從一例管窺曲線公共點的研究方法

余紹安

摘 要：兩曲線的交點問題轉化為求方程組的公共解問題，進而轉化為一元二次方程根的求解，同時，也可以數(shù)形結合思想為指導，動態(tài)地考察兩曲線的位置關系. 這兩種方法各有優(yōu)劣，本文以一道典型試題為例，對此做了一番探討.

關鍵詞：曲線交點；圓；橢圓；求解策略

通常，我們把兩曲線的交點問題轉化為求方程組的公共解問題，進而轉化為一元二次方程根的求解；這種方法符合我們解題的思維習慣，可是由于上面的第二個轉化極易擴大根的取值范圍，對兩曲線真實交點情況難于準確反映，產(chǎn)生一些難以覺察的錯誤. 如果以數(shù)形結合思想為指導，動態(tài)地考察兩曲線的位置關系，破解問題，獲得答案；這就要求我們合理調整思維視角，嘗試用不同的方法解決問題，培養(yǎng)思維發(fā)散性、靈活性和敏捷性，進而培養(yǎng)創(chuàng)新能力. 現(xiàn)以一例進行上述兩種不同的解題嘗試，來獲得不同的體驗，同時也可以搞清楚如何利用方程來討論兩曲線的位置關系.

[?] 分析討論、解剖錯因

討論：方程f（x）=5x2-18ax+9a2-45=0在x∈R時有解，能否在x∈[-3，3]時有解？

錯因：忽視了隱含條件x∈[-3，3]，y∈[-2，2].

剖析：方程組有解，說明公共解一定滿足兩個方程，即必須x∈[-3，3]，y∈[-2，2].

因此，原命題?f（x）=0在[-3，3]內有根.

正解二：畫圖，結合圖形考察，當動圓圓心M（a，0）落入?yún)^(qū)間[-6，6]內時，兩曲線定有交點.

故a∈[-6，6]. 故選B. （如圖4）

疑惑：當圓M在橢圓內部運動時，是否與橢圓定有交點？

釋疑：因為橢圓短半軸長小于圓M的半徑，所以圓M在橢圓內部運動時，兩曲線一定有交點.

[?] 總結反思、延伸拓展

1. 反思

正解一雖然煩瑣，但綜合了曲線方程以及一元二次方程根的分布等知識. 這些知識是高考重點考查的知識點. 我們不能就題做題，陷于題海；或者因其復雜而輕易地拋棄這種解法，而是充分發(fā)揮該題的綜合和整合作用，梳理知識、拓展知識. 這樣，更容易使學生由知識積累形成其能力遷移，有利于學生數(shù)學思維深刻性、廣闊性、邏輯嚴密性以及數(shù)學探究能力的培養(yǎng). 當該題轉變?yōu)榻獯痤}時，仍不失為一種好的方法. 對選擇題而言，正解二更迅捷、更有效. 同時，正解二體現(xiàn)了數(shù)形結合思想對解決問題的指導作用，對學生數(shù)學思維靈活性、敏捷性以及批判性的培養(yǎng)有著重要意義.

2. 拓展

（1）若圓（x-a）2+y2=4與橢圓+=1有公共點，則實數(shù)a的取值范圍是多少？若無公共點，則實數(shù)a的取值范圍是多少？請在各種情況下，討論兩條曲線的位置關系.