例談?dòng)煤瘮?shù)思想指導(dǎo)數(shù)列不等式的證明

張書福

摘 要：數(shù)列不等式的證明是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)，在高考中常為壓軸題. 用函數(shù)思想指導(dǎo)數(shù)列不等式證明的分析，是解決此類問(wèn)題的一種通法，若善于觀察捕捉問(wèn)題中變量之間的相互依賴關(guān)系，構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，則問(wèn)題便可用函數(shù)的圖象、性質(zhì)等，通過(guò)研究其單調(diào)性、最值等加以解決.

關(guān)鍵詞：數(shù)列；不等式；函數(shù)思想

數(shù)列不等式的證明問(wèn)題近年來(lái)一直是高考的熱點(diǎn)，這類問(wèn)題往往能夠融合數(shù)列、不等式、函數(shù)、解幾等多個(gè)模塊的知識(shí)，問(wèn)題的解決更是要涉及多種數(shù)學(xué)能力，因而多被用于高考?jí)狠S題. 對(duì)于難度較大的數(shù)列不等式的證明問(wèn)題大多要用到放縮法，但怎樣轉(zhuǎn)化才能有利于放縮、如何把握放縮的度對(duì)于高中學(xué)生來(lái)說(shuō)則是十分困難的，面對(duì)問(wèn)題學(xué)生普遍感覺(jué)找不到的切入點(diǎn).由于數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，因而可以應(yīng)用函數(shù)的思想方法來(lái)分析證明數(shù)列不等式，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，或求函數(shù)的最值問(wèn)題. 本文試以2011年高考廣東卷理數(shù)第20題為例，用函數(shù)思想指導(dǎo)問(wèn)題分析，突破分析的瓶頸，尋找問(wèn)題解決的有效途徑，為這類問(wèn)題的解決開創(chuàng)一個(gè)新視點(diǎn).

題目：設(shè)b>0，數(shù)列{an}滿足a1=b，an=（n≥2）.

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（2）證明：對(duì)于一切正整數(shù)n，an≤+1. （2011年高考廣東卷理數(shù)第20題）

第（1）問(wèn)的解決較為容易，其答案為a=，下面用函數(shù)意識(shí)對(duì)第（2）問(wèn)進(jìn)行分析.

[?] 構(gòu)造函數(shù)利用其導(dǎo)數(shù)探究證明

設(shè)法構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，將不等式的證明問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)值大小比較問(wèn)題. 本題中含有兩個(gè)字母，不等式的成立性與兩個(gè)都有關(guān)，可選取一個(gè)作為變量，另一作為參數(shù). 下面選擇正整數(shù)n作為變量進(jìn)行探究，為了求導(dǎo)的需要，用x表示n，并讓x≥1.

因此當(dāng)p>1時(shí)，對(duì)一切正整數(shù)n，f（n）=p2n+1+（1-p）（1+2n）pn-1>0，變形得≤（pn+1+1），故有當(dāng)p>1時(shí)，不等式（?）成立. 當(dāng)0

評(píng)析：構(gòu)建函數(shù)為證明數(shù)列不等式另辟了蹊徑，在迷霧中看到曙光，導(dǎo)數(shù)在其證明中發(fā)揮了重要作用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是一種重要的數(shù)學(xué)方法. 但必須有扎實(shí)的運(yùn)算功底和較強(qiáng)的分析推理能力.

[?] 以參數(shù)為變量構(gòu)造函數(shù)分析證明

前面證明雖然具有一般性，但過(guò)程冗長(zhǎng)，運(yùn)算量大，在心理緊張的情況下易出錯(cuò). 仔細(xì)分析由于選擇了正整數(shù)n作為變量，使得問(wèn)題中出現(xiàn)了指數(shù)型函數(shù)，求導(dǎo)過(guò)程變得復(fù)雜，致使式子麻煩難以處理，下面以另一個(gè)參量b作為函數(shù)的變量來(lái)構(gòu)建函數(shù)進(jìn)行研究.

評(píng)析：在上面的證明中所構(gòu)建的函數(shù)為多項(xiàng)式函數(shù)，宜于求導(dǎo)運(yùn)算，運(yùn)算推理能力的要求大為降低，證明過(guò)程大為簡(jiǎn)化.可見函數(shù)模型的合理構(gòu)建非常關(guān)鍵.

