繪圖數(shù)學：小學數(shù)學解題策略的“奇葩”

吳廣和

[摘 要] 本文從繪圖數(shù)學的內(nèi)涵、教學的現(xiàn)狀、價值追求和教學策略等方面初步闡述繪圖數(shù)學，旨在引領學生利用繪圖來掌握“數(shù)理”、理解題意和分析數(shù)量關系，尋求解決問題的策略，追尋繪圖數(shù)學引領下的數(shù)學課堂.

[關鍵詞] 繪圖數(shù)學；數(shù)學教學；思考實踐

引子：“雞兔同籠問題”的畫圖

解答

去年，我參加了一節(jié)數(shù)學公開課的聽評，教師在課堂中出示了一道雞兔同籠問題：

草場上有雞和兔共10只，共有腿32條，問雞和兔各多少只？

如圖1，先畫出10個頭，再分別畫上兩條腿，表示10只雞，然后，從第一只雞上多加兩條腿，那它就變成一只兔，當?shù)诹患油陜蓷l腿，就共計32條腿，這樣數(shù)一下，四條腿的兔共6只，兩條腿的雞共4只.

多么深刻的發(fā)現(xiàn)，這是我從教多年聽到的最為新穎求異的解題方法——學生用畫圖的方式得出了答案. 這樣的解題方法多形象、多巧妙??！學生運用形象的圖畫，展示了思維過程，把“數(shù)”與“形”完美地結合起來，學生在繪圖的過程中感悟了數(shù)形結合和分類的數(shù)學思想，拓展了思維深度.

詮釋：繪圖數(shù)學的內(nèi)涵

繪圖數(shù)學就是把問題呈現(xiàn)的信息通過圖畫的方式表示出來，通過直觀形象的符號信息展示尋找問題答案的一種基本的解決問題的策略. 我們把這種用繪圖的方法理清思路、展示思維策略的過程稱為“繪圖數(shù)學”. 繪圖的形式是多樣的，除了大家熟悉的線段圖、平面圖、立體圖、集合圖、統(tǒng)計圖，還包括學生運用自己的方式給出的圖形表征，如實物圖、示意圖等.

繪圖數(shù)學通過畫圖把抽象問題具體化、直觀化，使學生理解題意，從而搜尋到解題的途徑. 它具有直觀性、易懂性、趣味性等特點. 因此，讓學生掌握繪圖數(shù)學這種策略在數(shù)學教學中極其重要. 在解決問題的教學中，教師要重視引導學生運用繪圖的方法分析數(shù)量關系進而解決問題，體會繪圖數(shù)學的作用和價值，鼓勵學生用不同的圖形解決問題，體會繪圖數(shù)學的多樣性，鼓勵學生在解決實際問題中運用繪圖數(shù)學領悟思想、提升數(shù)學素養(yǎng).

調(diào)查：繪圖數(shù)學現(xiàn)狀及原因分析

筆者曾以繪圖數(shù)學為主題做過問卷調(diào)查，調(diào)查結果顯示，大多數(shù)數(shù)學教師認為繪圖數(shù)學有助于學生的數(shù)學學習，但在實際的教學中有80%的教師認為碰到一定難度的數(shù)學問題，自己會運用繪圖來講解，但解決問題時對學生進行繪圖指導的只有20%. 在為什么不對學生進行繪圖指導的回答中，主要分為四類：怕影響教學進度，占53%；沒有時間考慮，占16%；沒有意識到，占24%；其他，占7%.

另外，繪圖數(shù)學中的圖，除了大家熟悉的線段圖，還包括學生運用自己的方式給出的圖形表征，如實物圖、示意圖、統(tǒng)計圖等. 筆者對蘇教版小學數(shù)學教材中的繪圖數(shù)學進行了收集、分類，整理后如表1.

通過對這些調(diào)查數(shù)據(jù)和實際知識結構的分析，我們不難發(fā)現(xiàn)：繪圖數(shù)學在數(shù)學教學中被忽視，主要是教師課前準備不充分和應試教育壓力造成的，這使得教師在茫然和懶惰中失去一次次成功的機會，細細想來，主要有以下幾點：

（一）教師在繪圖數(shù)學思想上的“忽”

一些數(shù)學教師在數(shù)學教學中，由于對學生的認知特征不熟悉，在解決問題時往往以自己的思考習慣來對學生進行解決問題的指導，沒有對自己的教學方式是否有助于學生的發(fā)展進行有效的反思. 他們大多數(shù)運用語言來分析問題中的數(shù)量關系，讓學生在頭腦中自行建構圖形，進行抽象思考，造成學生解決問題時忽略對繪圖的正確運用，這種情況占53%左右.

