一個(gè)幾何概率試題的題源探究

● (惠安高級(jí)中學(xué) 福建惠安 362100)

1 題目

(2009年福建省數(shù)學(xué)高考文科試題)

解如圖1，另一端點(diǎn)B只能在優(yōu)弧上運(yùn)動(dòng)，因此所求概率為

圖1

圖2

2 題源

2.1 源于歷史名題

初看此題以為是數(shù)學(xué)史上的一個(gè)經(jīng)典的悖論——貝特朗悖論，其實(shí)這是一個(gè)根據(jù)貝特朗悖論改編的題目.貝特朗悖論：“在半徑為1的圓周上任取兩點(diǎn)，連成一條弦，問弦長(zhǎng)超過其內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)的概率是多少?”

從不同方向考慮這道試題，可得不同結(jié)果：

圖3

圖4

這導(dǎo)致同一事件有不同概率，因此為悖論.

同一問題有3種不同的答案，原因在于取弦時(shí)采用不同的等可能性假設(shè)!解法1假設(shè)端點(diǎn)在圓周上是均勻分布的；解法2假設(shè)弦中點(diǎn)在直徑上是均勻分布的；解法3是假設(shè)弦的中點(diǎn)在圓內(nèi)是均勻分布的.這3種答案是針對(duì)3種不同的隨機(jī)試驗(yàn)，對(duì)于各自的隨機(jī)試驗(yàn)而言，它們都是正確的.因此在使用術(shù)語“隨機(jī)”、“等可能”、“均勻分布”等時(shí)，應(yīng)明確指明其含義，這又因試驗(yàn)而異.

幾何概率是19世紀(jì)末新發(fā)展起來的一門學(xué)科，它使得很多概率問題的解決變得簡(jiǎn)單.然而在1899年，法國學(xué)者貝特朗提出了所謂“貝特朗悖論”，矛頭直指幾何概率概念本身.悖論提出后，在數(shù)學(xué)界引起了很大震動(dòng)，促使數(shù)學(xué)家理性反思概率論的基礎(chǔ)理論.1932年，這個(gè)問題才由前蘇聯(lián)的數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫解決，他在其經(jīng)典的著作《概率論基礎(chǔ)》中建立了在測(cè)度論的基礎(chǔ)上的概率論公理系統(tǒng)，從而把概率論建立在完全嚴(yán)格的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)之上.

圖5

2.2 源于課本

本題也可以說是源于高中教材(蘇教版)的必修3第102頁中的例題3：

在等腰直角三角形ABC中，在斜邊AB上任取一點(diǎn)M，求AM小于AC的概率.

因?yàn)辄c(diǎn)M橢機(jī)地落在線段AB上，當(dāng)點(diǎn)M位于圖6中的線段AC′上時(shí)，AM

教科書第104頁習(xí)題7.3第6題(閱讀題)將本節(jié)例3改為：如圖7，在等腰直角三角形ABC中，過直角頂點(diǎn)C在∠ACB內(nèi)部任作一條射線CM,與線段AB交于點(diǎn)M，求AM

圖6

圖7

上述2個(gè)問題的設(shè)計(jì)與2009年福建省數(shù)學(xué)高考文科試題第14題的設(shè)計(jì)有著異曲同工之妙.2個(gè)問題都有著一樣的背景，本質(zhì)都是求解AM

[1] 馮變英，王平.貝特朗悖論與概率論的公理化[J].運(yùn)城學(xué)院學(xué)報(bào)，2008,26(2):7-8.

[2] 馬恩林.幾何概率中的貝特朗悖論[J].中學(xué)生數(shù)學(xué):高中版，2009(5):3.