特殊化思想在高考中的應(yīng)用

羅永高

摘 要：著名美國(guó)數(shù)學(xué)家波利亞把一般化、特殊化及類比并列稱為“獲得發(fā)現(xiàn)的偉大源泉”. 恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用特殊化思想解答數(shù)學(xué)問(wèn)題往往能收到事半功倍的效果.

關(guān)鍵詞：特殊到一般；化歸特殊問(wèn)題；特值驗(yàn)證；著眼最值情況

問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟，那么解題的思想方法就是數(shù)學(xué)的靈魂. 美國(guó)著名數(shù)學(xué)家波利亞把一般化、特殊化及類比并列稱為“獲得發(fā)現(xiàn)的偉大源泉”. 波利亞在《數(shù)學(xué)與猜想》中列舉了許多生動(dòng)的事例，說(shuō)明數(shù)學(xué)界的先輩們?nèi)绾螐膶?duì)簡(jiǎn)單、特殊事物的考察中發(fā)現(xiàn)普遍的規(guī)律，也就是說(shuō)運(yùn)用特殊化思想導(dǎo)致了許多偉大的發(fā)現(xiàn).

盤點(diǎn)2012年的高考試題及模擬試題，遵循能力立意，引領(lǐng)少教多悟的原則. 別具匠心地設(shè)計(jì)了一些立意高遠(yuǎn)、背景公平、內(nèi)涵豐富、設(shè)問(wèn)通俗、解答靈活的創(chuàng)新試題，如何在比較短的時(shí)間內(nèi)，快捷、準(zhǔn)確地得到解決問(wèn)題的思路及答案，恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用特殊化思想往往會(huì)收到事半功倍的效果.本文結(jié)合一些典型例子試圖對(duì)特殊化思想，做一番剖析.

[?] 從特殊到一般

特殊問(wèn)題像一把鑰匙、一面鏡子，可以為我們看清一般問(wèn)題助一臂之力，為探索解題途徑提供線索，并成為解決問(wèn)題的突破口.

例1 （鎮(zhèn)海中學(xué)2012年數(shù)學(xué)測(cè)試卷第10題）設(shè)R表示一個(gè)正方形區(qū)域，n是一個(gè)不小于4的整數(shù). 點(diǎn)X位于R的內(nèi)部（不包括邊界），如果從點(diǎn)X可引出n條射線將R劃分為n個(gè)面積相等的三角形，則稱點(diǎn)X是一個(gè)“n維分點(diǎn)”. 由區(qū)域R內(nèi)部的“100維分點(diǎn)”構(gòu)成集合A，“60維分點(diǎn)”構(gòu)成集合B，則集合{x

x∈A且x?B}中的元素個(gè)數(shù)是（ ）

A. 1560 B. 2320

C. 2480 D. 2500

分析：令正方形的邊長(zhǎng)為1，考慮n=4的情形，從點(diǎn)X可引出4條射線將R劃分為4個(gè)面積相等的三角形，即每一個(gè)三角形的面積為，也就是說(shuō)點(diǎn)X到每一邊的距離相等，得4維分點(diǎn)只有一個(gè).

考慮n=8的情形，從點(diǎn)X可引出8條射線將R劃分為8個(gè)面積相等的三角形，即每一個(gè)三角形的面積為. 由對(duì)稱性，這8條射線分別與一組對(duì)邊組成4個(gè)面積為的三角形，4個(gè)三角形按2，2；1，3分組. 得點(diǎn)X到每一組邊的距離比可以為1∶1，1∶3. 所以只要將正方形分成4×4的方格，正方形內(nèi)9個(gè)格點(diǎn)就是8維分點(diǎn).

由上可得，4n維分點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（2n-1）（2n-1）. 即集合A，B的元素分別為49×49個(gè)，29×29個(gè)，去掉重復(fù)的81個(gè)，得2320個(gè).

