“銳角三角函數(shù)”學(xué)習要點

王競進

“銳角三角函數(shù)”是初中數(shù)學(xué)重要內(nèi)容之一，它揭示了直角三角形邊角之間的函數(shù)關(guān)系.學(xué)習本章時，需要抓住以下幾個要點.

一、 認識四個基本概念

本章涉及的基本概念有正切、正弦和余弦以及解直角三角形.

如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b分別是∠A的對邊和鄰邊，我們把∠A的對邊a與鄰邊b的比叫做∠A的正切，記作tanA，即tanA=.

在Rt△ABC中，∠C=90°，我們把∠A的對邊a與斜邊c的比叫做∠A的正弦，記作sinA，即sinA=.

把∠A的鄰邊b與斜邊c的比叫做∠A的余弦，記作cosA，即cosA=

從正切、正弦和余弦的概念可以看出：在Rt△ABC中，∠C=90°，和的值都隨銳角A的大小變化而變化，也都隨銳角A的確定而惟一確定.

例1 （2015·曲靖）如圖2，在半徑為3的⊙O中，直徑AB與弦CD交于點E，連接AC，BD. 若AC=2，則cosD=_______.

【解析】連接BC，

∵AB為直徑，

∴∠ACB=90°，

在Rt△ACB中，cosA∵∠D=∠A，

∴cosD=cosA=，所以本題答案為.

【說明】本題應(yīng)用圓周角的性質(zhì)將∠D轉(zhuǎn)化為∠A，使其轉(zhuǎn)化到直角三角形ABC中，再應(yīng)用余弦的概念求得結(jié)果.

由直角三角形的邊、角中的已知元素，求出所有邊、角中的未知元素的過程，叫做解直角三角形.在直角三角形中，除直角外的5個元素，至少知道包含1條邊的兩個元素就可以確定直角三角形中其余未知元素的值.

例2 如圖3，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC平分線，AD=20.求AB的長.

【說明】本題借助銳角三角函數(shù)的概念，使問題化歸到直角三角形中，應(yīng)用直角三角形的邊角之間的函數(shù)關(guān)系，根據(jù)問題中的已知元素求得未知元素.

二、 熟記三個特殊值

利用特殊的等腰直角三角形和含有30°角的直角三角形的性質(zhì)，我們可以求得30°、45°、60°的三角函數(shù)值（如下表）.

從表格中我們可以發(fā)現(xiàn)：sin30°、sin45°、sin60°值的分母都是2，分子可以看成是、、，正弦值隨角度的增大而增大；cos30°、cos45°、cos60°值的分母都是2，分子可以看成是、、，余弦值隨角度的增大而減小；tan30°·tan 60°=tan45°=1，正切值隨角度的增大而增大.

例3 （2015·武威）已知α，β均為銳角，且滿足sinα-+=0，則α+β=______.

【解析】∵sinα-+=0，

可得：sinα-+tanβ-1=0，

∴sinα=，tanβ=1，

∴α=30°，β=45°，

∴α+β=75°，所以本題答案為75°.

【說明】本題是一道考查同學(xué)們對特殊角的三角函數(shù)值和非負數(shù)的性質(zhì)掌握的問題，解答這類問題，需要同學(xué)們熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值.

三、 掌握銳角三角函數(shù)解決實際問題

解直角三角形的知識廣泛應(yīng)用于測量之中，主要用于計算距離、高度和角度.

例4 （2015·衡陽）如圖4，為了測得電視塔的高度AB，在D處用高為1米的測角儀CD測得電視塔頂端A的仰角為30°，再向電視塔方向前進100米到達F處，又測得電視塔頂端A的仰角為60°，則這個電視塔的高度AB（單位：米）為（ ）.

A. 50 B. 51

C. 50+1 D. 101

【解析】根據(jù)題意可知：

∠ACE=30°，∠AEG=60°，CE=DF=100（米）.

我們不妨設(shè)EG=x米，在Rt△AEG中，

∵∠AEG=60°，

∴AG=x；

在Rt△ACG中，

∵AG=x，∠ACE=30°，

∴CG=x·=3x.

∵CE=DF=100，

∴x+100=3x，解得x=50，

∴這個電視塔的高度AB=AG+GB=50+1（米），所以本題答案為C.

【說明】本題以測電視塔的高度為背景，考查解直角三角形的應(yīng)用能力，求解時抓住圖形中兩個直角三角形的公共邊建立相等關(guān)系式是解題的關(guān)鍵.

例5 （2015·遵義）如圖5，是某兒童樂園為小朋友設(shè)計的滑梯平面圖.已知BC=4米，AB=6米，中間平臺寬度DE=1米，EN、DM、CB為三根垂直于AB的支柱，垂足分別為N、M、B，∠EAB=31°，DF⊥BC于F，∠CDF=45°，求DM和BC的水平距離BM的長度.（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）

【解析】設(shè)BM為x米，則DF=BM=x.

∵Rt△CFD中，∠CDF=45°，

∴CF=DF·tan45°=DF=x，

∴BF=BC-CF=4-x，

∴EN=BF=4-x.

∵Rt△ANE中，∠EAN=31°，

∴AN=≈=（4-x）.

∵AN+MN+BM=AB，MN=DE=1，

∴（4-x）+1+x=6，解得x=2.5.

答：DM和BC的水平距離BM的長度約為2.5米.

【說明】本題是一道典型的解直角三角形的應(yīng)用問題，需要把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型來解決.解決與直角三角形有關(guān)的應(yīng)用題最常用的方法是作垂線，構(gòu)造直角三角形，根據(jù)所給數(shù)據(jù)，選用恰當?shù)娜呛瘮?shù)求出有關(guān)的量或用含有未知數(shù)的式子表示有關(guān)的量進行求解.

（作者單位：江蘇省建湖縣匯文實驗初中教育集團匯文校區(qū)）