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    非連通圖2D3,4∪G的優(yōu)美標(biāo)號(hào)

    2017-03-03 05:38:37吳躍生
    關(guān)鍵詞:標(biāo)號(hào)頂點(diǎn)分化

    吳躍生

    (華東交通大學(xué)理學(xué)院,江西南昌330013)

    非連通圖2D3,4∪G的優(yōu)美標(biāo)號(hào)

    吳躍生

    (華東交通大學(xué)理學(xué)院,江西南昌330013)

    討論了非連通圖2D3,4∪G的優(yōu)美性,給出了非連通圖D3,4∪G是優(yōu)美圖的二十一個(gè)充分條件.證明了非連通圖2D3,4∪G(k)+a(a=2,3,4,5,6,8,9,…,23)都是優(yōu)美的.

    優(yōu)美圖;交錯(cuò)圖;非連通圖;優(yōu)美標(biāo)號(hào)

    引言

    記號(hào)[m,n]表示整數(shù)集合{m,m+1,…,n},m和n均為非負(fù)整數(shù),且滿足0≤m<n.記號(hào)G(k)+m表示圖G是特征為k且缺k+m標(biāo)號(hào)值的交錯(cuò)圖.本文所討論的圖均為無(wú)向簡(jiǎn)單圖,記號(hào)V(G)和E(G)分別表示圖G的頂點(diǎn)集和邊集,未說(shuō)明的符號(hào)及術(shù)語(yǔ)均同文獻(xiàn)[1-17].

    圖的優(yōu)美標(biāo)號(hào)問(wèn)題是組合數(shù)學(xué)中一個(gè)熱門課題[1-17].

    1 概念

    定義1[1]對(duì)于一個(gè)圖G=(V,E),稱G是優(yōu)美圖,θ是G的一組優(yōu)美標(biāo)號(hào)是指:如果存在一個(gè)單射使得對(duì)所有邊e=uv∈E(G),由導(dǎo)出的映射是一個(gè)雙射.

    定義2[2]設(shè)θ是圖G的優(yōu)美標(biāo)號(hào),V(G)=X∪Y,且X∪Y=Φ,如果,則稱θ是G的交錯(cuò)標(biāo)號(hào).稱G是在交錯(cuò)標(biāo)號(hào)θ下的交錯(cuò)圖.稱k為交錯(cuò)圖G關(guān)于交錯(cuò)標(biāo)號(hào)θ的特征.

    把任意m個(gè)圈Cn的恰有一個(gè)公共點(diǎn)所組成的圖記作Dm,n[1].

    非連通圖2D3,4存在特征為12,且缺6,14,15,22和23標(biāo)號(hào)值的交錯(cuò)標(biāo)號(hào),如圖1所示,為方便記,把如圖1所示的標(biāo)號(hào)記為:(13;9,21,10;12,19,11;8,17,7);(24;3,16,2;0,18,1;4,20,5);

    非連通圖2D3,4存在特征為11,且缺1,2,9,10和18標(biāo)號(hào)值的交錯(cuò)標(biāo)號(hào),如圖2所示,為方便記,把如圖2所示的標(biāo)號(hào)記為:(11;15,3,4;12,5,13;16,7,17);(0;21,8,22;24,6,23;20,4,19);本文討論了非連通圖2D3,4∪G的優(yōu)美性.

    圖1 非連通圖2D3,4的交錯(cuò)標(biāo)號(hào)

    圖2 非連通圖2D3,4的交錯(cuò)標(biāo)號(hào)

    2 主要結(jié)果及其證明

    (1)特征為k+14且缺k+1,k+8,k+16,k+17和k+20標(biāo)號(hào)值的交錯(cuò)標(biāo)號(hào);

    (2)特征為k+14且缺k+1,k+8,k+16,k+17和k+24標(biāo)號(hào)值的交錯(cuò)標(biāo)號(hào).

    證設(shè)2D3,4如圖2所示,設(shè)X,Y是圖G(k)+2的一個(gè)二分化,θ1是圖G(k)+2的交錯(cuò)標(biāo)號(hào),且

    圖3 非連通圖2D3,4

    非連通圖2D3,4∪G(k)+2的各種頂點(diǎn)標(biāo)號(hào)θ定義為:

    第一種標(biāo)號(hào):θ(x1)=k+15,θ(x2)=k+12,θ(x3)=k+23,θ(x4)=k+11,θ(x5)=k+14,θ(x6)=k+21,θ(x7)=k+13,θ(x8)=k+10,θ(x9)=k+19,θ(x10)=k+9,簡(jiǎn)記為(下文同):(k+15;k+12,k+23,k+11;k+14,k+21,k+13;k+10,k+19,k+9).

