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    摸出的精彩

    2016-03-04 09:09:35侍然
    初中生世界·九年級 2016年2期
    關(guān)鍵詞:摸球白球紅球

    侍然

    “摸球試驗”是古典概型的典型代表.很多中考試題常常是以摸球問題為原型,將條件或結(jié)論適當(dāng)?shù)馗淖?、引申、重組,命制出精彩的試題.下面就一道有關(guān)摸球試驗的課本例題進行變式研究,讓同學(xué)們從不同角度、不同層次認(rèn)識概率.

    課本例題(蘇科版《數(shù)學(xué)》九上第136頁例4)

    一只不透明的袋子中裝有1個白球和兩個紅球,這些球除顏色外都相同,攪勻后從袋中任意摸出1個球,記錄顏色后放回、搖勻,再從中任意摸出1個球.求兩次都摸到紅球的概率.

    解:把兩個紅球編號為紅球1、紅球2,用表格列出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果:

    由表格可知,共有9種可能出現(xiàn)的結(jié)果,并且它們都是等可能的.“兩次都摸到紅球”有4種可能,所以P(兩次都摸到紅球)=.

    【方法歸納】當(dāng)試驗結(jié)果分為2步,但所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)較大時,運用“表格”較為清晰、便捷;當(dāng)試驗結(jié)果分為3步時,則一般運用“樹狀圖”列出所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果求解.

    變式一:求兩次摸到同樣顏色球的概率.

    變式二:如果第一次摸出的球不放回,那么兩次都摸到紅球的概率是多少?

    【分析】變式一只需從表格中找到兩次摸到同樣顏色球有5種可能.所以P(兩次都摸到同樣顏色球)=.

    變式二屬于“不放回”的情況,先列出表格為:

    所以第一次摸出的球不放回,兩次都摸到紅球的概率==.例題與變式二區(qū)別在于前者是“放回”,后者是“不放回”,要注意它們列出表格的不同點.如果條件是“一次摸兩個球”,這里雖然沒有明說是放回還是不放回,但是我們也應(yīng)做不放回處理.

    變式三:有甲、乙兩個不透明的布袋.甲袋中有兩個完全相同的小球,分別標(biāo)有數(shù)字1和-2;乙袋中有三個完全相同的小球,分別標(biāo)有數(shù)字-1、0和2.小麗先從甲袋中隨機取出一個小球,記下小球上的數(shù)字為x,再從乙袋中隨機取出一個小球,記錄下小球上的數(shù)字為y,設(shè)點P的坐標(biāo)為(x,y).

    (1) 請用表格或樹狀圖列出點P所有可能的坐標(biāo);

    (2) 求點P在一次函數(shù)y=x+1圖像上的概率.

    【分析】變式三由原來單一地求概率到利用概率知識與方程、函數(shù)等其它知識相結(jié)合的綜合性問題,考查了解決綜合問題的能力.

    解:(1) 畫樹狀圖:

    ∴點P所有可能的坐標(biāo)為:(1,-1)、(1,0)、(1,2)、(-2,-1)、(-2,0)、(-2,2).

    (2) ∵只有(1,2)、(-2,-1)這兩個點在一次函數(shù)y=x+1的圖像上,

    ∴P(點P在一次函數(shù)y=x+1的圖像上)==.

    變式四:一只不透明的袋子中,裝有兩個白球和1個紅球,這些球除顏色外都相同.

    (1) 小明認(rèn)為,攪勻后從中任意摸出一個球,不是白球就是紅球,因此摸出白球和摸出紅球是等可能的.你同意他的說法嗎?為什么?

    (2)攪勻后從中一把摸出兩個球,請通過列表或樹狀圖求兩個球都是白球的概率;

    (3)攪勻后從中任意摸出一個球,要使摸出紅球的概率為,應(yīng)如何添加紅球?

    【分析】變式四中第(1)題有的同學(xué)會只考慮球的顏色而忽略球的的個數(shù),認(rèn)為摸出白球和摸出紅球是等可能的.第(2)題容易忽視“一把摸出兩個球”這一條件,它實質(zhì)屬于“不放回”的情況,不少同學(xué)往往因分析失誤,就會對可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)判斷出錯,從而造成解題出錯.第(3)題既考查概率意義,又考查同學(xué)們靈活運用概率知識設(shè)計方案的能力.

    解:(1) 不同意小明的說法.

    因為摸出白球的概率是,摸出紅球的概率是,因此摸出白球和摸出紅球不是等可能的.

    (2) 樹狀圖如圖:

    ∴P(兩個球都是白球)==.

    (3) 方法一:設(shè)應(yīng)添加x個紅球,

    由題意得=,

    解得x=3(經(jīng)檢驗是原方程的解).

    方法二:∵添加后P(摸出紅球)=,

    ∴添加后P(摸出白球)=1-=,

    ∴添加后球的總個數(shù)=2÷=6,

    ∴應(yīng)添加6-3=3(個)紅球.

    答:應(yīng)添加3個紅球.

    有關(guān)以“摸球”為背景的概率題目是我們比較熟悉的常見問題.學(xué)習(xí)過程中同學(xué)們要對這些典型問題反復(fù)進行一題多變的訓(xùn)練,既可以增長知識,又能培養(yǎng)思維能力.同學(xué)們要注意積累經(jīng)驗,提高能力.

    (作者單位:江蘇省宿遷市宿豫區(qū)實驗初級中學(xué))

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