例談數(shù)學寫作在數(shù)學學習中的意義

徐偉東

摘 要：《普通高中數(shù)學課程標準》中把提高學生學習數(shù)學的興趣，提高學習數(shù)學的信心，提高數(shù)學地表達和交流的能力作為課程目標之一，同時要求學習評價應關注學生的學習過程、重視學生情感、態(tài)度、價值觀的變化. 數(shù)學作文順應了這一改革的潮流，近年來國內(nèi)外對數(shù)學作文的研究有不少，但在高中開展數(shù)學作文寫作的國內(nèi)外相關研究比較少，許多教師都承認數(shù)學寫作在數(shù)學學習中的作用，但較少真正實施. 一個重要的原因是尚未有一套成熟的可執(zhí)行方案，迫切需要進行系統(tǒng)的理論分析及實踐方法的指導. 因此，在高中開展數(shù)學作文寫作已成為一個重要的研究課題.

關鍵詞：數(shù)學寫作；數(shù)學活動；反思

在數(shù)學活動中，“寫作學習”（Writing—to—learn）是在一定的知識儲備下，對已有的數(shù)學信息分析、比較、內(nèi)化、綜合，從而產(chǎn)生想法和感受，并用文字表達出來的學習過程. 由于寫作學習是數(shù)學活動的一種學習方式，因此一些杰出的心理學家和教育學家，如維果茨基、布魯納等認為寫作與其他交流方式一樣有助于學習. 在數(shù)學教育研究上，寫作學習已經(jīng)用來作為探測不同學生數(shù)學理解差異的工具. 許多學者對此做過深入研究，取得了大量的研究成果.

數(shù)學寫作作為師生之間的一種新的交流工具，被一些數(shù)學教師零星地使用，但從實際情況看，低年級使用的較多，高年級使用的較少；實踐操作的較多，理論提升的較少，對于如何開展數(shù)學寫作教學缺乏系統(tǒng)的研究. 本文在已有研究的基礎上，從四個方面談談數(shù)學寫作教學的意義和作用，旨在拋磚引玉.

[?] 強化學生的數(shù)學知識

1. 寫對重要名詞的個人定義；2. 寫對數(shù)學概念的理解；3. 寫對某節(jié)課的小結；4. 針對作業(yè)或測驗中出現(xiàn)的錯誤進行更正；5. 提供例題并證明；6. 討論某個數(shù)學法則及其重要性.

如學習了二項式定理以后，學生寫了一篇關于二項式定理的數(shù)學寫作，現(xiàn)摘錄其中一個學生的作品：

學習了二項式定理后，以前一些難解的，抑或是無從下手的題，也就迎刃而解了，其中我印象最深的是下面幾類題型：

例1 求解（x2+3x+2）5展開式中x的系數(shù).

解：（x2+3x+2）5=（x+1）5（x+2）5，所以含有x的項有Cx·C25+C·Cx，故x的系數(shù)為240.

例2 1.056精確到0.01的近似值.

解：1.056=（1+0.05）6≈1+C·0.05+C·0.052≈1.34.

這類題目本來是很難用筆和紙研究出來的問題，而放入二項式內(nèi)容求解，問題則變得異常的簡單快捷，真可以和計算器的估讀能力有的一拼了.

例3 設a∈Z，且0≤a≤13，若512012+a能被13整除，則a的值是多少？

解：512012+a=（52-1）2012+a=C·522012-C·522011+…-C·52+1+a，因為52能被13整除，所以只需1+a能被13整除即可.因為a∈Z，且0≤a≤13，所以a=12時，1+a能被13整除，故a的值為12.

瞧，原來的一個天文數(shù)字現(xiàn)在在二項式定理的解題之下，也就變得那么神奇了.

在得出兩個計數(shù)原理以及二項式定理時，我們始終是從一些簡單的具體事例出發(fā)，從中獲得解決一般性問題的經(jīng)驗，得出解決一般問題的思路，這也是我們學習數(shù)學以及學習其他學科時可借鑒的優(yōu)秀方法.

