一道不等式題引發(fā)的思考

● (興化市第一中學(xué) 江蘇興化 225700)

大數(shù)學(xué)家希爾伯特曾深情地稱(chēng)費(fèi)馬大定理是一只“會(huì)下金蛋的母雞”，其意是說(shuō)人們?cè)谘芯抠M(fèi)馬大定理的過(guò)程中，提出并解決了一個(gè)個(gè)有價(jià)值的新問(wèn)題，為我們打開(kāi)了一片片新的知識(shí)天地．只要我們時(shí)時(shí)留意，做個(gè)有心人，就會(huì)發(fā)現(xiàn)初等數(shù)學(xué)中不乏這樣的好問(wèn)題．第32屆美國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克試題中就有這樣一只“會(huì)下金蛋的母雞”，此題為：

分析注意到不等式的左邊是零次齊次式，不妨設(shè)a+b+c=1，這樣不僅可以簡(jiǎn)化式子，而且增加了條件，有助于解決問(wèn)題．

故

命題1得證．

至此，我們似乎可以鳴金收兵，凱旋班師．如果這樣，那么將失去一次發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)寶藏的絕佳機(jī)會(huì)，如“入寶山而空返”．仔細(xì)分析以上解題過(guò)程，可以發(fā)現(xiàn)利用

聯(lián)想與類(lèi)比在很多場(chǎng)合下是獲得新命題的金鑰匙．類(lèi)比命題1的結(jié)構(gòu)，不難猜想如下2個(gè)相似命題：

命題2設(shè)a,b,c是正實(shí)數(shù)，a+b+c=1，求證：

命題3設(shè)a,b,c是正實(shí)數(shù)，求證：

以上2個(gè)命題不等式的左邊都不是零次齊次式，命題1的解題方法仍可借鑒．下面只證命題3．

因此

命題3得證．

命題4在銳角△ABC中，求證：

命題5在△ABC中，求證：

命題6設(shè)a,b,c是正實(shí)數(shù)，求證：

不難獲得命題8.

命題8設(shè)a,b,c是正實(shí)數(shù)，a+b+c=1，求證：

類(lèi)似地還有：

自2006年購(gòu)機(jī)補(bǔ)貼政策實(shí)施以來(lái)，麗江市耕作機(jī)械和稻麥?zhǔn)斋@機(jī)械快速增長(zhǎng)，機(jī)耕作業(yè)和機(jī)收作業(yè)日漸被農(nóng)民所認(rèn)可。受地理、氣候條件和傳統(tǒng)農(nóng)藝要求所限，水稻機(jī)插秧技術(shù)的示范推廣起步較晚，發(fā)展也很緩慢，嚴(yán)重制約了水稻種植的持續(xù)穩(wěn)定發(fā)展。

(2003年西部數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽試題)

這樣我們就找到了命題1和命題10這2個(gè)外形迥異的不等式題之間奇妙的聯(lián)系．也許這就是數(shù)學(xué)讓無(wú)數(shù)人為之癡迷、為之競(jìng)折腰的緣故吧！

猜想是數(shù)學(xué)發(fā)展的動(dòng)力，類(lèi)比是引領(lǐng)我們思維深入的偉大引路人．回到命題1，如果將不等式左邊的數(shù)字2改為其他正數(shù)，譬如3，那么會(huì)有類(lèi)似結(jié)果嗎？

我們無(wú)法肯定命題11是否成立，不過(guò)可以肯定的是以上的證法已無(wú)法奏效．看來(lái)，我們需要提高解題智慧或增加解題力量．筆者幾番冥思，沿著各種思路崎嶇而上，終獲成功．下面給出命題11的推廣及證明．

命題12設(shè)λ,a,b,c是正實(shí)數(shù)，求證：

(1)

事實(shí)上，不等式(1)等價(jià)于

(3x-1)2[2(λ3+3λ2+2λ)x+(λ3+λ2)]≥0,

因此

利用平均不等式或柯西不等式易得如下引理：

借助此引理，還可以獲得很多與上述命題相關(guān)的不等式．譬如由命題1可得：

命題13設(shè)a,b,c是正實(shí)數(shù)，求證：

命題14設(shè)a,b,c是正實(shí)數(shù)，求證：

波利亞說(shuō)過(guò)：“當(dāng)我們成功地解決了一個(gè)好問(wèn)題之后，我們應(yīng)當(dāng)尋找更多的好問(wèn)題．好問(wèn)題同某些蘑菇有些相像，它們都成堆地生長(zhǎng)，找到一個(gè)以后，你應(yīng)當(dāng)在周?chē)艺?，很可能在附近就有好幾個(gè)”.教師要善于拋出一個(gè)蘑菇，引導(dǎo)學(xué)生尋找一群蘑菇，這樣才能最終提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平和創(chuàng)新思維能力，達(dá)到“鷹擊長(zhǎng)空，魚(yú)翔淺底”的境界，實(shí)現(xiàn)由必然王國(guó)向自由王國(guó)的跨越．