簡述非線性遞歸數(shù)列化歸的常用策略

●沈寶偉 (諸暨中學 浙江諸暨 311800)

求遞推數(shù)列的通項是數(shù)學競賽和高考數(shù)列題最為常見的考查內容之一，通常可以將它化歸為線性遞歸數(shù)列求解.本文就一些典型的非線性遞歸數(shù)列問題的化歸進行剖析，介紹幾種常用的策略，以期拋磚引玉.

1 因式分解

分析該遞歸數(shù)列是非線性齊次遞歸數(shù)列，不能直接用特征根方法.注意到遞歸式是齊二次式，考慮通過因式分解將其化為一次齊次式.

解因為

其特征根方程為x2+2x-3=0，解得

2 配方法

分析該遞歸數(shù)列是非線性遞歸數(shù)列，注意到等式2邊根式的次數(shù)關系，可考慮用配方法求解.

解配方得

3 待定系數(shù)法

(1993年全國高中數(shù)學聯(lián)賽試題)

解將原式變形為

“好”的統(tǒng)計與概率的案例能促進理論和實踐的結合，同時案例的開發(fā)和收集能為教師提供教學參考和借鑒.從現(xiàn)有文獻看，教學案例有31篇，都以現(xiàn)實情境為背景，并設計統(tǒng)計實踐活動，但是重復性研究較多.其中，有5篇運用信息技術教學的案例，動態(tài)地展現(xiàn)了數(shù)據(jù)處理過程，但是模擬實驗較少.可見，統(tǒng)計與概率案例的有效性在實踐中得到充分體現(xiàn)需要一個漫長的積累和檢驗過程.

說明 形如“an+k=A1an+k-1+A2an+k-2+…+Akan+p(Ai，p都是常數(shù))”的遞歸數(shù)列常常采用待定系數(shù)法，構造形如“{an+u}”的齊次線性遞歸數(shù)列求解.

例4 已知在數(shù)列{an}中，a1=a2=1，an+2=3an+1+18an+2n，求 an.

分析該遞歸數(shù)列是非線性遞歸數(shù)列，注意到等式右邊是含有關于n的指數(shù)函數(shù)，考慮在等式的2邊待定關于n的指數(shù)函數(shù)，將其化歸為線性遞歸形式.

說明 形如“an+k=A1an+k-1+A2an+k-2+…+Akan+mn(Ai，m都是常數(shù))”的遞歸數(shù)列常常采用待定系數(shù)法，構造形如“{an+umn}”的齊次線性遞歸數(shù)列求解.

4 換元法

分析該遞歸數(shù)列是非線性遞歸數(shù)列，注意到等式右邊含有根號，不方便處理，想到可利用變量換元.

5 取對數(shù)法

分析該遞歸數(shù)列是非線性的分式型且分母比分子復雜，可先平方取倒數(shù)，再因式分解、換元，然后取對數(shù)化歸為齊次線性遞歸數(shù)列.

解原式平方后取倒數(shù)得

6 遞推作差

分析該遞歸數(shù)列是非齊次非線性的數(shù)列，考慮將其轉化為齊次線性遞歸數(shù)列.首先要消去常數(shù)，可遞推作差消去常數(shù)使其化成齊次式，再通過換元使其線性化.

例8 已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a0=1，b0=1，且

證明：an是完全平方數(shù).

(2000年全國高中數(shù)學聯(lián)賽試題)

分析這是一個二元非齊次線性遞歸數(shù)列，可先將二元降為一元，再遞推作差將非齊次線性遞歸數(shù)列化為齊次線性遞歸數(shù)列.

證明由式(1)得

用n+1代換式(3)中的n，得

式(4)-式(3)，得

由特征根方程x3-15x2+15x-1=0以及a0=1，a1=4，a2=49，可解得

因此an是完全平方數(shù).

說明 形如“an+k=A1an+k-1+A2an+k-2+…+Akan+p(Ai，p都是常數(shù))”的遞歸數(shù)列常常采用遞歸作差法求解.

7 不動點法

(2005年希望杯數(shù)學競賽培訓題)

［1］ 雷波.用不動點法解函數(shù)、數(shù)列等相關問題［J］.中等數(shù)學，2008(10)：12-14.

［2］ 唐立華.長沙一中奧賽標準講義［M］.北京：龍門書局出版社，2004.