[?] 增進師生的對話交流

1. 給教師寫便條詢問問題；2. 列出課堂弄明白或未弄明白的概念；3. 寫關于今天課堂表現(xiàn)的日記；4. 對某個特定的題目或課程內(nèi)容記錄想法；5. 準備分組完成某個任務.

如筆者曾要求學生給筆者寫一封信，想說什么就說什么，現(xiàn)摘錄其中一個學生的內(nèi)容：

曾聽一位奧數(shù)老師說過這么一句話：學數(shù)學，就猶如魚與網(wǎng)、會解一道題，就猶如捕捉到了一條魚，掌握了一種解題方法，就猶如擁有了一張網(wǎng). 所以，“學數(shù)學”與“學好數(shù)學”的區(qū)別就在與你是擁有了一條魚，還是擁有了一張網(wǎng).

從小到大我就怕數(shù)學，覺得動腦筋的東西都會很難，可能也是自己懶的原因吧. 不管是小學還是初中，我的數(shù)學都是從好到壞，慢慢的對數(shù)學也有一種厭倦感，開始對自己的數(shù)學自暴自棄，可是在高中，而且還是文科班，老師反復強調(diào)“得數(shù)學者得天下”. 在課堂上認真學了，開始的我可能是被動的，但是現(xiàn)在我的想法慢慢改變了，只要你自己想學就會學好. 雖然現(xiàn)在我的數(shù)學成績依舊不是很好，但努力了總是還有希望的.

學數(shù)學沒有什么特別的技巧，數(shù)學是一門純粹的學科，學好數(shù)學不一定要有高智商，但要踏踏實實地打好每個基礎 ，這也是我所學到的.

數(shù)學，就像一座高峰，直插云霄，剛剛開始攀登時，感覺很輕松，但我們爬得越高，山峰就變得越陡，讓人感到恐懼，這時候，只有真正喜愛數(shù)學的人才會有勇氣繼續(xù)攀登下去，所以，站在數(shù)學的高峰上的人，都是發(fā)自內(nèi)心喜歡數(shù)學的，站在峰腳的人是望不到峰頂?shù)?

看了這篇作文，筆者良久不能平靜，總在想做了這么多年的教師，此時此刻才感覺到自己是最幸福的，筆者沒有理由不教好他們，選擇教師筆者無怨無悔.

[?] 發(fā)展學生自我監(jiān)督和反思行為

1. 描述使一個問題或難或易的原因；2. 解釋為什么這個答案是合理的；3. 找出你學習中可能遇到的問題，并給以解答；4. 分析某個人的工作質量；5. 思考同一個問題的不同解法；6. 討論某類問題之間的相同點與不同點.

如學習了二項式定理以后，有學生得到如下關于這類題型的總結：

有關二項式定理的解題，主要運用四種方法：

（1）常規(guī)問題通項分析法；（2）系數(shù)和差賦值法；（3）近似問題截項法；（4）整除（或余數(shù)）問題展開法.

主要有四種題型：

（1）通項運用型；（2）系數(shù)配對型；（3）系數(shù)和差型；（4）綜合應用型.

[?] 抒發(fā)學生的情感流露

1. 寫關于數(shù)學的自我體驗；2. 寫數(shù)學在今后社會所起的作用；3. 講述數(shù)學改變某個人生活的故事；4. 寫什么可以幫助理解概念和什么阻礙數(shù)學理解；5. 記錄自己在完成某項作業(yè)后的感受.

如某次考試后，筆者讓學生寫一篇對數(shù)學學習的感受，現(xiàn)摘錄其中三個學生的作業(yè)：

學生一：人生就像對勾函數(shù)，潮起潮落，不同的是在這個人生旅途中只有一個低谷，不論你如何對待它. 但過程我們可以選擇，因為你最初的態(tài)度就決定了你的未來：付出是正數(shù)，回報是正數(shù)；付出的是負數(shù)，回報的也是負數(shù).

學生二：《對勾的悲哀》

小時候，隔著銀河的距離，我們彼此相望，不能相見，那時，我在這頭，它在那頭.

長大后，有了自由的向往，我們懷揣夢想，離家遠行，那一刻，我向左走，它向右走.

