對(duì)初中代數(shù)教學(xué)的理解與反思

蔡楊琴

[摘 要] 筆者結(jié)合自己的研究以及實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，闡述了對(duì)初中代數(shù)教學(xué)的理解與反思：數(shù)、代數(shù)溯源與代數(shù)教學(xué)課標(biāo)解讀；代數(shù)教學(xué)中對(duì)數(shù)、代數(shù)的遞進(jìn)認(rèn)識(shí)；圍繞教學(xué)重點(diǎn)的初中代數(shù)教學(xué).

[關(guān)鍵詞] 初中；代數(shù)教學(xué)；理解；反思

教了這么多年的初中數(shù)學(xué)，越來(lái)越感覺(jué)到代數(shù)教學(xué)有著平常應(yīng)試教學(xué)中難以感受到的魅力，因?yàn)閿?shù)的發(fā)展史、代數(shù)的發(fā)展史，在我們今天的代數(shù)教學(xué)中難以完全體現(xiàn)出來(lái)，原因是我們所實(shí)施的代數(shù)教學(xué)更多的是教材思路下的不同演繹，因而數(shù)學(xué)教師在日常的教學(xué)過(guò)程中，往往沒(méi)有意識(shí)也沒(méi)有機(jī)會(huì)去直接感受數(shù)學(xué)本身的魅力，但這并不意味著這個(gè)思路不重要. 事實(shí)上，我們看到的很多代數(shù)教學(xué)事例，正是專家、學(xué)者們?cè)趯?duì)相對(duì)更為原始的代數(shù)概念的感知中演繹得來(lái)的，而在筆者看來(lái)，對(duì)數(shù)與代數(shù)的這種魅力的尋找與感受，又可以讓我們的教學(xué)更加感受到代數(shù)的真實(shí)意義，也可以讓我們的教學(xué)內(nèi)容更加豐富. 考慮到這一點(diǎn)之后，筆者開(kāi)始嘗試在教學(xué)閑暇當(dāng)中，尋找代數(shù)的淵源，并期待尋找到某種教學(xué)智慧，以為提升自己對(duì)代數(shù)及其教學(xué)的理解服務(wù)、為提升自己的教學(xué)水平服務(wù).

數(shù)、代數(shù)溯源與代數(shù)教學(xué)課標(biāo)

解讀

對(duì)于這一內(nèi)容的研究，筆者首先考慮讓我們將教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)從教材向前推移，到數(shù)學(xué)史中去認(rèn)識(shí)代數(shù). 在這個(gè)過(guò)程中我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，人們發(fā)明的數(shù)與代數(shù)十分有意思. 在人們對(duì)事物認(rèn)識(shí)發(fā)展的過(guò)程中，自然地產(chǎn)生了計(jì)數(shù)的需要，于是就產(chǎn)生了數(shù)這種度量方式，而到了近代則更是豐富了正數(shù)與負(fù)數(shù)、實(shí)數(shù)和虛數(shù)、復(fù)數(shù)等內(nèi)容——由此我們可以看出，代數(shù)的發(fā)展是受人類社會(huì)發(fā)展的需要而推動(dòng)的. 當(dāng)然，到了今天我們又發(fā)現(xiàn)，對(duì)代數(shù)的研究還能促進(jìn)社會(huì)的發(fā)展，因此數(shù)學(xué)與社會(huì)之間就形成了一種良性的互動(dòng)；而與此同時(shí)，代數(shù)作為研究數(shù)及其關(guān)系的一種方法論工具，其發(fā)源于算術(shù)，卻又有了更多的多項(xiàng)式、方程等內(nèi)容，在這種不斷豐富的過(guò)程中，形成了現(xiàn)在我們初中階段所學(xué)習(xí)的代數(shù)內(nèi)容，即所謂的初等代數(shù).

針對(duì)今天我們初中代數(shù)教學(xué)的主要內(nèi)容，筆者首先要建立這樣的理解：數(shù)式既包括數(shù)又包括式，數(shù)主要是指有理數(shù)，式主要是指整式、分式和根式等；對(duì)應(yīng)的方程則是整式方程、分式方程和根式方程等，當(dāng)然其中也包括方程組；而運(yùn)算規(guī)則則是以小學(xué)階段學(xué)習(xí)過(guò)的交換律、分配律和結(jié)合律為基礎(chǔ)的進(jìn)一步深化與運(yùn)用；其余等式性質(zhì)和指數(shù)律等就不再贅述. 假如從這個(gè)角度來(lái)把握初中代數(shù)的教學(xué)結(jié)構(gòu)，則教學(xué)思路會(huì)顯得更為清晰.