    θ(y1)=k+24,θ(y2)=k+5,θ(y3)=k+18,θ(y4)=k+4,θ(y5)=k+3,θ(y6)=k+26,θ(y7)=k+2,θ(y8)=k+7,θ(y9)=k+22,θ(y10)=k+6.簡(jiǎn)記為(下文同):

    第二種標(biāo)號(hào):(k+15;k+12,k+23,k+11;k+14,k+21,k+13;k+10,k+19,k+9);

    下面證明第一種標(biāo)號(hào)θ是非連通圖2D3,4∪G(k)+2的優(yōu)美標(biāo)號(hào).

    (1)θ:X→[0,k]是單射;θ:Y→[k+25,q+24]-{k+26}是單射;

    θ:V(2D3,4)→[k+2,k+24]∪{k+26}-{k+8,k+16,k+17,k+20}是雙射;

    有θ:V(2D3,4∪G(k)+2)→[0,q+24]-{k+1,k+8,k+16,k+17,k+20}是單射.

    θ':E(2D3,4)→[1,24]是雙射;

    θ':E(G(k)+2)→[25,q+24]是雙射.

    θ':E(2D3,4∪G(k)+2)→[1,q+24]是一一對(duì)應(yīng).

    由(1)和(2)可知第一種標(biāo)號(hào)θ就是非連通圖2D3,4∪G(k)+2的缺k+1,k+8,k+16,k+17和k+20標(biāo)號(hào)值的優(yōu)美標(biāo)號(hào).

    令X1=X∪{x2,x4,x5,x7,x8,x10}∪{y2,y4,y5,y7,y8,y10},

    Y1=Y∪{x1,x3,x6,x9}∪{y1,y3,y6,y9},

    所以,第一種標(biāo)號(hào)θ就是非連通圖D2,4∪G(k)+2的特征為k+14,且缺k+1,k+8,k+16,k+17和k+20標(biāo)號(hào)值的交錯(cuò)標(biāo)號(hào).

    其他各種標(biāo)號(hào)的證明可仿上.證畢.

    以下定理只給出標(biāo)號(hào),定理證明與定理1的第一種標(biāo)號(hào)證明過(guò)程類似,故省略.

    設(shè)2D3,4如圖2所示,設(shè)X,Y是圖G(k)+3的一個(gè)二分化,θ1是圖G(k)+3的交錯(cuò)標(biāo)號(hào),且

    非連通圖2D3,4∪G(k)+3的頂點(diǎn)標(biāo)號(hào)θ定義為:

    設(shè)2D3,4如圖2所示,設(shè)X,Y是圖G(k)+4的一個(gè)二分化,θ1是圖G(k)+4的交錯(cuò)標(biāo)號(hào),且

    非連通圖2D3,4∪G(k)+4的頂點(diǎn)標(biāo)號(hào)θ定義為:

    設(shè)2D3,4如圖2所示,設(shè)X,Y是圖G(k)+5的一個(gè)二分化,θ1是圖G(k)+5的交錯(cuò)標(biāo)號(hào),且

    非連通圖2D3,4∪G(k)+5的頂點(diǎn)標(biāo)號(hào)θ定義為:

    設(shè)2D3,4如圖2所示,設(shè)X,Y是圖G(k)+6的一個(gè)二分化,θ1是圖G(k)+6的交錯(cuò)標(biāo)號(hào),且

    非連通圖2D3,4∪G(k)+6的頂點(diǎn)標(biāo)號(hào)θ定義為:

    (1)特征為k+13且缺k+7,k+16,k+20,k+21和k+24標(biāo)號(hào)值的交錯(cuò)標(biāo)號(hào);

    (2)缺k+14,k+15,k+16,k+23和k+24標(biāo)號(hào)值的交錯(cuò)標(biāo)號(hào).

