用分離參數(shù)法求取值范圍

● (任丘市第一中學(xué) 河北任丘 062550)

求參數(shù)的取值范圍問(wèn)題是中學(xué)數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，也是一個(gè)難點(diǎn).學(xué)生在解答此類問(wèn)題時(shí)往往會(huì)因分類不恰當(dāng)或討論不全面而出現(xiàn)錯(cuò)誤.為迅速、準(zhǔn)確地處理一類求參數(shù)取值范圍問(wèn)題，給出一種方法——分離參數(shù)法.

下面舉例說(shuō)明如何用分離參數(shù)法求取值范圍.

1 分離參數(shù)，利用三角函數(shù)的有界性求取值范圍

解已知方程整理得

因此原方程有2個(gè)實(shí)根等價(jià)于

即

于是

-1

故實(shí)數(shù)m的取值范圍為(-1,2].

2 分離參數(shù)，用代數(shù)式的性質(zhì)求取值范圍

例2不等式ax2+a|x|+a-1<0對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解由ax2+a|x|+a-1<0,得

因?yàn)?/p>

得

所以

故a≤0，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-∞,0].

3 分離參數(shù)，用均值不等式求取值范圍

例3已知函數(shù)f(x)=lg(ax+a-x-m)(a>0,且a≠1)的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集R，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

4 分離參數(shù)，用常見(jiàn)函數(shù)的單調(diào)性求范圍

解先分離參數(shù)k，得

由x∈(0,3]，得

同理，分離m得

因此

f(3)≤f(x)

即

于是

5 分離參數(shù)，用換元法求取值范圍

例5若方程x2-2ax-a+2=0有正根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析方程有正根包含3種情形：兩根均為正，一正一零，一正一負(fù).若直接按根的分布討論,則比較復(fù)雜.可先分離參數(shù)，再結(jié)合換元法求解,則簡(jiǎn)潔得多.

分離參數(shù)a，得

設(shè)t=2x+1(t>1)，則

因此

解先分離a.由題意得

因此

因此

a<3.

6 分離參數(shù)，用導(dǎo)數(shù)工具求取值范圍

例7若lnx-(k+1)x<0在(0,+∞)上恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

解分離k得

(k+1)x>lnx，

即

解方程f′(x)=0,得x=1.又當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f′(x)>0；當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)，f′(x)<0.于是

f(x)max=f(1)=0，

解得

k+1>0,

即k>-1,故實(shí)數(shù)k的取值范圍為(-1,+∞).

由以上幾例可以看出，在一個(gè)方程、函數(shù)或不等式中，若涉及到求參數(shù)取值范圍的問(wèn)題，則可先考慮能否將它作適當(dāng)變形，將所求參數(shù)分離出來(lái)，通過(guò)考察函數(shù)單調(diào)性、有界性，不等式性質(zhì)，或結(jié)合換元法、導(dǎo)數(shù)等轉(zhuǎn)化成求含該參數(shù)一端值域或最值的問(wèn)題，這就是分離參數(shù)法.這種方法集化歸與轉(zhuǎn)化思想、整體與換元思想于一身，可盡量避免對(duì)參數(shù)的討論，在求參數(shù)范圍這個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題中有著獨(dú)特的解題優(yōu)勢(shì).