評(píng)注：本題通過(guò)考察n=4，n=8的情形，發(fā)現(xiàn)4，8維點(diǎn)的特征，進(jìn)而得到n維點(diǎn)的個(gè)數(shù). 堅(jiān)持以考察特殊情形作為探索的起點(diǎn)，從中尋求啟示，是解決這類問(wèn)題的有效手段.

例2 （福建2012年高考數(shù)學(xué)理科試題第19題）橢圓E：+=1（a>b>0）的左焦點(diǎn)為F1，右焦點(diǎn)為F2，離心率e=. 過(guò)F1的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，且△ABF2的周長(zhǎng)為8.

（1）求橢圓E的方程.

（2）設(shè)動(dòng)直線l：y=kx+m與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P，且與直線x=4相交于點(diǎn)Q. 試探究：在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)M，使得以PQ為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)M？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

分析：（1）+=1.

（2）假設(shè)坐標(biāo)平面內(nèi)存在定點(diǎn)M，由圖象的對(duì)稱性可知點(diǎn)M在x軸上.

取點(diǎn)P（0，），則Q（4，）. 得以PQ為直徑的圓為（x-2）2+（y-）2=4，交x軸于點(diǎn)M1（1，0），M2（3，0）.

所以若符合條件的點(diǎn)M存在，且點(diǎn)M的坐標(biāo)必為（1，0）. 以下只要證明·=0即可.

評(píng)注：圓過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題由于涉及三個(gè)量k，m，xM . 要在k，m的變化中找到一個(gè)常量xM，難度較大. 通過(guò)選取已知橢圓上的兩個(gè)特殊點(diǎn)，作兩個(gè)圓得定點(diǎn)，然后再證明，是解決圓過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題的一個(gè)十分有效的方法.

[?] 化歸特殊問(wèn)題

將一般問(wèn)題化歸為特殊問(wèn)題是處理數(shù)學(xué)問(wèn)題的一個(gè)有效途徑，要實(shí)現(xiàn)有效地化歸，必須抓住兩個(gè)環(huán)節(jié)：其一，通過(guò)觀察，恰當(dāng)?shù)剡x出一種基本問(wèn)題，并進(jìn)行解答；其二，在化歸上下工夫，有時(shí)還需做一番精巧的構(gòu)思，才能把各種一般問(wèn)題化為特殊問(wèn)題進(jìn)行解決.

例3 （自編）已知二面角α-l-β的大小為50°，P為空間中任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P且與平面α和平面β所成角都是30°的平面γ的個(gè)數(shù)為（ ）

A. 2個(gè) B. 3 個(gè)

C. 4個(gè) D. 5個(gè)

分析：不妨假設(shè)P∈l，過(guò)點(diǎn)P作直線l⊥γ，則過(guò)點(diǎn)P與α，β所成角都是30°的平面γ的個(gè)數(shù)問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為過(guò)點(diǎn)P與α，β所成角都是60°的直線l的條數(shù)問(wèn)題.

若過(guò)點(diǎn)P作a⊥α，b⊥β，則a，b所成角為50°，則過(guò)點(diǎn)P與α，β所成角都是60°的直線l的條數(shù)問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為過(guò)點(diǎn)P與a，b所成角都是30°的直線l的條數(shù)問(wèn)題. 過(guò)點(diǎn)P作a1∥a，b1∥b，則過(guò)點(diǎn)P與a，b所成角都是30°的直線的條數(shù)問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為過(guò)點(diǎn)P與a1，b1所成角都是30°的直線問(wèn)題. 如圖1，以點(diǎn)P為頂點(diǎn)，直線a1，b1為軸作頂角為60°的圓錐，由圖可知兩個(gè)圓錐側(cè)面有且只有兩條交線.

評(píng)注：通過(guò)作面的垂線，把原題轉(zhuǎn)化為過(guò)定點(diǎn)與兩直線所成定角問(wèn)題. 構(gòu)造特殊的模型圓錐是解決這類問(wèn)題的一個(gè)最直觀的方法.

例4 （寧波2012年十校聯(lián)考數(shù)學(xué)試題第22題）已知函數(shù)f（x）=（x3+2x2+5x+t）e-x，t∈R，x∈R.