    設(shè)2D3,4如圖2所示,設(shè)X,Y是圖G(k)+8的一個(gè)二分化,θ1是圖G(k)+8的交錯(cuò)標(biāo)號(hào),且

    非連通圖2D3,4∪G(k)+8的各種頂點(diǎn)標(biāo)號(hào)θ定義為:

    第一種標(biāo)號(hào)為:(k+14;k+11,k+18,k+10;k+13,k+22,k+12;k+9,k+32,k+8);

    第二種標(biāo)號(hào)為:(k+32;k+11,k+22,k+10;k+13,k+20,k+12;k+9,k+18,k+8);

    (1)特征為k+14且缺k+1,k+8,k+17,k+21和k+22標(biāo)號(hào)值的交錯(cuò)標(biāo)號(hào).

    (2)缺k+1,k+15,k+16,k+17和k+24標(biāo)號(hào)值的優(yōu)美標(biāo)號(hào).

    設(shè)2D3,4如圖2所示,設(shè)X,Y是圖G(k)+9的一個(gè)二分化,θ1是圖G(k)+9的交錯(cuò)標(biāo)號(hào),且

    非連通圖2D3,4∪G(k)+9的各種頂點(diǎn)標(biāo)號(hào)θ定義為:

    第一種標(biāo)號(hào)為:(k+15;k+12,k+19,k+11;k+14,k+23,k+13;k+10,k+33,k+9);

    第二種標(biāo)號(hào)為:(k+33;k+12,k+23,k+11;k+14,k+21,k+13;k+10,k+19,k+9);

    (1)特征為k+13且缺k+7,k+16,k+21,k+22和k+24標(biāo)號(hào)值的交錯(cuò)標(biāo)號(hào);

    (2)缺k+1,k+2,k+16,k+17和k+18標(biāo)號(hào)值的優(yōu)美標(biāo)號(hào);

    (3)缺k+7,k+8,k+9,k+23和k+24標(biāo)號(hào)值的優(yōu)美標(biāo)號(hào).

    設(shè)2D3,4如圖2所示,設(shè)X,Y是圖G(k)+10的一個(gè)二分化,θ1是圖G(k)+10的交錯(cuò)標(biāo)號(hào),且

    非連通圖2D3,4∪G(k)+10的各種頂點(diǎn)標(biāo)號(hào)θ定義為:

    第一種標(biāo)號(hào)為:(k+14;k+11,k+34,k+10;k+13,k+20,k+12;k+9,k+18,k+8);

    第二種標(biāo)號(hào)為:(k+34;k+13,k+24,k+12;k+15,k+22,k+14;k+11,k+20,k+10);

    第三種標(biāo)號(hào)為:(k+34;k+13,k+1,k+12;k+11,k+3,k+10;k+15,k+5,k+14),

    (1)特征為k+14且缺k+1,k+8,k+17,k+22和k+23標(biāo)號(hào)值的交錯(cuò)標(biāo)號(hào);

    (2)缺k+2,k+3,k+6,k+17和k+24標(biāo)號(hào)值的優(yōu)美標(biāo)號(hào);

    (3)缺k+1,k+8,k+9,k+10和k+24標(biāo)號(hào)值的優(yōu)美標(biāo)號(hào).

    設(shè)2D3,4如圖2所示,設(shè)X,Y是圖G(k)+11的一個(gè)二分化,θ1是圖G(k)+11的交錯(cuò)標(biāo)號(hào),且

    非連通圖2D3,4∪G(k)+11的各種頂點(diǎn)標(biāo)號(hào)θ定義為:

    第一種標(biāo)號(hào)為:(k+15;k+12,k+35,k+11;k+14,k+21,k+13;k+10,k+19,k+9),

    第二種標(biāo)號(hào)為:(k+10;k+14,k+4,k+13;k+12,k+35,k+11;k+16,k+8,k+15),

    第三種標(biāo)號(hào)為:(k+35;k+14,k+2,k+13;k+12,k+4,k+11;k+16,k+6,k+15),

    (1)特征為k+13且缺k+7,k+18,k+21,k+22和k+24標(biāo)號(hào)值的交錯(cuò)標(biāo)號(hào);

    (2)缺k+1,k+3,k+4,k+7和k+18標(biāo)號(hào)值的優(yōu)美標(biāo)號(hào);

    (3)缺k+1,k+2,k+9,k+10和k+11標(biāo)號(hào)值的優(yōu)美標(biāo)號(hào).

