一個新發(fā)現(xiàn)的組合恒等式

蔡勇全

摘 要：排列組合是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，也是歷年高考考查的熱點(diǎn). 學(xué)生在此類問題上得分率極低，主要是源于學(xué)生對解答排列組合問題的眾多方法及其適用背景未能逐一吃透，習(xí)慣用模型套問題，不會變通. 加強(qiáng)對常見、典型排列組合問題的研究，并試圖提煉出可加以邏輯證明的組合恒等式，有助于學(xué)生理清排列組合的內(nèi)部關(guān)系并進(jìn)一步領(lǐng)會通性通法.

關(guān)鍵詞：排列組合；恒等式；邏輯證明

[?] 問題的提出

高三教學(xué)中，筆者遇到過下面一道測驗題：

為搞好新農(nóng)村建設(shè)，某地政府決定從6臺不同的收割機(jī)和4臺不同的播種機(jī)中選取3臺支援三個貧困山村，要求至少包含1臺播種機(jī)且每個山村必須獲得一臺機(jī)器，則不同的選送方案_______種.

本題看似平淡無奇，從常規(guī)思路得到的結(jié)果應(yīng)是（C-C）×3！=600，但也有這樣一種思路：先確保至少有一臺播種機(jī)被選送，從中剔除重復(fù)的種數(shù)，即為

（CC-CC（3-1）-CC（2-1））×3！=600，式子結(jié)構(gòu)雖較前面復(fù)雜，但規(guī)律性更強(qiáng)，同時也更容易讓學(xué)生理清排列組合的內(nèi)部關(guān)系，后經(jīng)筆者多方例證，得到如下結(jié)論：

從m個不同的A元素及n個不同的B元素中任選p個（p≤m，p≤n）排成一列，若要求B元素必須被選取，那么不同的排法總數(shù)為（CC-CC（i-1））×p！.

把此結(jié)果與用常規(guī)方法得到的結(jié)果（C-C）×p！作對比，易得組合恒等式CC-CC（i-1）=C-C（p≤m，p≤n）. ①

那么上述結(jié)論是否是真命題呢？如果是，（1）式又該如何證明呢？

[?] 問題的解決

經(jīng)過多方例證和反復(fù)研究，筆者發(fā)現(xiàn)上述結(jié)論是一個真命題，并找到了如下一種邏輯證明思路.

首先，筆者介紹如下三個組合恒等式：

iC=nC， ②

C=CC+CC+…+CC=CC，

③

C=CC. ④

②式是大家眾所周知的，容易得證.

③式證明過程如下：原式左邊為m+n個元素中選取p個元素的組合數(shù).現(xiàn)將這m+n個元素分成兩組，第一組為m個元素，第二組為剩下的n個元素. 把取的p個元素，按在第一組取出i（i=0，1，2，…，p）個元素，在第二組取出p-i個元素進(jìn)行分類，每一類的取法數(shù)為CC. 另一方面，在m+n個元素中取p個元素的取法數(shù)又可以寫成C，故③式成立.

此外，③式的證明還可以用比較（x+1）m（x+1）n=（x+1）m+n兩邊的系數(shù)的方法得到，感興趣的讀者可嘗試證明，此處略.

由③式可知C=CC+CC+…+CC+CC，進(jìn)一步可以得到C=CC+CC+…+CC+CC=CC，由此可知④式成立.

現(xiàn)在，我們來證明①式成立.

因為CC-CC（i-1）=nC-iCC+CC=nC-iCC+CC+CC=nC-nCC+CC+CC-CC+CC=nC-nC·C+CC-C=nC-nC+C-C=C-C，所以①式成立.

[?] 教學(xué)啟示

數(shù)學(xué)是一門趣味無窮的學(xué)科，只要我們在平時的學(xué)習(xí)與研究中善于鉆研，勇于探索，敢于突破舊的條條框框，努力培養(yǎng)自己靈活地、深刻地、有條理地思考問題的好習(xí)慣，堅持思維的提煉與升華訓(xùn)練，天長日久，我們一定會步入數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究的更高境界，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究的成果一定會更加豐富. 在本文的解題案例中，我們感受了探究性學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)知識生成的重要途徑，也是解決數(shù)學(xué)問題的重要手段，當(dāng)然這也是新課程教學(xué)的一個明顯特征，因此，我們只有更加重視探究意識和探究能力的培養(yǎng)，我們對數(shù)學(xué)知識的領(lǐng)悟才會更加深入和透徹.