“動(dòng)態(tài)”立體幾何題解法剖析

● (江蘇教育學(xué)院附屬高級(jí)中學(xué) 江蘇南京 210036)

立體幾何是中學(xué)數(shù)學(xué)傳統(tǒng)的主體內(nèi)容之一，也是當(dāng)前高考命題的一個(gè)熱點(diǎn)內(nèi)容.它不僅能考查學(xué)生的空間想象力，還能更好地體現(xiàn)學(xué)生思維的深刻性和靈活度.隨著新課改地不斷深入，立體幾何以柱體和錐體為載體來考查立體幾何中的重要內(nèi)容，譬如線線、線面與面面的位置關(guān)系.“動(dòng)態(tài)”探索性問題是近幾年高考立體幾何命題的新亮點(diǎn)，以此來考查立體幾何問題中的證明和計(jì)算.有時(shí)學(xué)生對(duì)此類問題感到措手不及，因此，教師在教學(xué)中非常有必要對(duì)知識(shí)進(jìn)行活化，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、比較、聯(lián)想等思維過程，把新的立體幾何問題納入到原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，用熟悉的平面幾何知識(shí)、代數(shù)方法等進(jìn)行解答.筆者對(duì)求解立體幾何問題總結(jié)為“八字方針”，即“截、移、割、補(bǔ)、展、折、射、轉(zhuǎn)”，僅供大家參考.

1 “截”

“截”是指在空間圖形中作截面，求截面的面積、截面與指定平面所成的角、截面將多面體分割成幾部分的體積等問題，從而把問題轉(zhuǎn)化為較容易的(或特殊的)問題加以求解.

圖1

圖2

解當(dāng)交線MN在側(cè)面A1B內(nèi)(或與A1B1重合)時(shí)，

當(dāng)MN在底面A1B1C1內(nèi)時(shí)，

因此

點(diǎn)評(píng)截面問題是立體幾何中的常見題型，由于截面的動(dòng)態(tài)性，使截得結(jié)果也具有一定可變性.

2 “移”

“移”是指先將某圖形平移到適當(dāng)位置，使不在同一平面上的元素集中到一個(gè)平面上，再利用平面幾何知識(shí)進(jìn)行研究，實(shí)現(xiàn)立體問題向平面問題的轉(zhuǎn)化.

點(diǎn)評(píng)通過圖形位置的適當(dāng)平移，可以實(shí)現(xiàn)空間圖形向平面圖形的迅速轉(zhuǎn)化，讓學(xué)生真實(shí)地感受到立體幾何動(dòng)感的一面.

3 “割”

“割”是指當(dāng)所呈現(xiàn)的幾何體較復(fù)雜、有關(guān)的計(jì)算公式無法直接運(yùn)用或計(jì)算較繁時(shí)，可以適當(dāng)?shù)胤指顜缀误w，化整為零，從而迅速破解.

例3將半徑為1的4個(gè)鋼球完全裝入形狀為正四面體的容器中，這個(gè)正四面體高的最小值是

( )

(2005年全國(guó)數(shù)學(xué)高考理科試題Ⅱ)

點(diǎn)評(píng)近幾年，高考立體幾何題出現(xiàn)一些求不規(guī)則幾何體的體積問題或利用體積轉(zhuǎn)化來求其他的幾何量.處理這一問題的常用方法是“割補(bǔ)法”，再用體積公式計(jì)算即可，它是化歸思想在立體幾何中的應(yīng)用.

4 “補(bǔ)”

“補(bǔ)”是指根據(jù)解題的需要將幾何題補(bǔ)出適當(dāng)?shù)牟糠?，變到比較熟悉的或者比較簡(jiǎn)單的幾何體中，再進(jìn)行求解.“補(bǔ)形”不但能帶來計(jì)算上的簡(jiǎn)便，有時(shí)甚至是問題得以解決的唯一途徑.

例4如圖3,已知三棱錐P-ABC的3條側(cè)棱PA，PB，PC兩兩垂直，且長(zhǎng)度分別為3，4，5，試求該三棱錐外接球的表面積.

分析將3條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐P-ABC補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，兩兩垂直的3條側(cè)棱就是長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高，則該長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)就是三棱錐P-ABC的外接球的直徑.設(shè)其直徑為2R，則

故

點(diǎn)評(píng)在解題中常遇到3條側(cè)棱相互垂直的三棱錐，通常將它補(bǔ)成長(zhǎng)方體，易于求解.特別地，若三棱錐的3個(gè)側(cè)棱相互垂直且相等，則可將它補(bǔ)成正方體.

圖3

圖4

5 “展”

“展”是指展開空間圖形，它是將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題的常用方法，應(yīng)用此法可以化折為直、化曲為直.一般用于求選擇路徑問題、幾何中的最值問題等.

