“銳角三角函數(shù)”數(shù)學(xué)思想面面觀

陸中明

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂、精髓.學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不僅僅要掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，同時(shí)還要掌握數(shù)學(xué)知識(shí)中所隱含的思想方法.本文將對(duì)“銳角三角函數(shù)”中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想加以分析，以期對(duì)提高同學(xué)們數(shù)學(xué)素養(yǎng)有所幫助.

一、 一一對(duì)應(yīng)思想

由相似的直角三角形可以知道，它們的邊與邊的比值隨銳角大小的變化而變化，隨著銳角大小的確定而惟一確定.同樣，借助計(jì)算器根據(jù)銳角大小可以求得其三角函數(shù)值，反過來，借助計(jì)算器根據(jù)三角函數(shù)值可以求得對(duì)應(yīng)的銳角大小.

例1 （2015·陜西）如圖1，有一滑梯AB，其水平寬度AC為5.3米，鉛直高度BC為2.8米，則∠A的度數(shù)約為_______.（用科學(xué)計(jì)算器計(jì)算，結(jié)果精確到0.1°）

【解析】由題意，得tanA=≈0.5283，利用計(jì)算器求得∠A≈27.8°.即本題正確應(yīng)該填：27.8°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了用計(jì)算器由三角函數(shù)值求銳角的度數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握由三角函數(shù)值求銳角度數(shù)的方法.

二、 轉(zhuǎn)化思想

轉(zhuǎn)化思想是初中數(shù)學(xué)中常用的數(shù)學(xué)思想，通過轉(zhuǎn)化，可以把未知的關(guān)系轉(zhuǎn)化為已知的條件，把陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為相對(duì)容易的問題.

例2 （2015·桂林）如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB，垂足為D，則tan∠BCD的值是_______.

【解析】根據(jù)題意得∠BCD=∠CAB，則tan∠BCD=tan∠CAB，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠CAB===，所以tan∠BCD=.因此，本題答案為.

【點(diǎn)評(píng)】本題既考查了對(duì)正切概念的掌握，也考查了靈活應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想將問題中不常見的角轉(zhuǎn)化為熟悉的直角三角形的銳角進(jìn)行求解.

三、 方程思想

方程思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想，所謂方程思想是指從問題的數(shù)量關(guān)系入手，將問題中的已知量和未知量之間的數(shù)量關(guān)系通過適當(dāng)設(shè)元建立方程（組），然后通過解方程（組）使問題得到解決的思想方式.

例3 （2015·云南）為解決江北學(xué)校學(xué)生上學(xué)過河難的問題，鄉(xiāng)政府決定修建一座橋.建橋過程中需測(cè)量河的寬度（即兩平行河岸AB與MN之間的距離）.在測(cè)量時(shí)，選定河對(duì)岸MN上的點(diǎn)C處為橋的一端，在河岸點(diǎn)A處，測(cè)得∠CAB=30°，沿河岸AB前行30米后到達(dá)B處，在B處測(cè)得∠CBA=60°.請(qǐng)你根據(jù)以上測(cè)量數(shù)據(jù)求出河的寬度.（參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73；結(jié)果保留整數(shù)）

【解析】過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D，構(gòu)造Rt△ACD和Rt△BCD這兩個(gè)直角三角形.設(shè)CD=x，分別在這兩個(gè)三角形內(nèi)，利用已知角的正切，用x表示出AD、BD的值，然后根據(jù)AB=AD+BD，列方程即可求解.

【解答】過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D，

∵∠CAB=30°，∴AD=CD.

∵∠CBA=60°，∴DB=CD.

∵AB=AD+DB=30，

∴CD+CD=30，

∴CD=≈×1.73≈13（米）.

答：河的寬度為13米.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用、方程思想，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，根據(jù)已知條件列方程.

