構(gòu)造多種模型證明Shapiro不等式

● (鄞州區(qū)古林職業(yè)高級(jí)中學(xué) 浙江寧波 315177)

這個(gè)不等式稱為Shapiro不等式,很多文獻(xiàn)對(duì)此都有所介紹.本文從不同角度思考可以得到不同的證法.

1 構(gòu)造函數(shù)模型

引理1函數(shù)f(x)定義在區(qū)間上,若f′(x)是增函數(shù),則對(duì)于xi∈I(i=1,2,…,n),都有

即

評(píng)析此方法靈活地利用了一元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)所給出的定理,思路通暢、步驟簡便,使有些難度較大的不等式問題變得簡單,也加深了對(duì)函數(shù)思想和函數(shù)方法的理解,為發(fā)現(xiàn)不等式、解決不等式問題開辟了一條途徑.

2 構(gòu)造概率模型

引理2(Cauchy-Schwarz不等式)在概率空間(Ω,F,P)中,設(shè)E(X)表示隨機(jī)變量的X的數(shù)學(xué)期望,對(duì)任意的隨機(jī)變量ζ和η,當(dāng)Eζ2和Eη2存在時(shí),E(ζη)必存在,且|E(ζη)|2≤Eζ2·Eη2,當(dāng)且僅當(dāng)P(η=t0ζ)=1時(shí),等號(hào)成立(t0是某一常數(shù)).

證法2注意到

則所證不等式等價(jià)于

即

則邊際概率分布分別為

又由

|E(ζη)|2≤Eζ2·Eη2,

得

即

評(píng)析用概率方法證明不等式,并非通用的解法,關(guān)鍵是根據(jù)不等式特點(diǎn)構(gòu)造適當(dāng)?shù)母怕誓Ｐ?此不等式的概率統(tǒng)計(jì)意義是2個(gè)隨機(jī)變量乘積的數(shù)學(xué)期望的平方小于等于2個(gè)隨機(jī)變量二階矩的乘積.

3 構(gòu)造數(shù)列模型

證法3

4 構(gòu)造向量模型

證法4構(gòu)造向量

則

|n|=a1(1-a1)+a2(1-a2)+…+an(1-an)=

因此

(m·n)2=(a1+a2+…+an)2=s2，

從而

評(píng)析構(gòu)造向量的重點(diǎn)和難點(diǎn)是根據(jù)其結(jié)構(gòu)特點(diǎn),構(gòu)造2個(gè)恰當(dāng)?shù)南蛄?

5 構(gòu)造幾何模型

5.1 構(gòu)造n維空間的距離公式

在n維空間中，點(diǎn)P(x1,x2,…,xn)到平面∏：A1X1+A2X2+…+AnXn+K=0(Ai∈R,K∈R,i=1,2,…,n)的距離為

點(diǎn)P到平面∏上任意點(diǎn)Q(y1,y2,…,yn)的距離為

d2=d(P,Q)=

利用d1≤d2的基本關(guān)系即可證明.

則點(diǎn)O(0,0,0)∈∏.由

得

變形得

即

5.2 構(gòu)造質(zhì)點(diǎn)系重心法

利用質(zhì)點(diǎn)系重心法證明不等式的步驟如下:

(1)選取合適的曲線y=f(x),并畫出曲線在規(guī)定范圍內(nèi)的圖形.

(3)計(jì)算質(zhì)點(diǎn)系A(chǔ)i(xi,yi)的重心坐標(biāo)

(mi是第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量,i=1,2,…,n).

圖1

|MG|≥|MN|,

則

即

評(píng)析從數(shù)形結(jié)合思想考慮,充分挖掘出不等式的幾何背景,分別利用空間距離公式和質(zhì)點(diǎn)系重心法建立不等式的2種幾何模型,利用幾何圖形的不等性質(zhì),使原不等式較易得到證明.

以上從6個(gè)不同的角度來思考Shapiro不等式的證法,函數(shù)思想一直是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容和思想方法.概率和向量是新課程中增加的內(nèi)容,這在一定程度上拓寬了解題思路,對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維大有裨益.

[1] 匡繼昌.常用不等式[M].3版.濟(jì)南:山東科學(xué)技術(shù)出版社,2004:182.

[2] 葉留青,賈長虹.一元連續(xù)函數(shù)的一個(gè)性質(zhì)定理及其應(yīng)用[J].焦作師范高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào),2009,25(2):71-75.

[3] 王盛剛,張海河.用質(zhì)點(diǎn)系重心法證明不等式的嘗試[J].高等函授學(xué)報(bào),2000,13(1):58-64.