運用常數(shù)列巧解遞推關系的數(shù)列通項

鄭飛波

摘 要：非零常數(shù)列雖然很簡單，但在某些遞推數(shù)列中巧妙地運用，能起到事半功倍的效果；巧妙樹立遞推的“形式”，建立遞推的“內(nèi)涵”是很重要的. 常數(shù)列是等差數(shù)列、等比數(shù)列的“融合體”，除了解決常規(guī)轉(zhuǎn)化等比、等差關系的數(shù)列遞推，還能解決不能用等差、等比關系解決的一些特殊遞推數(shù)列.

關鍵詞：常數(shù)列；遞推關系，數(shù)列通項

無窮數(shù)列a，a，a，…，稱之為常數(shù)列. 常數(shù)列的通項為an=a，n∈N*，用遞推式表示：an+1=an，

a1=a，n∈N*.若a≠0，則此時的常數(shù)列既是公差d=0的等差數(shù)列，又是公比q=1的等比數(shù)列. 雖然非零常數(shù)列很簡單，但在某些遞推數(shù)列中巧妙地運用，能起到事半功倍的效果；巧妙樹立遞推的“形式”，建立遞推的“內(nèi)涵”是很重要的.

[?] 巧用常數(shù)列轉(zhuǎn)化等差、等比數(shù)列定義

化歸思想是數(shù)列學習的重要思想，通過一些特殊的遞推關系將數(shù)列轉(zhuǎn)化為兩個基本數(shù)列——等差數(shù)列和等比數(shù)列得到求解. 其實，等差數(shù)列與等比數(shù)列也可以轉(zhuǎn)化為更簡單的常數(shù)列來求解，即非零常數(shù)列是這兩個數(shù)列的“融合體”.

結(jié)論1：若等差數(shù)列{an}中，首項為a1，公差為d，則數(shù)列{an-nd}是項為a1-d的常數(shù)列.

證明：an-an-1=d，n≥2?an-nd=an-1-（n-1）d，n≥2，顯然數(shù)列{an-nd}為項是a1-d的常數(shù)列.反之亦然.

結(jié)論2：若等比數(shù)列{an}中，首項為a1，公比為q，則數(shù)列

是項為的常數(shù)列.

證明：an=an-1q，n≥2?=，n≥2，顯然數(shù)列

為項是的常數(shù)列. 反之也亦然.

[?] 巧用常數(shù)列遞推解決一些特殊遞推關系的數(shù)列

例1 （2005年高考）設正項數(shù)列{an}的首項為a1=1，滿足：（n+1）a-na+an+1an=0，則它的通項公式是an=________.

分析：[（n+1）an+1-nan]（an+1+an）=0，由an>0得（n+1）an+1=nan，所以，數(shù)列{nan}為項是1×a1=1的常數(shù)列，即an=，n∈N*.

例2 （江西2008年高考理科第5題）在數(shù)列{an}中，a1=2，an+1=an+ln

1+

，則an=（ ）

A. 2+lnn B. 2+（n-1）lnn

C. 2+nlnn D. 1+n+lnn

分析：湊形an+1-ln（1+n）=an-lnn，即數(shù)列{an-lnn}是項為2的常數(shù)列. 選A.

說明：運用累加法思想或累乘法思想求解遞推關系的數(shù)列，轉(zhuǎn)化為常數(shù)列后求解比較簡便. 例如，已知數(shù)列{an}，分別滿足下列條件時遞推數(shù)列可轉(zhuǎn)化為常數(shù)列的遞推形式：

說明：反比例模型的遞推關系的數(shù)列是重要的遞推形式，在歷年的高考題中經(jīng)常出現(xiàn).

2. 一階線性遞推關系的數(shù)列

例5 （重慶2010年高考理科第21第一問）在數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=can+cn+1·（2n+1）（n∈N*），其中實數(shù)c≠0. 求{an}的通項公式.

解：由結(jié)論2得=+2n+1，再由結(jié)論1可得-（n+1）=-n+2n. 湊成 -（n+1）-n（n+1）=-n-（n-1）n，可得數(shù)列

說明：Sn與an一般均有兩種求解方向，以上兩個例題的兩種解法均有異曲同工之美，湊成常數(shù)列的“形式”過關，才能把握住實質(zhì)上的遞推！

遞推關系的數(shù)列是高考、自主招生、數(shù)學競賽的?？贾R點，也是高中數(shù)學的主干知識. 常數(shù)列是等差數(shù)列、等比數(shù)列的“融合體”，除了解決常規(guī)轉(zhuǎn)化等比、等差關系的數(shù)列遞推，還能解決不能用等差、等比關系解決的一些特殊遞推數(shù)列. 因此，在變形要求上更加苛刻！在加深“遞推”的含義上，要有更深的理解. 在“無形”中尋求“有形”，是處理數(shù)學遞推公式“化生為熟”、把未知轉(zhuǎn)化為已知的基本技能.