幾何動畫及其應用

毛海媚

摘 要：《幾何畫板》作為一個常用的制圖軟件，對數(shù)學教師來說是“取之不盡，用之不竭”的教學工具，本文簡單地闡述一下幾何畫板在教學過程中的應用.

關鍵詞：幾何圖形；幾何動畫；多媒體應用；類比思想

隨著多媒體設備在中小學教學中的漸漸普及，數(shù)學課亦變得多姿多彩了. 它不單單拘泥于黑板白字，通過一些多媒體技術，一些以前難以用黑板表現(xiàn)出來的數(shù)學的美，現(xiàn)在可以輕而易舉地在學生面前活靈活現(xiàn)地表現(xiàn)出來了. 什么是《幾何畫板》，什么是幾何動畫呢？《幾何畫板》是作出靜止的幾何圖形和活動的幾何圖形的重要工具，而其中活動的圖形就是幾何動畫. 《幾何畫板》作為一個中學教師常用的制圖軟件，對數(shù)學教師來說是“取之不盡，用之不竭”的教學工具，它可以把高度抽象的數(shù)學知識直觀顯示出來，有助于學生理解概念的本質屬性，促進學生“構建”數(shù)學概念和數(shù)學知識，幫助學生理解數(shù)學概念和性質，解決數(shù)學問題，探索數(shù)學知識，深刻揭示數(shù)學思想方法，它有利于培養(yǎng)學生數(shù)學空間想象力，激發(fā)學生數(shù)學探索創(chuàng)新精神，提高他們的學習動機和興趣. 下面就簡單地來闡述一下幾何畫板在教學過程中的應用.

[?] 利用幾何畫板進行引入

例1 弦切角的引入

在引入弦切角的時候，我們可以利用幾何畫板，通過觀察線和點的運動，從而得出弦切角的定義.

在普通高中課程標準實驗教科書選修4-1第32頁，是這樣引入的：以點D為中心旋轉的直線DE，同時保證直線BC和DE的交點同時落在圓周上，當DE變?yōu)閳A的切線時（如圖2），我們能發(fā)現(xiàn)∠EDB=∠A. 在圖1中，根據(jù)圓內接四邊形的性質有∠ECB=∠A. 在圖2中，∠ECB=∠A依舊成立.

用這種方法引入弦切角定理，既有利于從圓內接四邊形通過運動，使“圓內接四邊形的外角等于內對角”性質過渡到“弦切角等于它所夾弧所對的圓周角”，又有利于理解它的性質意義和判定方法.

這個運動過程教師很難用黑板展示出來，但利用幾何畫板就很容易了. 我們利用幾何畫板的圓工具先作出一個圓（見圖1），然后再利用線段工具作出四邊形的三邊，并且使線段端點都在圓上，分別用文本工具將這些點標記為A，B，C，D；接著長按線段直線工具選中射線工具，以D點為端點，作出射線DE.根據(jù)圓內接四邊形的性質有∠ECB=∠A；最后我們將射線DE繞A點逆時針旋轉，當C，D重合的時候，得到圖2的圖形. 此時，∠ECB=∠A依舊成立，同時DE與圓相切，則∠ECB為圓的弦切角，這樣就很自然地引出了弦切角定理，學生也能更加自然地接收這個新知識.

[?] 利用幾何畫板證明

例2 （2012浙江義烏）在銳角三角形ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，將△ABC繞點B按逆時針方向旋轉，得到△A′B′C′.

（1）如圖3，當點C′在線段CA的延長線上時，求∠CC′A′的度數(shù)；

（2） 如圖4，連結AA′，CC′，若△ABA′的面積為4，求△CBC′的面積；

（3） 如圖5，點E為線段AB的中點，點P是線段AC上的動點，在△ABC繞點B按逆時針方向旋轉的過程中，點P的對應點是P′，求線段EP′的最大值和最小值.

對于問題1和問題2，學生都能夠比較輕松地利用我們學過的知識來解答，但是問題3比較有難度，因為點P的運動涉及兩點，一是P點在線段AC上作直線運動，另外P點還繞B點做圓周運動，這種時候學生很難把握住動與靜之間的關系，缺乏對點P運動過程的準確剖析，從而思索許久也沒有頭緒.