（1）當(dāng)t=5時(shí)，求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）若存在實(shí)數(shù)t∈[0，1]，使對(duì)任意的x∈[-4，m]，不等式f（x）≤x成立，求整數(shù)m的最大值.

分析：（2） f（x）≤x?t≤xex-x3-2x2-5x，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)任意的x∈[-4，m]，xex-x3-2x2-5x≥0. 顯然，當(dāng)x=1時(shí)，左邊=e-8<0，不成立. 當(dāng)對(duì)任意的x∈[-4，0]，xex-x3-2x2-5x≥0?ex-x2-2x-5≤0. 對(duì)任意的x∈[-4，0]，ex≤1，x2+2x+5≥4. 即ex-x2-2x-5≤0成立. 因此整數(shù)m的最大值為0.

評(píng)注：通過(guò)對(duì)問(wèn)題的不斷觀察，逐步將復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)顯而易見(jiàn)的問(wèn)題，避免了討論與證明.

[?] 利用特值驗(yàn)證

當(dāng)高考中的客觀題的結(jié)論唯一或題設(shè)條件中提供的信息暗示答案是一個(gè)定值時(shí)，可以把題中的變化的不定量用特殊值（或特殊函數(shù)、特殊角、特殊數(shù)列、圖形的特殊位置、特殊點(diǎn)、特殊方程、特殊模型等）進(jìn)行處理，即可以得到正確的結(jié)果. 真正實(shí)現(xiàn)小題不大做.

例5 （浙江2012年高考數(shù)學(xué)理科試題第17題）設(shè)a∈R，若x>0時(shí)均有[（a-1）x-1]（x2-ax-1）≥0，則a=______.

分析1：令f（x）=[（a-1）x-1]（x2-ax-1），若x>0時(shí)均有f（x）≥0，則a>1. 令x1=>0，x2，x3為x2-ax-1=0的根，因?yàn)閤2·x3=-1，不妨設(shè)x2>0，x3<0. 由f（x）的圖象可知當(dāng)x1，x2重合時(shí)滿足條件，即x1=是x2-ax-1=0的根，得a=.

評(píng)注：通過(guò)對(duì)三次函數(shù)零點(diǎn)的分析，發(fā)現(xiàn)只有一種特殊情況符合條件，即兩個(gè)正零點(diǎn)相等.

分析2：令f（a）=（xa-x-1）（xa-x2+1），則當(dāng)x>0時(shí)均有f（a）≤0. 由-x-1=-x2+1，得x=2. 即當(dāng)x=2時(shí)，f（a）=（2a-3）2≤0. 得a=.

評(píng)注：通過(guò)把不等式轉(zhuǎn)化為以a為主元的不等式，觀察數(shù)學(xué)式的結(jié)構(gòu)發(fā)現(xiàn)當(dāng)x=2時(shí)，f（a）為平方式. 看似難以想象，實(shí)際在情理之中.

例6 （上海2012年高考數(shù)學(xué)理科試題第14題）如圖2，AD與BC是四面體ABCD中互相垂直的棱，BC=2. 若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a，c為常數(shù)，則四面體ABCD的體積的最大值是__________.

分析：由AB+BD=AC+CD=2a可知點(diǎn)B，C在以A，D為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸為2a的橢球上運(yùn)動(dòng)，則B，C到AD距離的最大值為b=. 過(guò)BC作垂直于AD的面交AD于點(diǎn)E，則VABCD=S△BCE·AD，因此當(dāng)BE=CE=時(shí)，△BCE的面積最大為.

所以VABCD的最大值為.

評(píng)注：要使體積最大，只要△BCE的面積最大，顯然對(duì)于底邊為定值的等腰三角形，只當(dāng)腰長(zhǎng)最大時(shí)，面積最大.

