三角函數(shù)發(fā)展史拾趣

呂愛生

三角函數(shù)在中學(xué)教學(xué)中具有十分重要的地位，對于提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)與培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力也起著重要的作用.作為數(shù)學(xué)史的一部分，三角函數(shù)極大地促進(jìn)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用與發(fā)展.同學(xué)們，讓我們一起來感受其產(chǎn)生與發(fā)展的歷史，體會其迷人的價值吧.

一、 三角學(xué)與天文學(xué)

三角學(xué)的英文名稱是trigonometry，大約定名于公元1600年，實際源于希臘的三角和測量，其原義為三角形測量（解法），是以研究平面三角形和球面三角形的邊角關(guān)系為基礎(chǔ)，達(dá)到測量上應(yīng)用為目的的一門學(xué)科.

早期的三角學(xué)與天文學(xué)是密不可分的.由于航海、遷移、歷法推算以及天文觀察等需要，人們最初以太陽和星星為觀測參考物來確定目標(biāo)的遠(yuǎn)近以及時間的長短，自然地為這種觀測服務(wù)產(chǎn)生一些原始的三角測量.因此可以說，三角學(xué)是緊密地同天文學(xué)相聯(lián)系而邁出自己歷史第一步的.

西方的三角學(xué)始創(chuàng)于公元前約150年，早在公元前300年，古代埃及人已有了一定的三角學(xué)知識，但主要用于測量.公元前2世紀(jì)后，希臘天文學(xué)家希帕霍斯為了天文觀測的需要，作了一個和現(xiàn)在三角函數(shù)表相仿的弦表，成為西方三角學(xué)的最早奠基者，這個成就使他贏得了“三角學(xué)之父”的稱謂.

公元2世紀(jì)，希臘天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家托勒密繼承希帕霍斯的成就，加以整理發(fā)揮，寫成《天文學(xué)大成》13卷，其中包括從0°到90°每隔半度的弦表及若干等價于三角函數(shù)性質(zhì)的關(guān)系式，被認(rèn)為是西方第一本系統(tǒng)論述三角學(xué)理論的著作.在同時代的梅內(nèi)勞斯寫了一本專論球面三角學(xué)的著作《球面學(xué)》，其中包含球面三角形的基本概念和球面三角形許多獨特性質(zhì).他的工作使希臘三角學(xué)達(dá)到全盛時期.

后來，阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家開始對三角學(xué)進(jìn)行專門的整理和研究，他們的工作具有使三角學(xué)從天文學(xué)中獨立出來的杰出表現(xiàn)，但是真正把三角學(xué)作為數(shù)學(xué)的一個獨立學(xué)科加以系統(tǒng)論述的，是德國數(shù)學(xué)家雷基奧蒙坦納斯.1464年，他發(fā)表了《論各種三角形》，在這本書中，他把以往散見在各種書上的三角學(xué)知識，系統(tǒng)地綜合了起來，使三角學(xué)成為數(shù)學(xué)上的一個分支.

二、 三角函數(shù)發(fā)展史與三角學(xué)

三角學(xué)雖曾是天文學(xué)的一部分，但由于研究范圍的逐漸擴(kuò)大，才逐漸變成以三角函數(shù)為主要對象的學(xué)科.現(xiàn)在，三角學(xué)的研究范圍不僅限于三角形，已成為數(shù)理分析之基礎(chǔ)，是研究實用科學(xué)所必需的工具.

然而，直到18世紀(jì)，三角函數(shù)量：正弦、余弦、正切等等都始終被認(rèn)為是已知圓與同一條弧有關(guān)的某些線段，即三角學(xué)是以幾何的面貌表現(xiàn)出來的，這也可以說是三角學(xué)的古典面貌.

