線段AB長(zhǎng)。

情形二：實(shí)際問(wèn)題抽象為一個(gè)直角三角形可解，進(jìn)而另一個(gè)直角三角形也可解。

例2：（2013·呼和浩特）如圖，A、B兩地之間有一座山，汽車(chē)原來(lái)從A地到B地經(jīng)過(guò)C地沿折線A→C→B行駛，現(xiàn)開(kāi)通隧道后，汽車(chē)直接沿直線AB行駛。

已知AC=10千米，∠A=30°，∠B=45°.則隧道開(kāi)通后，汽車(chē)從A地到B地比原來(lái)少走多少千米？（結(jié)果保留根號(hào)）

分析：過(guò)C作CD⊥AB于D，在Rt△ACD中，根據(jù)AC=10，∠A=30°，解直角三角形求出AD、CD的長(zhǎng)度，然后在Rt△BCD中，求出BD、BC的長(zhǎng)度，用AC+BC-（AD+BD）即可求解。

解：過(guò)C作CD⊥AB于D，在Rt△ACD中，

∵AC=10，∠A=30°，

∴DC=ACsin30°=5，AD=ACcos30°=5 ，

在Rt△BCD中，∵∠B=45°，∴BD=CD=5，BC=5 ，

則用AC+BC-（AD+BD）=10+5 -（5 +5）=5+5 -5 （千米）。

答：汽車(chē)從A地到B地比原來(lái)少走（5+5 -5 ）千米。

基本圖形2：在△ ABC中，CD⊥AB于D，AC=10，∠A=45°，∠B=30°，求AB.

分析：本題目標(biāo)線段AB為線段AD與線段BD的和，顯見(jiàn)Rt△ACD可解，得線段AD，CD長(zhǎng)，知道CD長(zhǎng)，進(jìn)而Rt△BCD可解，易得線段BD長(zhǎng)。

情形三：實(shí)際問(wèn)題抽象為兩個(gè)直角三角形都不可解

例3：如圖，AB和CD是同一地面上的兩座樓房，在樓AB的樓頂A點(diǎn)測(cè)得樓CD的樓頂C的仰角為45°，樓底D的俯角為30°.若已知樓CD高為（30+10 ）米，你能求出兩樓之間的距離BD嗎？

分析：過(guò)A作AE⊥CD于E，易知：AE=BD，設(shè)AE=x. 在Rt△ACE中，可用x表示出CE. 在Rt△ADE中，可用x表示出DE，從而得到關(guān)于x的方程，即可求出BD的長(zhǎng)度。

答：兩樓之間的距離BD為30米。

基本圖形3：在△ ABC中，CD⊥AB于D，AB=10，∠A=45°，∠B=30°，求CD.

分析：本題目標(biāo)線段CD，為圖中兩個(gè)直角三角形的公共邊，但這兩個(gè)直角三角形都是不可解的，因而無(wú)法應(yīng)用正向思維解決之?？稍O(shè)其長(zhǎng)為x，在Rt△ACD和Rt△BCD中，均可由CD根據(jù)銳角三角函數(shù)表示出線段AD與線段BD的長(zhǎng)，從而可列出關(guān)于x方程，問(wèn)題得以解決。

總之，這三類(lèi)情況依據(jù)三角形是否可解進(jìn)行分類(lèi)，熟悉基本數(shù)學(xué)模型，可以快捷準(zhǔn)確解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。

以上是本人在教學(xué)中的粗淺認(rèn)識(shí)，供同行參考，不足之處，敬請(qǐng)指正。