（二）教師在繪圖數(shù)學認知上的“偏”

教師教學的急功近利思想比較濃郁，只是片面地、一味地追求學生的分數(shù)，而數(shù)學試卷中解決問題時對繪圖的要求幾乎沒有. 且教師忽視兒童數(shù)學思維能力的發(fā)展，就造成了教師只注重解題的結果，而忽視解題過程的現(xiàn)象. “不管是黑貓、白貓，只要抓住老鼠的就是好貓”，這句話也成為大多數(shù)數(shù)學教師的理念堅持，即只要學生的數(shù)學考試成績上來了，那么學生的解題過程就顯得無關緊要了，這說明數(shù)學教師對繪圖數(shù)學的意義和價值的認識有偏差，不夠全面.

（三）教師在繪圖數(shù)學運用上的“懶”

一些數(shù)學教師在教學數(shù)學時，站在了自己的認知角度上進行講解，默認頭腦中已經(jīng)有用于解題的圖形，且為了節(jié)省時間，所以不在講解時畫圖，這就造成學生解決問題時忽略對繪圖的正確運用.

（四）教師在繪圖數(shù)學技能上的“缺”

繪圖數(shù)學中的圖，除了大家熟悉的線段圖，還包括一些圖形表征，如實物圖、示意圖、統(tǒng)計圖等. 有的教師自身的繪圖能力就比較缺乏，再加上他們在教學中的運用很少，因此，他們的繪圖數(shù)學教學經(jīng)驗積累很少. 沒有自身充分的教學經(jīng)驗積累基礎，想對學生進行有效的繪圖數(shù)學教學就有一定的難度. 正如俗話說的“要想給學生一碗水，教師必須有一桶水. ”

思考：繪圖數(shù)學的價值追求

《數(shù)學課程標準》（2011版）提出教師教學要使學生真正理解和掌握基本的數(shù)學知識與技能、數(shù)學思想和方法，得到必要的數(shù)學思維訓練，獲得廣泛的數(shù)學活動經(jīng)驗. 圖形不僅直觀、簡潔、利于思考，而且信息量大，概括性強，同時，圖形還有助于記憶. 因此，圖形是幫助人類思考的極好工具. 斯蒂恩說：“如果一個特定的問題可以轉化為一個圖象，那么就整體地把握了問題. ”繪圖數(shù)學在理解概念、解決問題以及空間與圖形等各個領域都具有重要的運用價值.

（一）順應小學生認知水平的發(fā)展

小學生對抽象數(shù)學知識的接受能力和理解能力比較弱，當理解困難時，如果在紙上畫一畫，借助圖形的直觀作用，就能引發(fā)聯(lián)想，化抽象為直觀；能揭示概念本質(zhì)，變復雜為簡單；能呈現(xiàn)數(shù)量關系，化隱性為顯性，讓學生在形象思維中解決問題.

（二）切合小學生學習過程的需要

根據(jù)學生的認知規(guī)律，學習都會經(jīng)歷一個從“外化”到“內(nèi)化”的過程. 而學生在畫圖的過程中，要經(jīng)過讀題、明確問題、尋找條件，把文字轉化成圖畫，從而發(fā)現(xiàn)數(shù)量關系，這是把繪圖轉成思維的過程，這一系列繪圖活動完整地搭建了從“外化”到“內(nèi)化”的過程，從而建構了知識體系.

（三）激發(fā)小學生學習數(shù)學的興趣

在數(shù)學教學中，如果教師能運用繪圖數(shù)學，使學生能從圖中理解題意和分析數(shù)量關系，搜尋到解決問題的突破口，學生就會覺得數(shù)學學習不難，數(shù)學學習對他們來說，就會變得有趣而充滿成就感. 從這個意義上講，繪圖能力的強弱也反映了教師教學能力的高低.

繪圖數(shù)學貫穿于整個小學數(shù)學解決問題的教學中，所以教師應根據(jù)學生的實際需要、知識經(jīng)驗、思維發(fā)展水平，逐步培養(yǎng)學生運用繪圖解決問題的能力.