    設(shè)2D3,4如圖2所示,設(shè)X,Y是圖G(k)+12的一個(gè)二分化,θ1是圖G(k)+12的交錯(cuò)標(biāo)號(hào),且

    非連通圖2D3,4∪G(k)+12的各種頂點(diǎn)標(biāo)號(hào)θ定義為:

    第一種標(biāo)號(hào)為:(k+14;k+11,k+20,k+10;k+13,k+36,k+12;k+9,k+16,k+8),

    第二種標(biāo)號(hào)為:(k+11;k+15,k+5,k+14;k+13,k+36,k+12;k+17,k+9,k+16),

    第三種標(biāo)號(hào)為:(k+36;k+15,k+3,k+14;k+13,k+5,k+12;k+17,k+7,k+16),

    (1)特征為k+14且缺k+1,k+8,k+19,k+22和k+23標(biāo)號(hào)值的交錯(cuò)標(biāo)號(hào);

    (2)缺k+2,k+3,k+8,k+17和k+24標(biāo)號(hào)值的優(yōu)美標(biāo)號(hào);

    設(shè)2D3,4如圖2所示,設(shè)X,Y是圖G(k)+13的一個(gè)二分化,θ1是圖G(k)+13的交錯(cuò)標(biāo)號(hào),且

    非連通圖2D3,4∪G(k)+13的各種頂點(diǎn)標(biāo)號(hào)θ定義為:

    第一種標(biāo)號(hào)為:(k+15;k+12,k+21,k+11;k+14,k+37,k+13;k+10,k+17,k+9),

    第二種標(biāo)號(hào)為:(k+10;k+14,k+37,k+13;k+12,k+4,k+11;k+16,k+6,k+15),

    設(shè)2D3,4如圖2所示,設(shè)X,Y是圖G(k)+14的一個(gè)二分化,θ1是圖G(k)+14的交錯(cuò)標(biāo)號(hào),且

    非連通圖2D3,4∪G(k)+14的頂點(diǎn)標(biāo)號(hào)θ定義為:

    (k+11;k+15,k+38,k+14;k+13,k+5,k+12;k+17,k+7,k+16),

    設(shè)2D3,4如圖2所示,設(shè)X,Y是圖G(k)+15的一個(gè)二分化,θ1是圖G(k)+15的交錯(cuò)標(biāo)號(hào),且

    非連通圖2D3,4∪G(k)+15的頂點(diǎn)標(biāo)號(hào)θ定義為:

    設(shè)2D3,4如圖2所示,設(shè)X,Y是圖G(k)+16的一個(gè)二分化,θ1是圖G(k)+16的交錯(cuò)標(biāo)號(hào),且

    非連通圖2D3,4∪G(k)+16的頂點(diǎn)標(biāo)號(hào)θ定義為:

    設(shè)2D3,4如圖2所示,設(shè)X,Y是圖G(k)+17的一個(gè)二分化,θ1是圖G(k)+17的交錯(cuò)標(biāo)號(hào),且

    非連通圖2D3,4∪G(k)+17的頂點(diǎn)標(biāo)號(hào)θ定義為:

    定理16當(dāng)時(shí),非連通圖2D3,4∪G(k)+18存在

    (1)缺k+3,k+7,k+8,k+17和k+24標(biāo)號(hào)值的優(yōu)美標(biāo)號(hào);

    (2)缺k+6,k+14,k+15,k+22和k+23標(biāo)號(hào)值的優(yōu)美標(biāo)號(hào);

    (3)缺k+1,k+8,k+9,k+17和k+24標(biāo)號(hào)值的優(yōu)美標(biāo)號(hào).

    設(shè)2D3,4如圖2所示,設(shè)X,Y是圖G(k)+18的一個(gè)二分化,θ1是圖G(k)+18的交錯(cuò)標(biāo)號(hào),且

    非連通圖2D3,4∪G(k)+18的各種頂點(diǎn)標(biāo)號(hào)θ定義為:

    第一種優(yōu)美標(biāo)號(hào):(k+10;k+14,k+2,k+13;k+12,k+4,k+11;k+16,k+6,k+15),

    第二種優(yōu)美標(biāo)號(hào):(k+13;k+10,k+21,k+9;k+12,k+19,k+11;k+8,k+17,k+7),

    第三種優(yōu)美標(biāo)號(hào):(k+10;k+14,k+2,k+13;k+12,k+4,k+11;k+16,k+6,k+15),

    (1)缺k+1,k+4,k+8,k+9和k+18標(biāo)號(hào)值的優(yōu)美標(biāo)號(hào);

    (2)缺k+1,k+2,k+9,k+10和k+18標(biāo)號(hào)值的優(yōu)美標(biāo)號(hào).

