橢圓“頂點(diǎn)三角形”的一個(gè)美妙幾何性質(zhì)及簡(jiǎn)證

摘 要：在橢圓中常遇見以焦點(diǎn)構(gòu)成的焦點(diǎn)三角形問題，其有一些簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)；而近年高考試題中也出現(xiàn)了在橢圓上探究定點(diǎn)問題，筆者在一次模擬試題中，發(fā)現(xiàn)以橢圓頂點(diǎn)為背景的三角形上一個(gè)巧妙幾何性質(zhì)，通過簡(jiǎn)單論證并意外發(fā)現(xiàn)了一個(gè)推論，正是高考中研究的定點(diǎn)問題，希望對(duì)教學(xué)有所啟示.

關(guān)鍵詞：橢圓；頂點(diǎn)三角形；幾何性質(zhì)

定義 橢圓長(zhǎng)軸的兩個(gè)頂點(diǎn)和橢圓上其他任一點(diǎn)所成的三角形稱為“頂點(diǎn)三角形”.

如圖1，△ASB（其中A和B是橢圓長(zhǎng)軸的頂點(diǎn)，點(diǎn)S是橢圓上異于A，B任一點(diǎn)），即為頂點(diǎn)三角形.

定理 橢圓頂點(diǎn)三角形兩邊（長(zhǎng)軸外）延長(zhǎng)線交于同一準(zhǔn)線與不同的兩點(diǎn)，這兩點(diǎn)與頂點(diǎn)三角形長(zhǎng)軸上兩頂點(diǎn)連線交于一點(diǎn)且交點(diǎn)在同一橢圓上.

證明：如圖2，橢圓+=1（a>b>0），頂點(diǎn)A（-a，0），B（a，0）. 點(diǎn)S（x0，y0）是橢圓上不同于A，B的任意一點(diǎn)，即+=1. 在△ASB中，延長(zhǎng)AS，SB交橢圓右準(zhǔn)線l：x=于點(diǎn)P和Q；

因?yàn)橹本€AS方程為：y=（x+a），

直線SB方程為：y=（x-a）；

連結(jié)PB，AQ并延長(zhǎng)交于一點(diǎn)，設(shè)為T（xt，yt），則直線PB方程為：y=（x-a） ①，直線AQ方程為：y=（x+a） ②，

由于直線交點(diǎn)為T（xt，yt），即同時(shí)符合①②兩式，①×②得：

yt=（xt+a）（xt-a），

化簡(jiǎn)得： y=（x-a2）. （*）

因?yàn)閥=b2-x=（a2-x）代入（*）式，即y=-（x-a2）（**）

整理得：a2y+b2x=a2b2，即+=1；

所以點(diǎn)T（xt，yt）在同一橢圓+=1（a>b>0）上，結(jié)論得證.

推論 橢圓頂點(diǎn)三角形兩邊（非長(zhǎng)軸）延長(zhǎng)線交同一準(zhǔn)線于兩點(diǎn)，這兩點(diǎn)與頂點(diǎn)三角形長(zhǎng)軸端點(diǎn)相連所得直線交于一點(diǎn)，交點(diǎn)與頂點(diǎn)三角形上異于長(zhǎng)軸的頂點(diǎn)所在直線必過橢圓焦點(diǎn).

[圖3][A][B][P′][T][Q][S][T′][Q′][P][S′]

說明：如圖3，△ASB，△AS′B均是橢圓上的頂點(diǎn)三角形，延長(zhǎng)AS，SB交準(zhǔn)線于點(diǎn)P，Q，再連接PB，AQ，兩直線交于T點(diǎn)，由上述定理知點(diǎn)在橢圓上，則TS與x軸交于點(diǎn)F，即為橢圓焦點(diǎn).

推論證明類似定點(diǎn)問題，讀者可自己嘗試證明，這里不再闡釋.