“銳角三角函數(shù)”考點(diǎn)大觀察

王國兵

“銳角三角函數(shù)”是初中數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容，也是中考考查的重點(diǎn)內(nèi)容.縱觀近幾年的中考數(shù)學(xué)試題，銳角三角函數(shù)的定義、特殊的三角函數(shù)值、解直角三角形以及銳角三角函數(shù)在實(shí)際問題中的運(yùn)用往往是考查的重點(diǎn).現(xiàn)以近兩年中考試題為例，說明如下.

考點(diǎn)一 銳角三角函數(shù)的定義

例1 （2016·陜西）已知拋物線y=-x2

-2x+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，將這條拋物線的頂點(diǎn)記為C，連接AC，則tan∠CAB的值為（ ）.

A.[12]

B.[55]

C.[255]

D.2

【解析】如圖1，過C點(diǎn)作CD⊥AB，垂足為D，由題意可求得點(diǎn)A（-3，0）、B（1，0）、C（-1，4），則AD=2，CD=4，在Rt△ACD中，tan∠CAB=[CDAD]=[42]=2，故選D.

考點(diǎn)二 特殊三角函數(shù)值

例2 （2016·山東濰坊）關(guān)于x的一元二次方程x2-[2x]+sinα=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則銳角α等于（ ）.

A.15° B.30° C.45° D.60°

【解析】因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)相等的實(shí)數(shù)根，所以Δ=（-[2]）2-4sinα=2-4sinα=0，故sinα=[12].因?yàn)棣潦卿J角，所以α=30°.

考點(diǎn)三 解直角三角形

例3 （2015·湖北）如圖2，AD是△ABC的中線，tanB=[13]，cosC=[22]，AC=[2].求（1）BC的長；（2）sin∠ADC的值.

【解析】（1）過點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為E.

由cosC=[22]，得∠C=45°.

在Rt△ACE中，CE=AE=AC?cosC=[2]×[22]=1，在Rt△ABE中，BE=[AEtanB]=3，

則BC=BE+CE=4.

（2）由AD是△ABC中線得，CD=[12]BC=2，DE=CD-CE=1，

在Rt△ADE中，tan∠ADE=[AEDE]=1，得∠ADE

=45°，所以sin∠ADC=sin45°=[22].

【反思】解決這類問題關(guān)鍵是弄清三角形中線與角之間的關(guān)系，可以從一些特殊角以及特殊角所對應(yīng)的特殊三角函數(shù)值入手，層層深入，步步為營，使問題得以解決.

考點(diǎn)四 銳角三角函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用

1.仰角俯角問題

例4 （2016·河南）如圖3，小東在教學(xué)樓距地面9米高的窗口C處，測得正前方旗桿頂部A點(diǎn)的仰角為37°，旗桿底部B點(diǎn)的俯角為45°，升旗前，國旗上端懸掛在距地面2.25米處，若國旗隨國歌聲冉冉升起，并在國歌播放45秒結(jié)束時(shí)到達(dá)旗桿頂端，則國旗應(yīng)以多少米/秒的速度勻速上升？（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

【解析】通過解Rt△BCD和Rt△ACD分別求得CD和AD的長度，得AB的長度，從而根據(jù)題意得到整個(gè)過程中旗子上升高度，由“速度=[上升的高度上升的時(shí)間]”即可求解.在Rt△BCD中，CD=BD·tan∠BCD=9tan45°=9.在Rt△ACD中，AD=CDtan∠ACD=9tan37°≈6.75，所以AB=BD+AD=9+6.75=15.75，則整個(gè)旗子上升的高度是15.75-2.25=13.5（米），因耗時(shí)45s，故國旗上升的速度v=[13.545]=0.3（米/秒）.

2.坡度坡角問題

例5 （2016·重慶）如圖4所示，某辦公大樓正前方有一根高度是15米的旗桿ED，從辦公樓頂端A測得旗桿頂端E的俯角α是45°，旗桿底端D到大樓前梯坎底邊的距離DC是20米，梯坎坡長BC是12米，梯坎坡度i=[1∶3]，則大樓AB的高度約為（ ）.（精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：[2]≈1.41，[3]≈1.73，[6]≈2.45）

A.30.6 B.32.1 C.37.9 D.39.4

【解析】如圖5，延長AB交DC于H，作EG⊥AB于G，則GH=DE=15米，EG=DH，設(shè)BH=x米，則CH=[3]x米，在Rt△BCH中，BC=12米，由勾股定理得出方程，解方程求出BH=6米，CH=[63]米，得到BG=9米，證得△AEG是等腰直角三角形，得到AG=EG=HD=[63]+20（米），即可得出大樓的高度為AB=AG+BG=[63]+20+9≈39.4（米）.

【反思】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用——坡度、俯角問題.通過作輔助線，運(yùn)用勾股定理求出BH、HC后，得出EG、BG是解決問題的關(guān)鍵.

3.方向角問題

例6 （2016·四川樂山）如圖6，禁止捕魚期間，某海上稽查隊(duì)在某海域巡邏，上午某一時(shí)刻在A處接到指揮部通知，在他們東北方向距離12海里的B處有一艘捕魚船，正在沿南偏東75°方向以每小時(shí)10海里的速度航行，稽查隊(duì)員立即乘坐巡邏船以每小時(shí)14海里的速度沿北偏東某一方向出發(fā)，在C處成功攔截捕魚船，求巡邏船從出發(fā)到成功攔截捕魚船所用的時(shí)間.

【解析】由題意易得∠ABC=120°，AB=12，設(shè)巡邏船從出發(fā)到成功攔截捕魚船所用的時(shí)間為x小時(shí)，則BC=10x，AC=14x，在△ABC中，∠ABC=120°為一特殊角，解題時(shí)注意不破壞特殊角的特殊性，自然想到，過A點(diǎn)作AD⊥BC交CB延長線于點(diǎn)D，如圖7.

在Rt△ABD 中，

AD=ABsin∠ABD=12sin60°=[63]，

BD=ABcos∠ABD=12cos60°=6，

CD=BC+BD=10x+6.

在Rt△ACD中，AD2+CD2=AC2，

（[63]）2+（10x+6）2=（14x）2，解之得x1=2，x2=-[34]（不符合題意舍去）.

答：巡邏船從出發(fā)到成功攔截捕魚船所用的時(shí)間為2小時(shí).

【反思】解決銳角三角函數(shù)應(yīng)用問題時(shí)，要能正確讀懂題意，理解方位角的含義，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題加以解決，即找到已知與未知相關(guān)聯(lián)的直角三角形，有時(shí)圖形中沒有直角三角形，要依托特殊角通過作高的方法構(gòu)造直角三角形解決問題.

（作者單位：江蘇省東臺(tái)市許河鎮(zhèn)中學(xué)）