解答這道題目的關鍵是如何讓學生理解這個運動過程，但往往傳統(tǒng)的黑板教學很難將這個過程淋漓盡致地展現(xiàn)在學生面前，而且對教師作圖有較高要求，往往花費很大的氣力，效果也不佳. 利用幾何畫板就可以輕松地將這個過程展現(xiàn)在學生面前，而且能達到較好的教學效果.

我們再回頭看看第3問，在這種情況下，我們可以“以退為進”，利用幾何畫板，首先利用線工具作出△ABC，在線段AC上作出P，并作出AB中點E，先使P固定在AC上的一個位置，連結BP，這里我們考慮到其對應點P′應在以B為圓心，BP為半徑的圓上，所以我們利用圓工具，以B為圓心，BP為半徑作圓，此時☉B(tài)的大小因P點位置的變化而變化. 再在圓上作出P′，使其可以在☉B(tài)上運動，連結P′B，P′E就得到圖6，我們直觀猜想：當B，E，P′三點共線，且P′與E在點B同側時，EP′最短；當B，E，P′三點共線時，且P′與E在點B異側時，EP′最長. 當點P′在非上述位置時，由三角形的三邊關系可得

≤EP′≤BP′+BE，所以當點P在AC上某一固定位置時，EP′的最小值為BP′-2，最大值為BP′+2. 又BP′=BP，所以當點P在AC上運動時，EP′的最小值為BP-2，最大值為BP+2，而≤BP≤5，所以EP′的最小值為-2，最大值為7.

因此，教師在講解這道題的時候，可以借助幾何畫板使P點和P′點運動起來，這時對學生來說比較抽象的運動就變得生動形象起來，便能很好地理解，教師敘述上的問題和學生理解上的問題便能迎刃而解.

[?] 利用幾何畫板研究

例3 已知△ABC，AB=a，AC=b，分別以AB，BC，AC為邊作正方形ABMN，BCDE，ACFG，連結ND，EF，MG.

（1）試證明不管∠BAC為何值，S△AMG=S△CEF=S△BDN；

（2）∠BAC為何值時，S六邊形DEFGMN有最大值和最小值.

分析：可以設BC=c，對于題（1），我們可以提出問題串：①如何求三角形面積，用到什么公式？②對于這個公式，需要知道一些什么條件來求？③如何構建橋梁，將三個三角形面積聯(lián)系起來？④最后怎么將全部的點貫穿起來，證明結論.

對于這個圖形，我們可以以點A為圓心，利用幾何畫板，作兩個分別以a，b為半徑的同心圓，分別在兩個圓上選取兩點，記為B，C，這樣我們就作出了符合題目條件的三角形，且無論B，C處于什么位置，AB，AC的長度總為一固定值.

（1）我們先考慮到三角形面積公式，有S=，還有S=，等等，這里觀察題目給出的條件，應該選擇第二個. 利用題目的已知條件，我們發(fā)現(xiàn)S△AMG=AM·AGsin∠MAG=absin·（π-∠BAC）=absin∠BAC=S△ABC，同理可得S△BDN=S△ABC，S△CEF=S△ABC，則有S△ABC=S△CEF=S△AMG=S△BDN，則第一題得證.

（2）第二題我們可以將六邊形面積看成多個圖形的組合，結合題1得到的結論，我們就有

S六邊形DEFGMN=S△ABC+S△AMG+S△CEF+S△BDN+S四邊形ABMN+S四邊形ACFG+S四邊形BCED=4S△ABC+S四邊形ABMN+S四邊形ACFG+S四邊形BCDE=4×ab·sin∠BAC+a2+b2+c2=2absin·∠BAC+a2+b2+c2.

又由余弦定理得c2=a2+b2-2ab·cos∠BAC，則S六邊形DEFGMN=2absin∠BAC+a2+b2+a2+b2-2abcos∠BAC=2a2+2b2+2ab·（sin∠BAC-cos∠BAC）=2a2+2b2+2·ab

sin∠BAC-·cos∠BAC

=2a2+2b2+2absin

∠BAC-

.