踐行：繪圖數(shù)學，小學數(shù)學解題策略的“金鑰匙”

《數(shù)學課程標準》（2011版）提出的課程目標中，把解決問題作為重要的課程目標，并指出，要使學生面對實際問題時能主動嘗試著從數(shù)學的角度運用所學知識和方法尋求解決問題的策略. 繪圖是眾多解題策略中最基本的，也是一個很重要的策略，那么，我們應如何引導學生學習繪圖數(shù)學呢？

（一）繪圖數(shù)學，彰顯數(shù)學學習的策略

1. 在數(shù)軸中體驗策略

學生在學習數(shù)學的過程中總會遇到一些難以理解的知識點，這就需要教師適時、恰當?shù)剡\用一些策略幫助學生解決實際問題. 教師在數(shù)學教學中，由于教學內(nèi)容不同，采用的教學策略、方法會有所不同，但不管怎樣，繪圖在眾多的教學策略中有其獨特的作用.

案例1 平移和旋轉（筆者公開課）

從A點平移到B點移動了幾格？

平移時，數(shù)移動的格數(shù)是這節(jié)課教學的難點，學生在數(shù)移動的格數(shù)時，往往容易數(shù)點不數(shù)格，造成解題錯誤. 為了讓學生掌握這一難點，在教學時，筆者引用了數(shù)軸讓學生在自主數(shù)格數(shù)的過程中感悟數(shù)移動格數(shù)的方法.

教學結果表明，筆者引用數(shù)軸的教學方法效果很棒，學生都能掌握平移數(shù)格數(shù)應數(shù)兩點相距的格數(shù)這一難點. 因此，在教學中讓學生感受到繪圖數(shù)學的好處，認識到學習繪圖數(shù)學的必要性，能形成學習的內(nèi)驅力，促使學生在學習中自覺地想到使用繪圖數(shù)學去為學習的需要服務.

2. 在示意圖中體驗策略

小學生的數(shù)學學習，正處在從形象思維向抽象思維過渡的階段. 單純的文字表述的問題比較抽象，常常致使他們讀不懂題意，理不清問題中的數(shù)量關系，因而無法解決問題. 根據(jù)他們的思維特點，教師在教學時，應借助繪圖把抽象的數(shù)學問題形象化、具體化，使他們讀懂題意、理解題意，理清解決問題的思路，找到解決問題的關鍵，從而提高解決問題的能力.

案例2 正方形周長計算

筆者在教學“長方形和正方形的周長”這一內(nèi)容時，向學生呈現(xiàn)了這么一道題：把兩個邊長為5厘米的正方形拼成一個長方形，拼成的長方形的周長是多少厘米？

學生想都不想就脫口而出“40厘米”， 我再問：“都同意嗎？”除了個別學生不響應以外，都說同意. 沒回答的學生雖然感到有一點疑問，但又說不出究竟錯在哪兒. 的確，三年級學生光憑想象來回答這個問題，確實存在一定的困難.

看到學生陷入困惑，我引導學生繪圖. 不一會兒，只聽見有人叫：“不是40厘米”“不是40厘米”“邊少了，周長不一樣了”……響應的學生越來越多，剛才的疑問也在繪圖的過程中解決了.

繪圖是解決問題時經(jīng)常使用的策略，這個策略能直觀地顯示題意，能有條理地表示數(shù)量，便于發(fā)現(xiàn)數(shù)量之間的關系，從而形成解題的思路. 因此，課堂教學中，教師要有運用它的自覺性，提高學生解決數(shù)學問題的能力，形成良好的思維習慣，增進學生的思考力與理解力，以及表達能力.

（二）繪圖數(shù)學，蘊涵數(shù)學“數(shù)理”的滲透

愛因斯坦也指出：科學的“方法背后，如果沒有一種生氣勃勃的精神，它們到頭來都不過是笨拙的工具.” 小學生受年齡特征和思維特點的影響，使得數(shù)學思想在教學中的滲透有一定的難度，而繪圖由于其形象鮮明地展示了數(shù)學本身，顯示了數(shù)形結合的理念，因此，在小學數(shù)學教學課堂中，運用繪圖這把鑰匙可以開啟數(shù)學思想的滲透之門，對學生數(shù)學思維的整體提高有很好的促進作用.

1. 在“繪圖”中感悟“數(shù)理”

約翰·馮·諾依曼曾經(jīng)指出“每當一門數(shù)學學科到了退化的地步，唯一的數(shù)學藥方就是為重獲青春而返本求源：重新注入直接來自經(jīng)驗的思想.”生活中的一些經(jīng)驗也蘊涵著一定的數(shù)學繪圖，這些經(jīng)驗能夠很直觀地展示數(shù)學思想，所以在數(shù)學教學中運用這些圖形，有利于學生更直觀地感悟數(shù)學理論.