而現(xiàn)在，為了各自的生活，我們奔波忙碌，逐漸淡忘，那一秒，我們永不相見.

不怪我們，只怪老天讓我們以對的身份存在，背對著對方越走越遠.

學生三： 數(shù)列求和真麻煩，

心急吃不了熱豆腐，

先審題，細琢磨，

深入其中找特征，

等差、等比直接求，

混合可用分組求，

等差倒數(shù)裂項求，

根式無理有理求，

最難要數(shù)等差乘等比，

錯位相減把和求，

求和方法有多樣，

關鍵還是靈活用.

從這些作文之中，我們可以窺探這些學生的厭學程度和無奈的心情，由此可以對其正確地引導，鼓勵他們走近數(shù)學，進而不再害怕數(shù)學.

[?] 促進學生的探究性學習

1. 寫下問題和解題過程；2. 寫怎樣求解一道題目；3. 寫關于不同解法的比較和對照；4. 描述用某種技巧來解某類問題；5. 準備一些常規(guī)報告.

如學習了二項式定理后，有些學生得到了關于楊輝三角例外的一些性質：

學生一：根據(jù)楊輝三角的數(shù)據(jù)，可以發(fā)現(xiàn)：

C=C+C=（C）2+（C）2，

C=C+2C+C=（C）2+（C）2+（C）2，

C=C+3C+3C+C=（C）2+（C）2+（C）2+（C）2，

C=C+4C+6C+4C+C=（C）2+（C）2+（C）2+（C）2+（C）2，

由上等式猜想：C=（C）2+（C）2+（C）2+…+（C）2.

證明：有2n個人，從中選出n個人，則可以有C種選擇方案.

若將人平均分成2組，A組n人，B組n人，

方案一：從A組中選出0人，B組中選出n人，有CC種；

方案二：從A組中選出1人，B組中選出n-1人，有CC種；

方案三：從A組中選出2人，B組中選出n-2人，有CC種；

以此類推，共有CC+CC+CC+…+CC種.

因為C=C，C=C，C=C，…以此類推，所以CC+CC+CC+…+CC=（C）2+（C）2+（C）2+…+（C）2，即C=（C）2+（C）2+（C）2+…+（C）2，所以猜想成立.

進一步推廣：C=CC+CC+CC+…+CC（m

證明同上.

學生二：由楊輝三角可知，第3斜列前n個數(shù)之和等于第4斜列的第n個數(shù)；第4斜列前n個數(shù)之和等于第5斜列的第n個數(shù)；由此猜想：第m斜列前k個數(shù)之和等于第m+1斜列的第k個數(shù)，即C+C+C+…+C=C.

證明：C+C+C+…+C=C+C+C+…+C=C+C+…+C=C，所以猜想成立.

學生三：如果把楊輝三角中的每一項的C改為，就可以得到以下的規(guī)律，+=. 這就是著名的萊布尼茨三角形. 此三角形有以下規(guī)律：

1. 上下兩行的最前面兩數(shù)的乘積為其中第二行的第二項（除第一行）；

2. 下面兩數(shù)之和為肩上的數(shù).

證明：左邊=+=+====，所以等式得證.

通過學生作文中列舉的若干結論，可見學生已進行了大量的思考、歸納和收集，想必運用二項式定理求解相關問題的方法已熟練掌握.

教師通過閱讀學生的數(shù)學作文，可以了解學生的“學情”，為自己及時調(diào)整教學策略提供有效的依據(jù)；教師通過展示學生的數(shù)學作文，促進師生之間、學生之間的交流，同時也讓學生體會到學數(shù)學的成就感，從而使學生更加喜歡學數(shù)學. 數(shù)學寫作促進了學生的反思，而反思拓寬了學生的思路，提高了解題能力，深化了對知識的理解，進而完善了學生數(shù)學思維.

新課標強調(diào)學生在學習過程中要有高度的情感投入，要有明確的目標追求，不斷地反思和檢視自我，能清晰地認識到自己要完成的學習任務，積極地尋找解決問題的途徑，而數(shù)學寫作能使學生通過內(nèi)存動力的支持去達到目標，這樣的學習是非常有效的.