通法還是巧解

馬林剛

摘 要：在研讀2013年重慶市高考理科考試說明的樣題的過程中，筆者發(fā)現(xiàn)第17題作為解答題的第一題，考試說明給出的解法屬于巧解. 如果使用通法求解，雖然解題步驟簡潔很多，但是會(huì)讓求解陷入誤區(qū). 筆者試圖探討通法求解陷入誤區(qū)的原因及解決方案，同時(shí)強(qiáng)調(diào)命題者應(yīng)該重視通法通解.

關(guān)鍵詞：考試說明；第17題；通法通解

高考試題歷來是高中教學(xué)的指揮棒，高考考試說明的樣題更是高中師生研讀的重點(diǎn)內(nèi)容，樣題所體現(xiàn)的對數(shù)學(xué)思想、方法以及對通性通法的追求幾乎成了高中數(shù)學(xué)教師的教學(xué)價(jià)值觀. 所以筆者認(rèn)為考試說明的樣題一定會(huì)體現(xiàn)好通性通法，雖然巧解能體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的思維價(jià)值，但作為“Mathematics for all”（大眾數(shù)學(xué)）的今天，人們應(yīng)該更加注重通法.

2013年重慶市高考理科考試說明樣題第17題似乎更加強(qiáng)調(diào)技巧，因?yàn)橥ǚㄔ诮鉀Q本題會(huì)遇上一些麻煩. 筆者試就這個(gè)問題進(jìn)行一些討論，以此文就教于各位專家、同行.

原題及解答：設(shè)f（x）=1-2sinx（sinx+cosx）. 求：

（1）f（x）的最大值和最小正周期；

（2）函數(shù)y=

-≤x≤

的值域.

解：（1）f（x）=1-2sinx（sinx+cosx）=1-2sin2x-2sinxcosx=cos2x-sin2x=·

cos2x-sin2x

=

cos·cos2x-sinsin2x

=cos

2x+

.

所以f（x）的最大值為，最小正周期為π.

（2）由（1）可知y=·=·

-

=·

-=·tan

2x+

-.

當(dāng)-≤x≤時(shí)，有-≤2x+≤，從而tan

-

-≤y≤tan-，即-≤y≤. 故所求函數(shù)的值域?yàn)?/p>

-

，.

可是，筆者在解答這道題的第（2）問時(shí)發(fā)現(xiàn)，如果采用另外的處理方式，雖然更利于學(xué)生接受，可是答案卻不一樣.

（2）略解：y=== -+.

當(dāng)-≤x≤，有-≤2x≤，其中2x=-會(huì)使得tan2x無意義.

至此，此題解答陷入僵局.

到底是什么原因呢？考試說明的解答卻沒有遇到這樣的問題. 仔細(xì)分析發(fā)現(xiàn)，由已知，cos2x-sin2x≠0是必須的，即是說明2x≠kπ+（k∈Z），即x≠π+（k∈Z）. 但是并不要求cos2x≠0. 這種陷入僵局的解法卻在求解中假定了cos2x≠0成立.

回到考試說明的解答，由y=·=

-

=

-=tan

2x+

-的處理中，如果改為·-=-+·，也將會(huì)陷入同樣的僵局. 那么是不是這種陷入僵局的步驟是不應(yīng)該出現(xiàn)的呢？筆者認(rèn)為這種思路除了沒有考慮到-≤2x≤對后續(xù)討論帶來的影響以及假定了cos2x≠0以外，應(yīng)該是一種通法，這種方法在求函數(shù)值域的問題中經(jīng)常出現(xiàn)（例如，求函數(shù)y=1+，x∈[2，3]的值域等類似問題）. 打破僵局也只需先討論cos2x=0的情況，再討論cos2x≠0的情形.

考查細(xì)節(jié)固然重要，但是在思想方法都正確的情況下，卻讓考生在第一個(gè)解答題落入這個(gè)“圈套”，實(shí)在是有些委屈. 考試說明的解答為了避開這個(gè)“圈套”，舍近求遠(yuǎn)，當(dāng)然是應(yīng)當(dāng)?shù)模亲鳛橐坏揽碱}，是不是應(yīng)該在x的取值范圍上降低難度，讓考生穩(wěn)定作答. 如改為-≤x≤，讓兩種方法都能順利作答.

筆者才疏學(xué)淺，一家之言，還望專家同行批評指正.