幾何最值問題新考

● (金陵中學(xué)河西分校 江蘇南京 210019)

在各種版本的數(shù)學(xué)教材中，我們都會看到下面一道經(jīng)典的幾何作圖題：

條件如圖1，A，B是直線l同旁的2個定點．

問題在直線l上確定一點P，使得PA+PB的值最?。?/p>

方法作點A關(guān)于直線l的對稱點A′，連結(jié)A′B交直線l于點P，則PA+PB=A′B的值最?。?/p>

該作圖題的實質(zhì)是已知2個定點，確定1個動點，使動點到2個定點的距離之和最短，它的典型應(yīng)用是解決線段和的最小值問題.縱觀近幾年中考試題中的幾何最值問題，絕大多數(shù)都是這一模型的變式或拓展應(yīng)用，本文探究的是不能用此類模型解決的另類最值問題，供讀者參考．

圖1

圖2

1 雙動點型線段和的最小值

(2009年陜西省數(shù)學(xué)中考試題)

例2定義一種變換：平移拋物線F1得到拋物線F2，使F2經(jīng)過F1的頂點A．設(shè)F2的對稱軸分別交F1,F2于點D，B,點C是點A關(guān)于直線BD的對稱點．

(1)如圖3，若F1：y=x2，經(jīng)過變換后，得到F2：y=x2+bx，點C的坐標(biāo)為(2,0)，則

①b的值等于________；

②四邊形ABCD為

( )

A．平行四邊形 B．矩形

C．菱形 D．正方形

(2)如圖4，若F1：y=ax2+c，經(jīng)過變換后，點B的坐標(biāo)為(2,c-1)，求△ABD的面積.

(2009年浙江省紹興市數(shù)學(xué)中考試題)

圖3

圖4

圖5

圖6

分析(1)-2；D.

(2)S△ABD=2.

(3)①當(dāng)點C在點A的右側(cè)時(如圖6).設(shè)AC與BD交于點N，則

于是

NB=ND=1.

由點A與點C關(guān)于直線BD對稱，得

AC⊥DB,且AN=NC,

于是四邊形ABCD是菱形，點B與點D關(guān)于直線AC對稱，從而PD=PB．作PH⊥AD交AD于點H，則

PD+PH=PB+PH．

評析與常規(guī)求線段和的最小值不同，例1中有2個動點，例2中的第(3)小題涉及到2種距離，其實質(zhì)是作PH⊥AD于點H轉(zhuǎn)化為求“PD+PH”的最小值，點P，H也是2個動點，這類“雙動點型”線段和的最小值問題，可先用軸對稱性找到對稱點，再作垂線段用“垂線段最短”求解．

在運用該系統(tǒng)的過程最后，車輛進場前，需在項目部安全環(huán)保部門辦理臺賬登記手續(xù)（三證齊全），手續(xù)齊全后發(fā)項目部自編號，由設(shè)備物資科進行電子標(biāo)簽的錄入信息工作，錄入完成后裝料，裝料到達自動稱重系統(tǒng)后看指示燈（紅綠燈），當(dāng)綠燈亮?xí)r，車輛行駛到電子標(biāo)簽掃描區(qū)域，掃描成功后道閘打開，車輛進入稱臺中間（此時紅外線已掃描）不用停車方可稱重記錄，記錄成功后語音提示稱重保存成功，顯示屏顯示稱重數(shù)據(jù)，道閘打開車輛通過稱重完畢。

圖7

圖8

2 線段和的最大值問題

例3如圖8，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD是平行四邊形，邊AB在x軸上，且AB=6，D(0，9)，以點C為頂點的拋物線經(jīng)過點A，B，直線l過點C，交y軸于點E(0，12)．

(1)求拋物線的解析式.

(2)若拋物線的頂點C沿直線l向上移動，當(dāng)拋物線經(jīng)過點D時，求拋物線的解析式和點A，C間的拋物線弧掃過的面積.

