行列式搭橋，妙解高考“解幾”題

付春偉

摘 要：行列式具有簡潔、對稱、優(yōu)美的特點，在高等數學中占據重要的位置，隨著新課改的不斷推進，行列式的基本知識已在高中選修教材中不斷滲透. 本文就行列式解決直線方程、三角形面積、向量共線、三點共線等方面的問題做粗淺的分析，以起到拋磚引玉的作用.

關鍵詞：行列式；解析幾何；直線方程；三角形面積；共線

行列式是代數學中線性代數的重要分支，是解決線性方程組的解的重要工具. 在普通高中人教A版選修4-2教材中，就分別介紹了二階行列式和三階行列式在解決二元一次方程組和三元一次方程組的解的簡單應用，彰顯了行列式在代數運算中的簡潔與優(yōu)美. 本文從另一個視覺就二階行列式、三階行列式在高考解析幾何中的應用例談如下，供參考.

[?] 利用行列式求解三點共線問題

根據三角形面積的行列式表示，我們不難發(fā)現，當三點在一條直線上（即三點共線）時，這三點組成的三角形的面積為零，由此得到三點共線的充要條件.

定理4：已知平面上的三點分別為A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），則三點共線的充要條件是：x1 y1 1

x2 y2 1

x3 y3 1=0.

例6 （2012年北京卷理科第19題）已知曲線C：（5-m）x2+（m-2）y2=8（m∈R）.

（1）若曲線C是焦點在x軸上的橢圓，求m的取值范圍；

（2）設m=4，曲線C與y軸的交點為A，B（點A位于點B的上方），直線y=kx+4與曲線C交于不同的兩點M，N，直線y=1與直線BM交于點G，求證：A，G，N三點共線.

分析：本題作為解析幾何的壓軸題，第（1）問主要考查曲線與方程的關系，屬于基礎送分題. 第（2）問著重考查圓錐曲線中坐標關系的轉化能力，屬于樸實無華中彰顯數學永恒魅力的好題. 如果采用常規(guī)辦法通過定量運算對三點共線作定性分析，需要考生具備較強的運算能力，但利用行列式進行求解則可以簡化運算步驟，提高做題質量.

解：（1）略.

（2）因為m=4，所以曲線C的方程為x2+2y2=8. 又因為直線y=kx+4與曲線C交于不同的兩點M（xM，yM），N（xN，yN），所以聯立直線與橢圓方程消去y整理得：（1+2k2）x2+16kx+24=0. 根據韋達定理知：xM xN=，所以xN=. 又因為M（xM，kxM+4），G（xG，1），B（0，-2）三點共線，所以xM 評注：行列式在解決三角形面積、直線方程、向量共線、三點共線方面具有獨特的優(yōu)勢，值得探究.

總之，隨著科技的迅猛發(fā)展和數學化的趨勢，行列式在解析幾何中的應用必將越來越受到人們的廣泛關注和重視. 系統(tǒng)地研究行列式在解析幾何中的應用，對于激發(fā)學生的求知欲望，培養(yǎng)學生的學習興趣，鞏固學生的基礎知識，鍛煉和提高學生的創(chuàng)新能力無疑是非常有益的，也是必要的.