事實(shí)上，也有一部分?jǐn)?shù)學(xué)課程專家和資深教師，提出利用數(shù)學(xué)史來(lái)實(shí)施數(shù)學(xué)教學(xué)（此處僅指代數(shù)教學(xué)）的建議，在筆者看來(lái)這一建議顯然是有價(jià)值的，因?yàn)榇鷶?shù)的發(fā)展規(guī)律往往顯示的是人們的認(rèn)知過(guò)程，而這一過(guò)程與學(xué)生個(gè)體習(xí)得代數(shù)知識(shí)的過(guò)程存在諸多重合之處，因此，借鑒代數(shù)概念和規(guī)律的發(fā)展過(guò)程來(lái)設(shè)計(jì)代數(shù)教學(xué)有非常實(shí)際的意義. 當(dāng)然，真正的教學(xué)是不可能完全遵循數(shù)學(xué)發(fā)展史的順序來(lái)教學(xué)的，無(wú)論是課標(biāo)的修訂還是教材的編寫，更多的是根據(jù)教學(xué)目標(biāo)和內(nèi)容要求，對(duì)知識(shí)的得出過(guò)程進(jìn)行簡(jiǎn)化和修改，以尋找一個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)潔、合理的知識(shí)生成過(guò)程. 因此，我們不妨再?gòu)恼n標(biāo)的角度來(lái)看看數(shù)、代數(shù)與代數(shù)教學(xué).

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出，初中數(shù)學(xué)教學(xué)要教學(xué)生“有價(jià)值的數(shù)學(xué)”. 那何為價(jià)值就是一個(gè)必須思考的問(wèn)題！就代數(shù)教學(xué)而言，筆者認(rèn)為讓學(xué)生在數(shù)學(xué)史的介紹中，領(lǐng)略某一個(gè)代數(shù)概念的建立必要性與建立過(guò)程的復(fù)雜性，就是這種價(jià)值的體現(xiàn)方式之一. 而真正認(rèn)同這一點(diǎn)，就意味著對(duì)傳統(tǒng)教學(xué)的某些觀點(diǎn)的重新理解與構(gòu)建，因此客觀上并不是一件非常容易的事. 再如，課程標(biāo)準(zhǔn)中還提出要幫助學(xué)生建立“數(shù)感”——筆者認(rèn)為這種數(shù)感的建立是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的一種境界. 稍有初中數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的教師都知道，數(shù)感的建立需要過(guò)程，只有在對(duì)數(shù)與數(shù)的關(guān)系有了一定的深入感悟之后，在形成了一種對(duì)數(shù)的理解與熟練運(yùn)用的能力之后，我們才能說(shuō)真正形成了數(shù)感. 根據(jù)筆者的體會(huì)，采用合適的形式，重現(xiàn)一些基本的代數(shù)概念的歷史發(fā)生過(guò)程，有助于學(xué)生真正認(rèn)識(shí)到數(shù)的形成過(guò)程與意義，從而也就能為數(shù)感的建立打下良好的基礎(chǔ).

代數(shù)教學(xué)中對(duì)數(shù)、代數(shù)的遞進(jìn)

認(rèn)識(shí)

自從考慮這一問(wèn)題以來(lái)，筆者感覺(jué)到對(duì)代數(shù)教學(xué)中的數(shù)與代數(shù)的認(rèn)識(shí)，更多的是一種追根究底式的過(guò)程. 這一過(guò)程表面上看似乎與應(yīng)試教育漸行漸遠(yuǎn)，但事實(shí)上其在能夠有效培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)試能力的同時(shí)，能更近地觸摸到數(shù)與代數(shù)的本質(zhì)，以及代數(shù)的基本規(guī)律. 而當(dāng)以這種認(rèn)識(shí)與能力來(lái)反哺代數(shù)教學(xué)時(shí)，其往往又能對(duì)學(xué)生的代數(shù)學(xué)習(xí)與應(yīng)試產(chǎn)生積極的作用. 因此，對(duì)這一問(wèn)題進(jìn)行思考并在教學(xué)實(shí)施中加以運(yùn)用，既能提高應(yīng)試水平，又能提高教學(xué)效率，還能提高自身的教學(xué)技巧和學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，這是多么一舉多得的好事.

