試題的破套出新與思維的同中求異

繆海峰

摘 要：課堂上如何讓學生的思維“動”起來，例題“活”起來，教師“靜”下來？為學生提供更多的思維入口處，增加思維的廣度和深度是新課標對每個教師的基本要求. 本文對2012年江蘇高考第19題進行了多樣化的探索與多元化的思考，并以此為例，與同行共同切磋如何在數(shù)學例題講解中既能在思路上“破套”，又能在技巧上“出新”；既能在思維引領上“求同”，又能在最近發(fā)展區(qū)“求異”.

關鍵詞：高考試題；思維；破套；出新；遷移；求異

在對高三理科學生進行2012年高考卷評講時，筆者講了江蘇高考第19題.

[?] 題目再現(xiàn)——引領學生從“已有水平”向“潛在水平”轉(zhuǎn)化，努力搭建科學的思維支架

如圖1，在平面直角坐標系xOy中，橢圓+=1（a>b>0）的左、右焦點分別為F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0）. 已知（1，e）和e

，都在橢圓上，其中e為橢圓的離心率.

（Ⅰ）求橢圓的離心率；

（Ⅱ）設A，B是橢圓上位于x軸上方的兩點，且直線AF1與直線BF2平行，AF2與BF1交于點P.

（?。┤鬉F1-BF2=，求直線AF1的斜率；

（ⅱ）求證：PF1+PF2是定值.

按照答案講解如下：

解：（Ⅰ）由題意a2=b2+c2，e=. 由點（1，e）在橢圓上，得+=1，解得b2=1，于是c2=a2-1. 又點

[?] 結(jié)論推廣——知識的交叉決定了方法的交叉，而能力則是數(shù)學測試的最基本立意，因此在研究試題講解中的科學性與導向性時，教者的一個重要責任是“寓教寓思”、“寓題寓變”，努力向思維的縱深進軍

“點P的軌跡是一個橢圓，”一個學生說.

“是不是本題還具有普遍性呢？”又一個學生提問.

聽了學生所講，點P的軌跡是一個橢圓沒有問題，但本題結(jié)論有沒有普遍性呢？筆者不敢下結(jié)論，于是決定當場研究本題.

筆者接上來，“點P的軌跡顯然是一個橢圓，問題②有沒有普遍性呢？這個問題老師也沒有研究過，我們一起來研究怎么樣.”

學生的積極性又被調(diào)動起來.幾分鐘后有學生回答：

設橢圓方程為+=1（a>0，b>0），AF1∥BF2，直線AF1的方程為x=-c+l·cosθ，

[?] 反思

學生的潛能開發(fā)一定要有序進行，有路可循，有支架可支撐. 從特定橢圓到一般橢圓，再至雙曲線，最后到拋物線的偏正質(zhì)疑正是遵循智力的再開發(fā)、思維的再起航所進行的. 這一道試題的解法中的出新還給我們這樣一種啟示：教學的最佳效果應當以典型試題為載體，多元解法為平臺，以學生思維開發(fā)的“路”與“橋”為終極目標. 這樣才可收“舉一反三”之效、獲事半功倍之好.