    設(shè)2D3,4如圖2所示,設(shè)X,Y是圖G(k)+19的一個(gè)二分化,θ1是圖G(k)+19的交錯(cuò)標(biāo)號(hào),且

    非連通圖2D3,4∪G(k)+19的各種頂點(diǎn)標(biāo)號(hào)θ定義為:

    第一種優(yōu)美標(biāo)號(hào):(k+11;k+15,k+3,k+14;k+13,k+5,k+12;k+17,k+7,k+16),

    第二種優(yōu)美標(biāo)號(hào):(k+11;k+15,k+3,k+14;k+13,k+5,k+12;k+17,k+7,k+16),

    設(shè)2D3,4如圖2所示,設(shè)X,Y是圖G(k)+20的一個(gè)二分化,θ1是圖G(k)+20的交錯(cuò)標(biāo)號(hào),且

    非連通圖2D3,4∪G(k)+20的頂點(diǎn)標(biāo)號(hào)θ定義為:

    設(shè)2D3,4如圖2所示,設(shè)X,Y是圖G(k)+21的一個(gè)二分化,θ1是圖G(k)+21的交錯(cuò)標(biāo)號(hào),且

    非連通圖2D3,4∪G(k)+21的頂點(diǎn)標(biāo)號(hào)θ定義為:

    設(shè)2D3,4如圖2所示,設(shè)X,Y是圖G(k)+22的一個(gè)二分化,θ1是圖G(k)+22的交錯(cuò)標(biāo)號(hào),且

    非連通圖2D3,4∪G(k)+22的頂點(diǎn)標(biāo)號(hào)θ定義為:

    定理21當(dāng)時(shí),非連通圖2D3,4∪G(k)+23存在缺k+1,k+6, k+9,k+10和k+18標(biāo)號(hào)值的優(yōu)美標(biāo)號(hào).

    設(shè)2D3,4如圖2所示,設(shè)X,Y是圖G(k)+23的一個(gè)二分化,θ1是圖G(k)+23的交錯(cuò)標(biāo)號(hào),且

    非連通圖2D3,4∪G(k)+23的頂點(diǎn)標(biāo)號(hào)θ定義為:

    3 結(jié)論

    本文討論了非連通圖2D3,4∪G的優(yōu)美性,給出了非連通圖2D3,4∪G是優(yōu)美圖的二十一個(gè)充分條件.證明了:非連通圖2D3,4∪G(k)+a(a=2,3,4,5,6,8,9,…,23)都是優(yōu)美的,可為繼續(xù)研究非連通圖sDm,n∪G的優(yōu)美性提供借鑒.

    [1]馬克杰.優(yōu)美圖[M].北京:北京大學(xué)出版社,1991.

    [2]楊顯文.關(guān)于C4m蛇的優(yōu)美性[J].工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),1995,12(4):108-112.

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    [11]吳躍生,王廣富,徐保根.交錯(cuò)圖的奇優(yōu)美性和協(xié)調(diào)性[J].武漢大學(xué)(理學(xué)版),2014,60(6):557-560.

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    Graceful Labeling of Unconnected Graph 2D3,4∪G

    WU Yuesheng
    (School of Science,East China JiaotongUniversity,Nanchang330013,Jiangxi,China)

    The gracefulness of the unconnected graph 2D3,4∪G is discussed.Twenty-one sufficient conditions are given for the gracefulness of unconnected graph 2D3,4∪G.It is proved that the graph 2D3,4∪G(k)+aare graceful graph for a=2,3,4,5,6,8,9,…,23

    graceful graph;alternating graph;unconnected graph;graceful labeling

    O157

    A

    1001-4217(2017)01-0053-10

    2016-01-09

    吳躍生(1959—),男,江西瑞金人,碩士,華東交通大學(xué)副教授,研究方向?yàn)閮?yōu)美標(biāo)號(hào).E-mail:616100567@qq.com.

    國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11261019,11361024)

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