抽簽方法合理性的通關(guān)攻略

陸振宇

蘇科版《數(shù)學(xué)》教材九年級下冊第137頁：

我們用抽簽的方法從3名同學(xué)中選1名去參加某音樂會.事先準(zhǔn)備3張相同的小紙條并在1張紙條畫上記號，把3張紙條放在一個(gè)盒子中攪勻，然后讓3名同學(xué)去摸紙條，抽中有記號紙條的同學(xué)即可參加音樂會，這種方法公平嗎？

書上利用畫樹狀圖的方法，分別求出了每個(gè)人抽到簽的概率均為[13].

【反思】抽簽雖然有先有后，但是先抽的人與后抽的人中簽的概率是相同，這樣的抽簽方法是合理的.

【實(shí)戰(zhàn)中考】甲、乙兩名同學(xué)做摸球游戲，他們把三個(gè)分別標(biāo)有1、2、3的大小和形狀完全相同的小球放在一個(gè)不透明的口袋中.

（1）求從袋中隨機(jī)摸出一球，標(biāo)號是1的概率；

（2）從袋中隨機(jī)摸出一球后放回，搖勻后再隨機(jī)摸出一球，若兩次摸出的球的標(biāo)號之和為偶數(shù)時(shí)，則甲勝，若兩次摸出的球的標(biāo)號之和為奇數(shù)時(shí)，則乙勝，試分析這個(gè)游戲是否公平，請說明理由.

【分析】（1）直接利用概率公式求解即可求得答案；

（2）首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與甲勝、乙勝的情況，即可求得概率，比較大小，即可知這個(gè)游戲是否公平.

解：（1）∵三個(gè)分別標(biāo)有1、2、3的大小和形狀完全相同的小球放在一個(gè)不透明的口袋中，

∴從袋中隨機(jī)摸出一球，標(biāo)號是1的概率為[13]；

（2）這個(gè)游戲不公平.

畫樹狀圖得：

∵共有9種等可能的結(jié)果，兩次摸出的球的標(biāo)號之和為偶數(shù)的有5種情況，兩次摸出的球的標(biāo)號之和為奇數(shù)的有4種情況，

∴P（甲勝）=[59]，P（乙勝）=[49]，

∴P（甲勝）≠P（乙勝），

∴這個(gè)游戲不公平.

【反思】本題考查的是游戲公平性的判斷.判斷游戲公平性就要計(jì)算每個(gè)事件的概率，我們可以利用列表格或者畫樹狀圖的方法來求出每種情況的概率，概率相等就公平，否則就是不公平.

【平行變式】把大小和形狀完全相同的6張卡片分成兩組，每組3張，分別標(biāo)上數(shù)字1、2、3，將這兩組卡片分別放入兩個(gè)盒子中攪勻，再從中各隨機(jī)摸取一張.

（1）試求取出的兩張卡片數(shù)字之和為奇數(shù)的概率；

（2）若取出的兩張卡片數(shù)字之和為奇數(shù)，則甲勝；取出的兩張卡片數(shù)字之和為偶數(shù)，則乙勝；試分析這個(gè)游戲是否公平？請說明理由.

【分析】（1）用樹狀圖或列表法列出所有可能的情形，找出滿足題目要求的情形，再利用公式進(jìn)行計(jì)算；（2）算出各自的概率，如果概率相等，則公平，否則不公平.

解：（1）用樹狀圖列出所有的可能的情形如下：

從樹狀圖可看出一共有9種等可能情況，和為奇數(shù)有4種情形，

所以P（和為奇數(shù)）=[49].

（2）由于P（和為偶數(shù)）=1-[49]=[59]，所以這個(gè)游戲不公平.

【方法指導(dǎo)】掌握此類問題，需熟練掌握以下知識：

公式法：P（A）=[mn]，其中n為所有事件的總數(shù)，m為事件A發(fā)生的總次數(shù).

列舉法（列表或畫樹狀圖）的一般步驟為：①判斷使用列表或畫樹狀圖方法（列表法一般適用于兩步計(jì)算；畫樹狀圖法適合于兩步及兩步以上求概率）；②不重不漏地列舉出所有事件出現(xiàn)的可能結(jié)果，并判定每種事件發(fā)生的可能性是否相等；③確定所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)n及所求事件A出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)m；④用公式P（A）=[mn]求事件A發(fā)生的概率.

通過上面的分析，我們不難發(fā)現(xiàn)中考在這類問題的切入點(diǎn)并不深，相信同學(xué)們在認(rèn)真審題的情況下，解決這類問題會游刃有余.

【綜合運(yùn)用】暑假快要到了，某市準(zhǔn)備組織同學(xué)們分別到A、B、C、D四個(gè)地方進(jìn)行夏令營活動(dòng)，前往四個(gè)地方的人數(shù)如圖所示.

（1）去B地參加夏令營活動(dòng)人數(shù)占總?cè)藬?shù)的40%，根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖求去B地的人數(shù).

（2）若一對姐弟中只能有一人參加夏令營，姐弟倆提議讓父親決定.父親說：現(xiàn)有4張卡片上分別寫有1、2、3、4四個(gè)整數(shù)，先讓姐姐隨機(jī)地抽取一張后放回，再由弟弟隨機(jī)地抽取一張.若抽取的兩張卡片上的數(shù)字之和是5的倍數(shù)則姐姐參加，若抽取的兩張卡片上的數(shù)字之和是3的倍數(shù)則弟弟參加.用列表法或樹形圖分析這種方法對姐弟倆是否公平.

【分析】（1）假設(shè)去B地的人數(shù)為x，根據(jù)去B地參加夏令營活動(dòng)人數(shù)占總?cè)藬?shù)的40%，進(jìn)而得出方程求出即可；

（2） 根據(jù)已知，列表得出所有可能，進(jìn)而利用概率公式求出即可.

解：（1）設(shè)去B地的人數(shù)為x，

則由題意有：[x30+x+20+10]=40%；

解得：x=40.

∴去B地的人數(shù)為40人.

（2）列表：

∴姐姐能參加的概率P（姐）=[416]=[14]，

弟弟能參加的概率為P（弟）=[516]，

∵P（姐）=[416]

【反思】此題主要考查了條形統(tǒng)計(jì)圖以及列表法求出概率和游戲公平性等知識，正確列舉出所有可能是解題關(guān)鍵.

（作者單位：江蘇省淮安曙光雙語學(xué)校）