“三招”破解概率難點(diǎn)

苗鑫

概率在日常生活、科學(xué)實(shí)踐中應(yīng)用非常廣泛.在同學(xué)們的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)中雖然有了一些對(duì)事件發(fā)生的可能性大小的體驗(yàn)，但那些都是感性的、粗線條的.現(xiàn)在遇到用具體的數(shù)——概率來(lái)刻畫事件發(fā)生的可能性，要用數(shù)字“說(shuō)話”，一時(shí)難適應(yīng)，計(jì)算也感到?jīng)]有頭緒.為了幫助同學(xué)們學(xué)好這一章，下面教同學(xué)們“三招”，用來(lái)破解概率學(xué)習(xí)中的難點(diǎn).

第一招 辨析概念

事件發(fā)生的“等可能性”這一概念要加強(qiáng)辨析

概念：如果一次試驗(yàn)由n個(gè)基本事件組成，而且所有的基本事件出現(xiàn)的可能性都相等，那么這個(gè)事件叫做等可能性事件.

辨析1：這里的n可以是有限個(gè)也可以是無(wú)限個(gè).例如：拋擲一個(gè)質(zhì)地均勻的骰子出現(xiàn)的可能性是有限的；轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)均勻的轉(zhuǎn)盤，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)指針位置出現(xiàn)的可能性是無(wú)限的.

辨析2：等可能性包含兩層含義：①所有可能發(fā)生的結(jié)果為有限個(gè)或無(wú)限個(gè)，每次試驗(yàn)有且只有一個(gè)結(jié)果出現(xiàn)；②每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的機(jī)會(huì)均等.

例1 判斷下列試驗(yàn)的結(jié)果哪些具有等可能性.

（1） 拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，面朝上的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)與面朝上的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)的結(jié)果；

（2） 拋擲一枚圖釘，釘尖朝上朝下的結(jié)果；

（3） 一只不透明的袋中裝有3個(gè)紅球和4個(gè)白球，這些球除顏色外都相同，攪勻后從中摸出一個(gè)球，出現(xiàn)紅球和白球的結(jié)果.

【錯(cuò)解】（1）（2）（3）的試驗(yàn)結(jié)果都具有等可能性.

【錯(cuò)解辨析】拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，面朝上的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)或是偶數(shù)各有3種等可能的結(jié)果，所以（1）的試驗(yàn)結(jié)果具有等可能性；圖釘不均勻，拋擲中釘尖朝上朝下的機(jī)會(huì)不均等，所以（2）的試驗(yàn)結(jié)果不具有等可能性；在一只不透明的袋中裝有3個(gè)紅球和4個(gè)白球，從中任意摸出一個(gè)球有7種等可能的結(jié)果，而從中摸出紅球和白球的結(jié)果出現(xiàn)的機(jī)會(huì)不均等，所以（3）的試驗(yàn)結(jié)果不具有等可能性.

【正解】（1）的試驗(yàn)結(jié)果具有等可能性，（2）（3）的試驗(yàn)結(jié)果不具有等可能性.

第二招 學(xué)好“列表”與“畫圖”

如果每次試驗(yàn)包含兩步，每一步可能產(chǎn)生的結(jié)果數(shù)比較多，這時(shí)可以用一種較簡(jiǎn)便的列舉方法——列表法，這種方法適合在兩步試驗(yàn)中每一步出現(xiàn)的結(jié)果較多的情況.

例2 一個(gè)布袋內(nèi)只裝有1個(gè)黑球和2個(gè)白球，這些球除顏色外其余都相同，隨機(jī)摸出一個(gè)球后放回?cái)噭颍匐S機(jī)摸出一個(gè)球，則兩次摸出的球都是黑球的概率是（ ）.

A. B. C. D.

【解析】列表如下：

由表格可知，隨機(jī)摸出一個(gè)球后放回?cái)噭?，再隨機(jī)摸出一個(gè)球所得的結(jié)果有9種，兩次摸出的球都是黑球的結(jié)果有1種，所以兩次摸出的球都是黑球的概率是■.故答案選D.

【點(diǎn)評(píng)】列表法可以不重復(fù)不遺漏地列出所有可能發(fā)生的結(jié)果，適合于兩步完成的事件.

當(dāng)事件要經(jīng)過(guò)多個(gè)步驟（三步或三步以上）完成時(shí)，用樹(shù)狀圖列出事件所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，脈絡(luò)清晰，一目了然.

