聯(lián)想·探究·推廣·應(yīng)用

苗曉禾

摘 要：通過對基本不等式的探究學習，從中挖掘數(shù)學思想方法，歸納、提煉出一些重要的數(shù)學結(jié)論，使學習更有效，知識掌握更牢固.

關(guān)鍵詞：基本不等式；探究學習；拓展應(yīng)用

基本不等式：

如果a，b∈R，那么a2+b2≥2ab（當且僅當a=b時取“=”號）.

如果a，b∈R，那么≥（當且僅當a=b時取“=”號）.

教學時，不能到此為止. 否則，就失去了它應(yīng)有的價值. 我們可以引導(dǎo)學生進一步探究學習，從問題本身中挖掘數(shù)學思想方法，歸納、提煉出一些重要的數(shù)學結(jié)論，使這個問題成為知識與方法的生長點.

[?] 聯(lián)想·探究

從項數(shù)上對基本不等式進行拓展探究：

結(jié)論1 如果a，b，c∈R，那么a2+b2+c2≥ab+bc+ca（當且僅當a=b=c時取“=”號）.

證明：因為a，b，c∈R，

所以（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2≥0，2（a2+b2+c2）≥2ab+2bc+2ac

即a2+b2+c2≥ab+bc+ca（當且僅當a=b=c時取“=”號）.

從次數(shù)上對基本不等式加以拓展探究：

結(jié)論2 （1）如果a，b，c∈R，那么a3+b3+c3≥3abc（當且僅當a=b時取“=”號）.

（2）如果a，b，c∈R+，那么≥（當且僅當a=b=c時取“=”號）.

證法一：（1）因為a，b，c∈R，

所以a3+b3-（a2b+ab2）=（a-b）（a2-b2）=（a+b）（a-b）2≥0.

即a3+b3≥a2b+ab2. 同理可得，b3+c3≥b2c+c2b，c3+a3≥c2a+a2c，

所以2（a3+b3+c3）≥b（a2+c2）+a（b2+c2）+c（a2+b2）≥6abc，

即a3+b3+c3≥3abc. 當且僅當a=b=c時等號成立.

證法二：a3+b3+c3-3abc=（a+b）3+c3-3a2b-3ab2-3abc

=（a+b+c）[（a+b）2-（a+b）c+c2]-3ab·（a+b+c）

=（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-bc-ac）

=（a+b+c）[（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2]≥0（當且僅當a=b=c時取“=”號）.

（2）可用（1）的結(jié)論加以證明. 還可將結(jié)論2推廣到四項、五項、……，甚至一般情形.

結(jié)論3 如果a，b，c，d∈R+，那么a4+b4+c4+d4≥4abcd（當且僅當a=b=c=d時取“=”號）.

證法一：因為a，b，c，d∈R+，所以a4+b4≥2a2b2，c4+d4≥2c2d2，a2b2+c2d2≥2abcd，

所以a4+b4+c4+d4≥2a2b2+2c2d2≥4abcd（當且僅當a=b=c=d時取“=”號）.

證法二：不妨設(shè)a≥b≥c≥d，a4+b4+c4+d4-（a3b+b3c+c3d+d3a）

=a3（a-b）+b3（b-c）+c3（c-d）-d3（a-d）

=a3（a-b）+b3（b-c）+c3（c-d）-d3[（a-b）+（b-c）+（c-d）]

=（a-b）（a3-d3）+（b-c）（b3-d3）+（c-d）（c3-d3）.

因為a≥b≥c≥d>0，所以a3≥b3≥c3≥d3，

所以a-b≥0，b-c≥0，c-d≥0，且a3-d3≥0，b3-d3≥0，c3-d3≥0.

所以a4+b4+c4+d4≥a3b+b3c+c3d+d3a （當且僅當a=b=c=d時取“=”號）

同理可證a3b+b3c+c3d+d3a≥a2bc+b2cd+c2da+d2ab，

a2bc+b2cd+c2da+d2ab≥4abcd（當且僅當a=b=c=d時取“=”號），

所以a4+b4+c4+d4≥4abcd（當且僅當a=b=c=d時取“=”號）.

結(jié)論4 如果a1，a2，…，an均是正實數(shù)，n∈N*，且n≥2，那么a+a+a+…+a≥na1a2·…·an（當且僅當a1=a2=…=an時取“=”）.

在結(jié)論3的證法二中，證明不等式a4+b4+c4+d4≥a3b+b3c+c3d+d3a時，可將證明思路推廣到一般情形，就得到著名的排序不等式：

結(jié)論5 設(shè)有兩個有序數(shù)組0

a1b1+a2b2+…+anbn≥a1bj1+a2bj2+…+

（同序和） （亂序和）

anbjn≥a1bn+a2bn-1+…+anb1.

（倒序和）

類似地，我們還可得到基本不等式的一般情形.

結(jié)論6 若a1，a2，a3，…，an均為正數(shù)，n∈N*，且n≥2，

則≥（當且僅當a1=a2=…=an時取“=”號）.

結(jié)論7 若a1，a2，a3，…，an均為正數(shù)，n∈N*，且n≥2，

則≤≤，

（a1+a2+…+an）

++…+

≥n2.

以上均是當且僅當a1=a2=…=an時等號成立.

評注 這是基本不等式的一般情形，即n個正數(shù)的幾何平均數(shù)不小于它們的調(diào)和平均數(shù)，不大于它們的算術(shù)平均數(shù).

我們把a2+b2≥2ab的兩邊同加上a2+b2，得

結(jié)論8 如果a，b∈R，那么≥

當Δ=0時，方程（a1x-1）2+（a2x-1）2+…+（anx-1）2=0有等根x0，所以a1x0=a2x0=…=anx0=1，

即當a1=a2=…=an時，等號成立.

由結(jié)論10的證明給我們的啟發(fā)是，可以構(gòu)造不等式（a1x-b1）2+（a2x-b2）2+…+（anx-bn）2≥0，此不等式對任意的實數(shù)x都成立，即不等式（a+a+…+a）x2-2（a1b1+a2b2+…+anbn）x+（b+b+…+b）≥0的解集為實數(shù)集，而a+a+…+a>0. 因此，

Δ=4（a1b1+a2b2+…+anbn）2-4（a+a+…+a）（b+b+…+b）≤0，

即（a1b1+a2b2+…+anbn）2≤（a+a+…+a）（b+b+…+b）. 當且僅當“=”號成立時，有Δ=0，此時方程（a1x-b1）2+（a2x-b2）2+…+（anx-bn）2=0有相等的實數(shù)根x0，所以，x0===…=. 由此，可得如下結(jié)論：

結(jié)論11 若a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn是實數(shù)，則

（a1b1+a2b2+…+anbn）2≤（a+a+…+a）（b+b+…+b）（當且僅當==…=時取“=”號）. （評注：這是著名的柯西不等式.）

[?] 推廣·應(yīng)用

利用以上探究的結(jié)論可以解決很多問題，現(xiàn)舉例說明.