(3)P是線段BD上的動點，連結(jié)CP，點B，D到直線CP的距離之和是否存在最大值？若存在，請求出其最大值和此時點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

(2009年貴州省銅仁地區(qū)數(shù)學(xué)中考試題)

分析(1)拋物線的解析式為

y=-(x-6)2+9．

即

于是

圖9

圖10

當(dāng)m=4時，如圖10，拋物線的解析式為

y=-(x-6+2×4)2+9+4，

即

y=-(x+2)2+13，

于是

(3)存在．由“點到直線的距離最短”可知，點B，D到直線CP的距離之和小于或等于BP+PD=BD，即當(dāng)直線CP⊥BD時，點B，D到直線CP的距離之和取得最大值，即等于線段BD的長度，如圖11．過點P作PM⊥CD于點M．由

OB=OD=9，∠BOD=90°，

得△BOD是等腰直角三角形，于是

∠ODB=45°，∠BDC=45°，

從而△PCD是等腰直角三角形．又由PM⊥CD，得

于是9-3=6，因而點P的坐標(biāo)為(3，6)．

圖11

圖12

例4如圖12，在平面直角坐標(biāo)系中，開口向上的拋物線與x軸交于點A，B，D為拋物線的頂點，O為坐標(biāo)原點．若OA，OB(OA

(1)求拋物線對應(yīng)的二次函數(shù)解析式；

(2)過點A作AC⊥AD交拋物線于點C，求點C的坐標(biāo)；

(3)在第(2)小題的條件下，過點A任作直線l交線段CD于點P，點C，D到直線l的距離分別為d1,d2，試求d1+d2的最大值．

(2009年四川省樂山市數(shù)學(xué)中考試題)

分析(1)拋物線對應(yīng)的二次函數(shù)解析式為

(2)點C的坐標(biāo)為(5，6).

(3)由第(2)小題知

于是

過點A作AM⊥DC于點M(如圖13).由

得

又由

S△ADC=S△APD+S△APC，

得

從而

評析例4也可用例3的解法求解.因為

d1+d2≤DP+PC=CD，

圖13

圖14

3 線段差的最大值問題

(1)求點A，B的坐標(biāo)；

(2)若點P是x軸上任意一點，求證：

PA-PB≤AB；

(3)當(dāng)PA-PB最大時，求點P的坐標(biāo)．

(2009年廣西賀州市數(shù)學(xué)中考試題)

分析(1)A(-2，3)，B(0，2).

(2)當(dāng)點P是AB的延長線與x軸的交點時，PA-PB=AB．

當(dāng)點P在x軸上又異于AB的延長線與x軸的交點時，在△PAB中，PA-PB

綜上所述,PA-PB≤AB.

(3)作直線AB交x軸于點P.由第(2)小題可知：當(dāng)PA-PB最大時，點P是所求的點.作AH⊥OP于點H.由BO⊥OP，得

△BOP∽△AHP，

于是

由第(1)小題可知

AH=3,OH=2,OB=2，

于是OP=4，故P(4，0).

圖15

(1)求該拋物線的解析式；

(2)動點P在x軸上移動，當(dāng)△PAE是直角三角形時，求點P的坐標(biāo)；

(3)在拋物線的對稱軸上找一點M，使|AM-MC|的值最大，求出點M的坐標(biāo)．

(2009年四川省眉山市數(shù)學(xué)中考試題)

分析(1)該拋物線的解析式為

k=-1，b=1,

于是直線AB的解析式為y=-x+1.由

得

評析例1的第(2)小題通過一個簡單的幾何證明題揭示了解決問題的方法：一般地，線段差的最大值問題可利用“三角形兩邊之差小于第三邊”轉(zhuǎn)化成3個點在同一條直線上時來處理.在“動”轉(zhuǎn)化為“靜”的過程中，對學(xué)生的思維能力提出了較高的要求，對學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合思想以及轉(zhuǎn)化策略的能力進行了有效考查．

新課改實施以來的數(shù)學(xué)中考，最值問題成為十分熱門的題型,在壓軸題中占據(jù)一席之地.試題常以幾何圖形或平面直角坐標(biāo)系為載體，與其他知識綜合，形成背景新穎、創(chuàng)意獨特的一類問題，考查學(xué)生在圖形的運動變化過程中探究幾何的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系的能力，體現(xiàn)新課程對幾何探究、推理能力的要求．