三角學(xué)的現(xiàn)代特征是把三角量看作函數(shù)，即看作是一種與角相對應(yīng)的函數(shù)值.1748年，歐拉發(fā)表了著名的《無窮小分析引論》一書，指出：“三角函數(shù)是一種函數(shù)線與圓半徑的比值.”（注：這一說法與現(xiàn)行教科書定義似乎不同，究其原因是背景不同，但其實質(zhì)是相通的）

歐拉的這個定義是極其科學(xué)的，它使三角學(xué)從靜態(tài)研究三角形解法中解放出來，使它有可能去反映運動和變化的過程，從而使三角學(xué)成為一門具有現(xiàn)代特征的分析性學(xué)科.正如歐拉所說，引進(jìn)三角函數(shù)以后，原來意義下的正弦等三角量都可以脫離幾何圖形進(jìn)入運算，一些三角關(guān)系式也容易從三角函數(shù)定義得出.這就使得許多數(shù)學(xué)家所得出的三角關(guān)系式都有了堅實的理論依據(jù).

三、 我國“正弦”一詞的由來

我國古代沒有出現(xiàn)角的函數(shù)概念，只是在《九章算術(shù)》中《勾股》章的最后，提出了測量城池、山高和井深的問題，這種測量方法稱為“重差術(shù)”. 三國時代數(shù)學(xué)家劉徽為了解釋“重差術(shù)”，便撰寫《重差》一卷，附在《九章算術(shù)》中《勾股》章之后，到了唐初，這一部分才被人從《九章算術(shù)》中抽出來，成為一部獨立的著作.

明朝崇禎4年（1631年），三角學(xué)傳入我國，德國傳教士鄧玉函、湯若望和明代著名科學(xué)家、政治家、農(nóng)學(xué)家徐光啟合編《大測》，其作為歷書的一部分呈獻(xiàn)給朝廷，這是我國第一部編譯的三角學(xué).同年，徐光啟等人還編寫了《測量全義》，其中有平面三角和球面三角的論述.1653年，薛風(fēng)祚與波蘭傳教士穆尼閣合編《三角算法》，以“三角”取代“大測”，確立了“三角”名稱.1877年，華蘅煦等人對三角級數(shù)展開式等問題有過獨立的探討.

在《大測》中，首先將sinus譯為“正半弦”，簡稱“正弦”，這就成了我國正弦一詞的由來.

四、 一些常用的三角函數(shù)與三角函數(shù)表

除了正弦函數(shù)外，余弦函數(shù)、正切函數(shù)、余切函數(shù)、 正割函數(shù)、余割函數(shù)也是常用的三角函數(shù).在九年級，同學(xué)們學(xué)習(xí)的三角函數(shù)有正切函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù).

在《論各種三角形》中，雷基奧蒙坦納斯正式提出sine（正弦）一詞.而cosine（余弦）則為英國人根日爾首先使用，最早在1620年倫敦出版的他所著的《炮兵測量學(xué)》中出現(xiàn).

1626年，阿貝爾特·格洛德最早推出的正弦與正切的簡寫三角符號分別為：“sin”與“tan”.1675年，英國人奧屈特最早推出余弦的簡寫三角符號：“cos”.但直到1748年，經(jīng)過數(shù)學(xué)家歐拉的引用后，才逐漸通用起來，并被定格為現(xiàn)在的形式.

所謂三角函數(shù)表，就是把不同角度和它對應(yīng)的三角函數(shù)值放在一起，制作成表，以便隨時查閱.顯然，三角函數(shù)表的出現(xiàn)是自然的，因為對一個函數(shù)來說，任意一個自變量都有唯一一個值與之對應(yīng).

著名的敘利亞天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家阿爾·巴坦尼于公元920年左右，制成了自0°到90°相隔1°的余切函數(shù)表.

公元727年，僧人一行受唐朝皇帝唐玄宗之命撰寫《大衍歷》.為了求得全國任何地方一年中各節(jié)氣的日影長度，一行編出了太陽天頂距和八尺之竿的日影長度對應(yīng)表，太陽天頂距和日影長度比的關(guān)系即為正切函數(shù).而巴坦尼編制的是余切函數(shù)表，是日影長度和太陽天頂距比值列表.兩人的發(fā)現(xiàn)本質(zhì)上是一回事，但巴坦尼比一行要晚近200年.

（作者單位：江蘇省建湖縣城南實驗初中教育集團(tuán)近湖校區(qū)）