例3 為了參加中考體育測(cè)試，甲，乙，丙三位同學(xué)進(jìn)行足球傳球訓(xùn)練.球從一個(gè)人腳下隨機(jī)傳到另一個(gè)人腳下，且每位傳球人傳球給其余兩人的機(jī)會(huì)是均等的，由甲開(kāi)始傳球，共傳三次.

（1） 請(qǐng)用樹(shù)狀圖列舉出三次傳球的所有可能情況；

（2） 求傳球三次后，球回到甲腳下的概率；

（3） 三次傳球后，球回到甲腳下的概率大還是傳到乙腳下的概率大？

【解析】（1） 三次傳球所有可能的情況如圖：

（2） 由圖知：三次傳球后，球回到甲的概率為P（甲）

（3）由圖知：三次傳球后，球回到乙的概率為P（乙）

P（乙）>P（甲），所以是傳到乙腳下的概率要大.

【點(diǎn)評(píng)】用樹(shù)狀圖求概率時(shí)，最關(guān)鍵的是畫樹(shù)狀圖時(shí)橫行與豎列的確定.確定時(shí)掌握一個(gè)原則，橫行是試驗(yàn)中的元素，如本題的甲、乙、丙等，豎列是試驗(yàn)的步驟，如本題的第一次、第二次、第三次等.試驗(yàn)的結(jié)果總數(shù)為樹(shù)狀圖最末端的總個(gè)數(shù)，如本例中可能的結(jié)果共有8種.

第三招 細(xì)心審題破解“放回”與“不放回”型概率問(wèn)題

例4 一個(gè)不透明的袋子中裝著標(biāo)號(hào)為1，2，3，4的4個(gè)小球，這些球除顏色外都相同. 甲乙兩人共同協(xié)商了一個(gè)游戲規(guī)則：將球攪勻后，每人從中摸出一個(gè)球，其中摸出的球上的標(biāo)號(hào)大的一方獲勝.

（1） 若甲先摸球且摸出的球不放回，乙再摸球，求乙獲勝的概率；

（2） 若甲摸出的球放回后乙再摸球，此時(shí)制訂的游戲規(guī)則公平嗎？為什么？

【解析】第（1）小題中，要求乙獲勝的概率，相信同學(xué)們應(yīng)該能輕松解決.對(duì)了，通過(guò)列表或者畫樹(shù)狀圖的方法，列出所有可能的情況共12種，其中乙勝的情況數(shù)為6種，因此乙獲勝的概率為0.5.關(guān)于第（2）小題，要判斷游戲規(guī)則是否公平，同學(xué)們想想看，應(yīng)該根據(jù)什么來(lái)判斷呢？不錯(cuò)，就是看在該規(guī)則下甲乙兩人獲勝的概率是否相同！因此，只需算出甲乙兩人的獲勝概率，就可以作出判斷. 同樣列出表格或者樹(shù)狀圖，可以看到，現(xiàn)在的所有可能的情況是16種了，不過(guò)其中有四種是平局，另外甲勝有6種，乙勝也有6種，因此甲乙兩人獲勝的概率都是0.375，因此這個(gè)游戲規(guī)則是公平的.

同學(xué)們，這一類問(wèn)題的解決方法應(yīng)該清楚了吧？不妨再挑戰(zhàn)難度大點(diǎn)的：如果把游戲規(guī)則改為甲先摸球，記下標(biāo)號(hào)后放回，然后乙再摸球，把兩人摸到的球的標(biāo)號(hào)相加，如果和為偶數(shù)，則甲勝，否則乙勝. 請(qǐng)問(wèn)這個(gè)游戲規(guī)則公平嗎？

在學(xué)習(xí)概率時(shí)，我們要充分利用已有的生活經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知基礎(chǔ)，用身邊感興趣的、鮮活生動(dòng)的問(wèn)題情境作為學(xué)習(xí)素材，讓自己親身經(jīng)歷，自己總結(jié)、分析，試著用自己的語(yǔ)言表述，理解、辨析概念，對(duì)典型的問(wèn)題，要在相互交流、討論甚至爭(zhēng)議中澄清認(rèn)識(shí)，逐漸積累解題經(jīng)驗(yàn).對(duì)于復(fù)雜情形的問(wèn)題，要重視課堂中老師的點(diǎn)撥和解題后的檢查，減少失誤的機(jī)會(huì)，增強(qiáng)自己的學(xué)習(xí)信心.

（作者單位：江蘇省宿遷市湖濱新區(qū)曉店中學(xué)）