四、 數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合就是根據(jù)數(shù)學(xué)問題的題設(shè)和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其數(shù)量關(guān)系，又揭示其幾何意義，使數(shù)量關(guān)系和幾何圖形巧妙地結(jié)合起來，并充分地利用這種結(jié)合，探求解決問題的思路，使問題得以解決的數(shù)學(xué)思想方法.

例4 （2015·綿陽）如圖4，要在寬為22米的九洲大道AB兩邊安裝路燈，路燈的燈臂CD長(zhǎng)為2米，且與燈柱BC成120°角，路燈采用圓錐形燈罩，燈罩的中軸線DO與燈臂CD垂直，當(dāng)燈罩的軸線DO通過公路路面的中心線時(shí)照明效果最佳.此時(shí)，路燈的燈柱BC高度應(yīng)該設(shè)計(jì)為（ ）.

A. （11-2）米

B. （11-2）米

C. （11-2）米

D. （11-4）米

【解析】設(shè)燈柱BC的長(zhǎng)為h米，過點(diǎn)D作DH⊥AB于點(diǎn)H，過點(diǎn)C作CE⊥DH于點(diǎn)E.

∴四邊形BCEH為矩形.

∵∠DCB=120°，∴∠DCE=30°.

又∵∠CDO=∠CBO=90°，

∴∠DOB=60°.

∵在Rt△DCE中，

∴DE=CD·sin30°=1，CE=CD·cos30°=，

∴BH=.

又∵OB=11，∴OH=11-.

在Rt△DOH中，

tan∠DOH===，

解得h=11-4.

因此，本題應(yīng)該選D.

【點(diǎn)評(píng)】解答這類問題的關(guān)鍵是通過作垂線構(gòu)造直角三角形，這是添加輔助線的常見方式，將非直角三角形問題轉(zhuǎn)化為直角三角形問題，便于運(yùn)用三角函數(shù)關(guān)系和勾股定理來解題.

五、 模型思想

從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號(hào)建立銳角三角函數(shù)表示實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義.

例5 （2015·鹽城）如圖5所示，一幢樓房AB背后有一臺(tái)階CD，臺(tái)階每層高0.2米，且AC=17.2米.設(shè)太陽光線與水平地面的夾角為α，當(dāng)α=60°時(shí)，測(cè)得樓房在地面上的影長(zhǎng)AE=10米.現(xiàn)有一只小貓睡在臺(tái)階的MN這層上曬太陽.

（1） 求樓房的高度約為多少米？（取1.73）

（2） 過了一會(huì)兒，當(dāng)α=45°時(shí)，問小貓能否還曬到太陽？請(qǐng)說明理由.

【解析】第（1）問，利用tanα=可輕松求解；第（2）問需作出α=45°的光線，構(gòu)造直角三角形模型，從而解決問題.

解：（1） 當(dāng)α=60°時(shí)，在Rt△ABE中，

∵tan60°==，

∴BA=10·tan60°=10≈10×1.73=17.3（米）.

答：樓房的高度約為17.3米.

（2） 小貓仍可以曬到太陽.

理由如下：

假設(shè)沒有臺(tái)階，當(dāng)α=45°時(shí)，從點(diǎn)B射下的光線與地面AD的交點(diǎn)為點(diǎn)F，與MC的交點(diǎn)為點(diǎn)H.

∵∠BFA=45°，

∴tan45°==1，

∴AF=BA=17.3，即此時(shí)的影長(zhǎng)為17.3米，

∴CF=AF-AC=17.3-17.2=0.1，

∴CH=CF=0.1（米），

∴大樓的影子才到臺(tái)階MC這個(gè)側(cè)面上，

∴小貓仍曬到太陽.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了有關(guān)銳角三角函數(shù)的應(yīng)用問題，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形模型，尋找直角三角形中合適的邊角關(guān)系解決問題.

（作者單位：江蘇省建湖縣匯文實(shí)驗(yàn)初中教育集團(tuán)匯文校區(qū)）