例如，對(duì)負(fù)數(shù)的教學(xué)，我們不妨先看看數(shù)學(xué)史上負(fù)數(shù)是怎么來(lái)的. 根據(jù)相關(guān)文獻(xiàn)我們知道，早在中國(guó)的古代就出現(xiàn)了正、負(fù)數(shù)概念，據(jù)說(shuō)三國(guó)時(shí)期的劉徽對(duì)負(fù)數(shù)的建立有重大的貢獻(xiàn)，提出了“今兩算得失相反，要令正負(fù)以名之”的說(shuō)法；而古代人們實(shí)際生活中的家庭收支盈虧、糧倉(cāng)中糧食的進(jìn)出等，凡事物過(guò)程存在正反兩種情況的原來(lái)多可用正負(fù)來(lái)描述，這些實(shí)際生活中的需要成為負(fù)數(shù)引入的最大動(dòng)力——這從客觀上證明了上文所說(shuō)的代數(shù)產(chǎn)生于實(shí)際生活需要的說(shuō)法.

所以，在目前的代數(shù)教學(xué)中，我們?cè)诮⒇?fù)數(shù)概念時(shí)，常常選用零上零下溫度的記數(shù)、海拔高度的描述等來(lái)引入. 在筆者看來(lái)，如果不對(duì)負(fù)數(shù)在數(shù)學(xué)史上的發(fā)展有一個(gè)簡(jiǎn)單了解，就不會(huì)真正體會(huì)到今天我們所創(chuàng)設(shè)情境的最初動(dòng)機(jī)所在，自然也無(wú)法發(fā)現(xiàn)創(chuàng)設(shè)情境時(shí)所選用的這些素材的真正價(jià)值和借鑒意義，我們最多只能依葫蘆畫瓢，而不可能在這個(gè)基礎(chǔ)上有所創(chuàng)新. 相反，任何一個(gè)代數(shù)概念的建立和發(fā)展史，如果我們相對(duì)了解，那在創(chuàng)設(shè)情境時(shí)就能具有一雙發(fā)現(xiàn)的慧眼，與代數(shù)概念有關(guān)系的事物就會(huì)更容易被我們所發(fā)現(xiàn)，從而能夠選擇運(yùn)用到我們的數(shù)學(xué)教學(xué)中. 在許多公開(kāi)課中，我們常常驚嘆于上課老師的智慧，很多人回去之后也常常進(jìn)行模仿，模仿得像的就更加敬佩上課老師，模仿得不像的也會(huì)找種種理由，而最為關(guān)鍵的那些上課老師怎么能夠找到這些素材等問(wèn)題，反而不被聽(tīng)課者所重視.

循著以上的思考路徑，我們可以將思維繼續(xù)延伸. 眾所周知，初中數(shù)學(xué)教學(xué)強(qiáng)調(diào)尋找數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系. 聯(lián)系的目的不在聯(lián)系本身，而在于引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)就在我們的生活當(dāng)中. 應(yīng)努力讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到：生活是數(shù)學(xué)存在的土壤，需要是數(shù)學(xué)發(fā)展的動(dòng)力. 這種需要有可能是現(xiàn)實(shí)生活中問(wèn)題解決的需要，如未知數(shù)的求解、概率的計(jì)算等；也有可能是數(shù)學(xué)發(fā)展的需要，如著名的數(shù)學(xué)十大難題等. 因此，在包括代數(shù)在內(nèi)的初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，為了讓學(xué)生加強(qiáng)這種認(rèn)識(shí)，就必須創(chuàng)設(shè)一些能夠讓學(xué)生接受的情境，提出一些讓學(xué)生喜歡的問(wèn)題，以讓學(xué)生產(chǎn)生一種解決問(wèn)題的需要，從而形成學(xué)習(xí)的驅(qū)動(dòng)力. 如此這般，就能成就初中數(shù)學(xué)的有效教學(xué).