學生在教師的動畫演示過程中，感悟到了圓出于方的道理，教師引領學生領悟其中蘊涵的數(shù)學思想——極限思想. 這種引用生活中的日常經(jīng)驗，運用繪圖來感悟思想的方法，不僅能激發(fā)學生的探究興趣，還能讓學生把這種極限的數(shù)學思想深入骨髓.

2. 在“繪圖” 中建構 “數(shù)理”

數(shù)學中量的關系和變化都是以符號來表示的，知識的建構最終在符號操作的層次上完成. 小學生的思維處于從具體形象思維為主向抽象思維為主的過渡階段，繪圖恰是從此岸到達彼岸的“諾亞方舟”.

案例4 這是數(shù)學教學中的一道題目：有一段木頭，不知它的長度，用一根繩子來量，繩子多1.5米，如果將繩子對折后再來量，繩子又差0.4米，這根繩子長多少米？學生光讀題目，理解有困難，教師引領學生通過繪圖來理解，就變得比較容易理解了.

這道題目一開始讀起來，無從下手，而根據(jù)題目繪出圖后，學生的思維一下子便敞亮起來，問題就迎刃而解了——（1.5+0.4）×2=3.8（米）. 繪圖是問題解決與學生思維的橋梁，學生在繪圖中理清問題中的數(shù)量關系，使“數(shù)”“形”能夠很好地結合起來，有利于學生感悟數(shù)學思想.

（三）繪圖數(shù)學，啟迪兒童思維的創(chuàng)新

任何一種解決問題的策略都需要經(jīng)歷解決問題的過程，只有學生思維的深度參與才可以使策略的形成過程成為策略并儲存在學生頭腦中，學生由此獲得的體驗才是深刻的. 因此，在教學時，教師要讓學生動手實踐、自主探索，為學生的探索活動提供足夠的時間和空間，使他們發(fā)揮各自的創(chuàng)造潛能，靈活、有效地解決實際問題.

1. 在圖形中尋到“原生點”

小學生思維的創(chuàng)新性是一種心智技能活動，是內(nèi)在的隱性活動. 在數(shù)學教學中，教師要尋找學生思維的原生點，以培養(yǎng)學生空間想象的思維能力為目的，實現(xiàn)思維能力的創(chuàng)新.

案例5 求梯形的面積

在一個等腰直角三角形中，沿兩腰中點減去一個三角形，剩下一個上底長0.8米，下底長1.4米的梯形（圖6的陰影部分），求這個梯形的面積.

本案例中，教師通過引導學生畫圖，引發(fā)學生的深度思考——梯形的高怎么計算. 學生在動手繪圖的過程中，領悟了數(shù)學解題的思維方法，找到了創(chuàng)新思維的原生點，從而順利地解決了難題，培養(yǎng)了運用創(chuàng)新思維解決實際問題的能力.

2. 在數(shù)學圖形中理解“抽象”

小學生的思維正處在從形象思維向抽象思維轉化的過渡階段，學生的數(shù)學理解必須實現(xiàn)直觀感知與數(shù)學抽象知識的深度融合，這樣的數(shù)學理解才有助于學生對數(shù)學知識的遷移與運用.

首先，讓學生看圖7，理解空白部分應該是，計算的結果可以轉化為用單位“1”直接減去空白部分的大小，使計算簡潔，即1-=.

計算本應該通過通分，按同分母分數(shù)計算法則進行計算，但借助示意圖能更加直觀地計算出結果，同時也可以拓展到，，…，把這些通分很難解決的問題轉化成一些簡單的問題. 而學生通過看圖也可以清楚地看出計算的方法：用單位“1”直接減去空白部分的大小. 本來很復雜、很抽象的計算方法，通過繪圖，學生不僅能輕松地理解方法，還能增強認識的深度.

結語：繪圖數(shù)學，師生智慧的共生

我國著名數(shù)學家華羅庚曾說：“數(shù)無形時不直觀，形無數(shù)時難入微. ” 繪圖數(shù)學教學符合教育學、心理學的原理和兒童的年齡特征，關注兒童的興趣和經(jīng)驗，反映了數(shù)學知識的形成過程，努力為兒童的數(shù)學積淀生動活潑、主動求和的材料與環(huán)境，為學生的數(shù)學素養(yǎng)打下好的基礎. 教師引領學生生發(fā)一種對繪圖數(shù)學的鐘愛，對數(shù)學繪圖的渴望和對完善自我的追求，這才是我們追求思想引領課題的價值所在. 讓我們一起來追尋繪圖數(shù)學引領下的數(shù)學課堂，讓教師和學生的智慧在繪圖數(shù)學中碰撞出絢爛的火花.