[?] 研究函數(shù)的單調(diào)性完成證明

從數(shù)列不等式出發(fā)構(gòu)造離散函數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，如具有單調(diào)性則證明變?yōu)槭醉?xiàng)成立的驗(yàn)證問(wèn)題，過(guò)程會(huì)非常簡(jiǎn)潔，這也是數(shù)列不等式證明中常用的方法.

證明：當(dāng)b=2時(shí)，an=2，+1=2，成立.

當(dāng)b>0且b≠2時(shí)，n∈N*，即證an=≤+1，

令b=2p，則p>0且p≠1，等價(jià)于證明-2n≥0.（??）

令f（n）=-2n（n∈N*），則f（n+1）-f（n）=-2（n+1）-+2n=-2>2-2=0.

所以f（n）是關(guān)于n的遞增函數(shù)，又f（1）=-2=-2>0.

對(duì)一切n∈N*，都有f（n）>0，所以不等式（??）成立.

評(píng)析：數(shù)列具有雙重身份，既可以看做函數(shù)，同時(shí)具有自身的特殊研究規(guī)律，對(duì)數(shù)列不等式的觀察基于它是一類特殊的離散函數(shù)的視角去看，則又是一番景象. 上面的證明中利用相鄰兩個(gè)函數(shù)值的差這一研究單調(diào)性的基本方法，使天塹變通途.

[?] 利用函數(shù)的最值巧妙證明

前述證明其實(shí)就是構(gòu)建函數(shù)后采用作差比較法探究函數(shù)的單調(diào)性，與此法相應(yīng)的還有構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)探究其最值來(lái)實(shí)現(xiàn)證明. 也就是將其一端化為常數(shù)，利用另一端的表達(dá)式構(gòu)造函數(shù)，問(wèn)題當(dāng)然就轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題.

證明：由1知，問(wèn)題的關(guān)鍵即證≤（pn+1+1）（p>0，p≠1）（?）

亦即證≤1，令f（n）=（p>0，p≠1）.

因?yàn)閒（n）=（p>0，p≠1），

所以=

=1+

=1-<1，所以f（n+1）

因此對(duì)一切正整數(shù)n，都有f（n）≤f（1）=≤1. 故（?）成立，不等式得證.

評(píng)析：這種證法的思路是簡(jiǎn)單樸素的，但要有敏銳的觀察能力發(fā)現(xiàn)所研究式子的結(jié)構(gòu)特征，利用不等式左邊為積和商的關(guān)系，然后將所證不等式等價(jià)化為右邊為常數(shù)，進(jìn)而通過(guò)構(gòu)造函數(shù)求函數(shù)的最值來(lái)實(shí)現(xiàn)證明. 這里才能為運(yùn)算把握正確的方向，不至于做無(wú)用功.

從前面的分析論證過(guò)程可以看出，基于函數(shù)思想指導(dǎo)對(duì)問(wèn)題的分析，貫穿了函數(shù)思想的應(yīng)用，避免了過(guò)高的數(shù)學(xué)技巧，使證明思路自然地形成. 從閱卷情況的反饋來(lái)看，卷面上看出現(xiàn)了大量的空白卷，有作答的學(xué)生也思路不十分清晰，不能找到解決問(wèn)題的有效途徑. 若能養(yǎng)成用函數(shù)思想指導(dǎo)分析證明數(shù)列不等式的習(xí)慣，則使這種令人尷尬的局面會(huì)有所改變.

函數(shù)的概念是高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，函數(shù)思想貫穿于高中數(shù)學(xué)教學(xué)的全過(guò)程，用函數(shù)思想指導(dǎo)問(wèn)題分析是高中學(xué)生應(yīng)具有基本數(shù)學(xué)能力. 數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，用函數(shù)思想指導(dǎo)數(shù)列問(wèn)題的分析，是一種解決數(shù)列問(wèn)題的通法，若善于觀察捕捉問(wèn)題中變量之間的相互依賴關(guān)系，構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，則問(wèn)題便可用函數(shù)的圖象、性質(zhì)等，研究其單調(diào)性、最值等加以解決.