再如，研究數(shù)、代數(shù)的發(fā)展歷史與初中代數(shù)教學(xué)的需要后，我們還能尋找到其對(duì)學(xué)生的思維能力與情感、態(tài)度和價(jià)值觀的積極作用. 首先必須說(shuō)明，筆者此處重提本輪課改之初的三維目標(biāo)，不是對(duì)2011版課程標(biāo)準(zhǔn)拓展教學(xué)目標(biāo)范圍的不認(rèn)同，而是基于實(shí)際研究發(fā)現(xiàn)的兩者之間確實(shí)存在的關(guān)系. 因?yàn)槲覀儼l(fā)現(xiàn)，無(wú)論是數(shù)學(xué)先驅(qū)對(duì)數(shù)學(xué)史的研究，還是今天如丘成桐、楊樂(lè)等數(shù)學(xué)大師對(duì)數(shù)學(xué)的潛心研究，都是建立在對(duì)數(shù)學(xué)無(wú)比鐘愛(ài)的基礎(chǔ)上的，盡管我們說(shuō)初中生將來(lái)長(zhǎng)大之后只有極少數(shù)人會(huì)從事純數(shù)學(xué)研究，但作為對(duì)學(xué)習(xí)過(guò)程的一種感情投入，缺少熱愛(ài)將會(huì)令人難以接受. 因此，我們更希望通過(guò)對(duì)包括數(shù)與代數(shù)發(fā)展史在內(nèi)的研究，通過(guò)尋找學(xué)生生活中類似于或接近于數(shù)學(xué)概念形成的一些事例，以此激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的熱情.

圍繞教學(xué)重點(diǎn)的初中代數(shù)教學(xué)

初中代數(shù)教學(xué)作為學(xué)生在初中階段由數(shù)學(xué)教師引導(dǎo)下的一段數(shù)學(xué)旅程，無(wú)論有意還是無(wú)意，每一位數(shù)學(xué)教師在課堂上的教學(xué)都會(huì)有一定的重點(diǎn)，圍繞這些教學(xué)重點(diǎn)進(jìn)行的教學(xué)活動(dòng)便成為代數(shù)教學(xué)的主要內(nèi)容. 其實(shí)，作為一個(gè)概念，教學(xué)重點(diǎn)大家并不陌生，教學(xué)設(shè)計(jì)與教學(xué)實(shí)施中均能有所體現(xiàn). 但如果深究，我們還會(huì)發(fā)現(xiàn)其具有研究的價(jià)值.

比如，教學(xué)重點(diǎn)確定的依據(jù)是什么？一般的回答是根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)以及教學(xué)參考書來(lái)確定，當(dāng)然也根據(jù)考試的要求來(lái)確定. 從習(xí)慣上來(lái)看，這是有道理的. 但有時(shí)我們也會(huì)遇到不同的解釋. 記得在一次大型的教研活動(dòng)中，有一位數(shù)學(xué)特級(jí)教師這樣說(shuō)：“教學(xué)重點(diǎn)的確定與我們的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)和教材有關(guān)，更與我們的數(shù)學(xué)教師有關(guān)，不同理念的教師在教同一個(gè)數(shù)學(xué)內(nèi)容時(shí)會(huì)確定不同的重點(diǎn).”

由此可見(jiàn)，對(duì)于初中代數(shù)教學(xué)而言，概念、規(guī)律是重點(diǎn)，考點(diǎn)是重點(diǎn)，基于學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)設(shè)計(jì)出相應(yīng)的教學(xué)過(guò)程更應(yīng)該是重點(diǎn). 一個(gè)代數(shù)概念是怎樣建立的，一個(gè)代數(shù)關(guān)系是怎樣被發(fā)現(xiàn)的，這些過(guò)程都應(yīng)當(dāng)被豐富，而豐富這一過(guò)程又需要我們走出教材作出更多的努力. 從這個(gè)角度講，對(duì)代數(shù)及其教學(xué)的研究，在我們面前還有許多路要走. 從筆者有限的經(jīng)驗(yàn)來(lái)看，教學(xué)重點(diǎn)的確定，一方面需要研究教材和教參為什么會(huì)確定這些知識(shí)為重點(diǎn)，另一方面要結(jié)合自己所教學(xué)生的特點(diǎn)去確定教學(xué)重點(diǎn). 而做這種分析就需要教師自身不斷地學(xué)習(xí)，不斷地積累，如同醫(yī)生坐診一樣，掌握了知識(shí)且具有經(jīng)驗(yàn)，才能把準(zhǔn)脈搏.

以上是筆者對(duì)初中代數(shù)教學(xué)的一點(diǎn)理解與反思，文中的不足與疏漏之處，望同行不吝賜教.