由已知條件可得，∠BAC∈[0，π]，所以∠BAC=時，S=2a2+2b2+2·ab為最大值；∠BAC=0時，S=a2+b2-2ab為最小值.

這是我們常規(guī)的解題思路，但是對于題（1）和題（2），我們可以利用幾何畫板將∠BAC的變化過程展示出來，更有助于學生理解. 特別是第2題，我們可以先猜后證. 利用幾何畫板的度量工具，將六邊形DEGFMN的面積度量出來；然后拖動點A或點B，使其在圓周上運動，來改變∠BAC的度數(shù). 學生通過這個幾何動畫，可以直觀地觀察到，當∠BAC 為時，此時六邊形DEGFMN的面積最大；當∠BAC為0時，此時六邊形DEGFMN的面積最小. 教師在此處利用幾何畫板，運用先猜后證的方法，便能為這道題的講解錦上添花.

[?] 幾何畫板的應用

學習圓錐曲線這部分知識的時候，學生往往非常煩惱，總是有很多學生容易混淆三個曲線的性質，張冠李戴. 教師要怎么做才能讓學生印象深刻，將這些曲線的性質牢牢地記住，理解透徹，并且不忘記呢？一般教師在引入橢圓曲線的時候只是簡單地介紹一下“橢圓曲線上點的性質是到兩焦點的距離之和是常數(shù)，然后我們可以用這種方法作出橢圓曲線”，接下來就開始了枯燥的性質講解，這種知識接收方式往往是學生不喜歡的一種. 我們今天就從如何作出橢圓曲線著手，在作出橢圓曲線的同時，將橢圓的性質自然地引出來，讓學生在無形中便記住了橢圓的性質. 下面以橢圓曲線為例，用一道題目引入橢圓.

例4 如圖8，☉O的半徑為定長r，A是圓外一點，P是圓上任意一點，線段AP的垂直平分線L和直線OP相交于Q，當點P在圓上運動時，點Q的軌跡是什么？為什么？（高中新課標選修2-1 第62頁）

我們利用幾何畫板，可以作出Q點軌跡.首先，利用圓工具作出☉O，再在圓內任取一點A，在圓周上任取一點P，連結PA，PO，過PA中點M作PA的垂線，交PO于點Q，此時我們追蹤點Q，生成P的動畫，我們會發(fā)現(xiàn)得到一條橢圓曲線.如圖8所示，用這樣的方法作出的橢圓曲線，會迅速吸引學生的注意力，激發(fā)學生的好奇心. 學生不禁要問，為什么這樣子就可以得到橢圓曲線呢？從而充分調動學生的積極性，為接下來的橢圓的后續(xù)學習打下良好的心理基礎.

那接下來教師便可以解釋為什么用這種方法可以得到橢圓曲線. 連結AQ，AO，得到圖9，稍微觀察一下便知道因為MQ是PA的中垂線，所以QA=QP，則有QA+QO=PQ+OP=r. 因此我們可以得出，利用幾何畫板作出的這個橢圓應該是以O，F(xiàn)為焦點，且橢圓上點到兩焦點的距離和是一個常數(shù)，對于這個曲線，就等于☉O的半徑r. 利用這種方法，可以讓學生深刻地記住“橢圓上點到兩焦點的距離為定值”這一性質，同時激發(fā)學生興趣，提升數(shù)學的趣味性，一舉兩得.

上面幾個例題只是很小一部分利用幾何動畫的例子，在中學數(shù)學教學上我們都可以使用幾何動畫來輔助教學. 引入多媒體技術，利用《幾何畫板》，豐富了教學模式，實現(xiàn)了過程教學，可以提高學生學習數(shù)學的興趣，往往能達到事半功倍的教學效果. 當教學法研究進入“山重水復疑無路”的境地，加入幾何動畫，就會出現(xiàn)“柳暗花明又一村”的新局面. 因此，數(shù)學教師要研究幾何動畫，只有二者結合，才能開出燦爛之花，結出豐碩之果.