[?] 著眼最值情況

著眼問(wèn)題達(dá)到最值時(shí)對(duì)應(yīng)的變量的值，并把問(wèn)題的最值作為分析問(wèn)題的出發(fā)點(diǎn). 一個(gè)十分有意義的事情，數(shù)學(xué)上的許多性質(zhì)，往往會(huì)通過(guò)一些變量達(dá)到最值時(shí)反映出來(lái). 這就使我們可以以它們?yōu)橹攸c(diǎn)考察對(duì)象，來(lái)尋找問(wèn)題的突破口.

例7 （浙江2012年高考數(shù)學(xué)理科調(diào)研試題第17題）如圖3，已知圓心角為120° 的扇形AOB的半徑為1，C為弧AB的中點(diǎn).點(diǎn)D，E分別在半徑OA，OB上. 若CD2+CE2+DE2=，則OD+OE的取值范圍是______.

思路3：考慮到已知條件與所求結(jié)論對(duì)于x，y具有輪換性.當(dāng)x=y時(shí)滿足題意，當(dāng)x=y時(shí)代入得x=y=，即x+y=. 觀察圖，當(dāng)點(diǎn)D，E分別在半徑OA，OB上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)D，E中有一個(gè)與O重合時(shí)，x+y=.

評(píng)注：這是巧合嗎？其實(shí)偶然中有必然，確實(shí)數(shù)學(xué)中的許多美妙的性質(zhì)都會(huì)在最值上反映出來(lái).

例8 （南京2012年二檢第13題）在面積為2的△ABC中，E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在直線EF上，則·+2的最小值是______________.

分析：?jiǎn)栴}可轉(zhuǎn)化為已知△PBC的面積為1，求·+2的最小值.

由題設(shè)知，△PBC的面積為1，以B為原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，過(guò)點(diǎn)B與直線BC垂直的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系.

[?] 考察極限位置

題中變化的不定量選取一些極限值時(shí)，通過(guò)觀察它們的變化趨勢(shì)，也會(huì)取得意想不到的效果.

例9 （寧波2012年十校聯(lián)考數(shù)學(xué)試題第16題）已知A，B分別是雙曲線C：x2-y2=4的左、右頂點(diǎn)，且P是雙曲線上在第一象限內(nèi)的任一點(diǎn)，則∠PBA-∠PAB=__________.

分析：當(dāng)點(diǎn)P越來(lái)越接近點(diǎn)B時(shí)，可知∠PBA→，∠PAB→0?∠PBA-∠PAB→.

例10 已知O是銳角三角形ABC的外接圓的圓心，且∠A=θ，若+=2m，則m=__________.

分析：當(dāng)A→，B→，C→時(shí)，→（+）. 代入條件得m=1，即m=sinθ.

以上通過(guò)兩個(gè)方面對(duì)特殊化思想進(jìn)行了剖析. 一方面是通過(guò)對(duì)特殊問(wèn)題的研究，摸索出一些經(jīng)驗(yàn)，獲得一點(diǎn)啟示，再以所獲得的啟示作為鑰匙，打開(kāi)問(wèn)題的答案之門.當(dāng)然如何將一般問(wèn)題轉(zhuǎn)化為特殊問(wèn)題，如何覓得啟示，是解決問(wèn)題的至關(guān)重要的一環(huán).

另一方面是把特殊對(duì)象作為分析問(wèn)題的出發(fā)點(diǎn)，通過(guò)觀察它們變化趨勢(shì)及一些性質(zhì)，來(lái)尋找問(wèn)題的突破口和答案. 當(dāng)然，如何找到合適的特殊對(duì)象，如何發(fā)現(xiàn)一些性質(zhì)，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

遺憾的是，現(xiàn)在許多學(xué)生缺乏運(yùn)用特殊化思想的意識(shí)，更談不上運(yùn)用特殊化思想解決問(wèn)題. 經(jīng)常出現(xiàn)小題大做，常常找不到解決問(wèn)題的思路. 確實(shí)需要在平時(shí)的教學(xué)過(guò)程中加以滲透和專門的訓(xùn)練. 最后，讓我們記住華羅庚的一段話：“善于‘退，足夠地‘退，‘退到最原始而不失去重要性的地方，是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個(gè)訣竅！”一語(yǔ)道出了特殊化思想對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要意義.