例5有一根長(zhǎng)3π cm，底面半徑為1 cm的圓柱形鐵管，用一根鐵絲在鐵管上纏繞2圈，并使鐵絲的2個(gè)端點(diǎn)落在同一母線的2個(gè)端點(diǎn)處，則鐵絲的最短長(zhǎng)度是

( )

A.2π B.3π C.4π D.5π

點(diǎn)評(píng)展開圖著重解決的是側(cè)面及最短距離等問題.在折疊與展開的問題中，應(yīng)重視前后圖形的對(duì)比，注意空間圖形的棱、側(cè)棱、母線等分別是平面圖形中的哪些量，從而進(jìn)行相關(guān)幾何量的計(jì)算.

6 “折”

“折”是指將平面圖形折疊成立體圖形.要認(rèn)清平面圖形中各已知條件的相互關(guān)系及其本質(zhì)，平面圖形折疊成立體圖形后，要注意哪些量發(fā)生了變化，哪些量未發(fā)生變化，這些未變化的已知條件都是分析問題和解決問題的依據(jù).

例6如圖5，在邊長(zhǎng)為2的正方形SG1G2G3中，E,F分別是G1G2，G2G3的中點(diǎn)，D是EF的中點(diǎn)，現(xiàn)在沿SE,SF及EF把這個(gè)正方體折疊成一個(gè)四面體，且點(diǎn)G1,G2,G3重合，重合后的點(diǎn)記為G，求四面體G-SEF的體積．

分析若先求出點(diǎn)G到平面SEF的距離，然后利用三棱錐的體積公式求解，則比較麻煩.若注意到三棱錐G-SEF的體積與三棱錐S-GEF的體積相等，即VG-SEF=VS-GEF,則較容易得到解決.

圖5

圖6

由題意知

SG⊥GE,SG⊥GF，且GE∩GF=G，

因此SG⊥面GEF．又由正方形的棱長(zhǎng)為2，易知

于是四面體G-SEF的體積為

點(diǎn)評(píng)把平面圖形翻折成立體圖形的有關(guān)計(jì)算問題，易將翻折前的點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系誤用到翻折后.在解題時(shí),必須抓住在翻折過程中點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，分清變量和不變量，特別要抓住不變量，有時(shí)它就是解題的關(guān)鍵.

7 “射”

“射”是指利用射影(投影)的方法將空間圖形的若干元素集中到同一平面內(nèi)，再利用平面圖形的相關(guān)性質(zhì)求解.

例7正四面體的棱長(zhǎng)為1，棱AB∥平面α，則正四面體上的所有點(diǎn)在平面α內(nèi)的射影構(gòu)成的圖形面積的取值范圍是________.

分析正四面體繞AB旋轉(zhuǎn)，當(dāng)CD∥平面α?xí)r,CD在平面內(nèi)的射影最長(zhǎng)，記為GH，面積也最大，則

點(diǎn)評(píng)“動(dòng)態(tài)”立體幾何問題是高考立體幾何考查的最具有創(chuàng)新意識(shí)的題型，而“射影”是其很好的一個(gè)素材.通過“射影”把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題求解.

8 “轉(zhuǎn)”

“轉(zhuǎn)”是指將某些空間圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形或把某些圖形適當(dāng)?shù)剞D(zhuǎn)換一些角度進(jìn)行求解.

( )

A.直線 B.橢圓

C.雙曲線 D.拋物線

圖7

所以

故在平面ACC1A1內(nèi)，動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)A的距離與到定直線CC1的距離的比是一個(gè)大于1的常數(shù)，點(diǎn)M的軌跡是雙曲線.

點(diǎn)評(píng)動(dòng)點(diǎn)軌跡問題是高考立體幾何“動(dòng)態(tài)”問題最為新穎的一種命題形式，它體現(xiàn)在立體幾何與解析幾何的知識(shí)交匯處命題.對(duì)于此類問題通?？陕?lián)想到解析幾何中有關(guān)軌跡定義(譬如圓、圓錐曲線、角平分線、球等)，把條件作適當(dāng)?shù)剞D(zhuǎn)換，將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面解析幾何中的軌跡問題求解.

立體幾何是培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力的數(shù)學(xué)分支，培養(yǎng)學(xué)生的識(shí)圖、想圖、畫圖的能力；培養(yǎng)學(xué)生文字語言、符號(hào)語言、圖形語言的轉(zhuǎn)化能力等.近幾年新穎的立體幾何問題已成為高考試題新亮點(diǎn).解決此類問題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確地把握立體幾何中的截、移、割、補(bǔ)、展、折、射、轉(zhuǎn)這8種變換策略，從變化的角度分析問題，便可得到解決問題的有效方法.