橢球上三維均勻分布的參數(shù)估計

張莉莉， 魯富榮

（1．山西農(nóng)業(yè)大學(xué)文理學(xué)院，山西太谷 030801；2．山西大學(xué)商務(wù)學(xué)院理學(xué)系，山西太原 030031）

0 引 言

均勻分布是概率論中的一個常用分布。目前，有關(guān)區(qū)間［a，b］上一維均勻分布的研究已有很多成果，對于二維均勻分布的研究，其成果主要有矩形區(qū)域和圓內(nèi)二維均勻分布的參數(shù)估計及區(qū)域面積的估計［1－3］。文獻［4－5］研究了長方體上的三維均勻分布問題，文獻［6］考慮了n維球內(nèi)均勻分布的參數(shù)估計問題。文中主要研究橢球上三維均勻分布的參數(shù)估計問題，并給出了未知參數(shù)與橢球體積的矩估計及參數(shù)的最大似然估計和區(qū)間估計。

1 定義及引理

定義1 設(shè)Ω是空間上的有界區(qū)域，其體積為V。若三維隨機變量（X，Y，Z）有概率密度

則稱（X，Y，Z）在Ω上服從均勻分布。注1：當(dāng)

引理1 設(shè)三維隨機變量（X，Y，Z）為來自球x2＋y2＋z2≤a2上均勻分布的總體，a＞0未知，（X1，Y1，Z1），（X2，Y2，Z2），…，（Xn，Yn，Zn）為其n個樣本，（x1，y1，z1），（x2，y2，z2），…，（xn，yn，zn）為樣本值，則球半徑a的最大似然估計量為

證明：隨機變量（X，Y，Z）的概率密度函數(shù)為

令

即L（a）在a＝a（n）時，取到最大值故a的最大似然估計值為

a的最大似然估計量為

注2：本引理用另一方法證明了文獻［7］中n＝3的結(jié)論。

引理2［7］設(shè)隨機變量（X，Y，Z）在球x2＋y2＋z2≤a2上服從均勻分布，a＞0未知，則a的置信水平1－α的置信區(qū)間為且此區(qū)間為用作為樞軸量建立的置信水平為1－α的最短置信區(qū)間，其中a∧為a的最大似然估計。

2 參數(shù)的矩估計

橢球體積V的矩估計量為

證明：隨機變量（X，Y，Z）的概率密度函數(shù)為

作廣義球坐標(biāo)變換

則X，Y，Z的2階原點矩分別為：

即a2＝5E（X2）b2＝5E（Y2）

X，Y，Z的6階混合原點矩為

即

a2b2c2＝315E（X2Y2Z2）

所以，橢球半軸長a，b，c的矩估計量分別為：

橢球體積V的矩估計量為

注3：當(dāng)a＝b＝c時，可得服從球x2＋y2＋z2≤a2上均勻分布的三維隨機變量，球體積V＝的矩估計量為

3 參數(shù)的最大似然估計

定理2 設(shè)三維隨機變量（X，Y，Z）在橢球上服從均勻分布，令U＝X，，則隨機變量（U，V，W）服從球u2＋v2＋w2≤a2上的均勻分布。

證明：隨機變量（X，Y，Z）的概率密度函數(shù)為

作變換

即

則三維隨機變量（U，V，W）的概率密度函數(shù)為

所以，三維隨機變量（U，V，W）服從球u2＋v2＋w2≤a2上的均勻分布。

定理3 設(shè)三維隨機變量（X，Y，Z）為來自橢球上均勻分布的總體，（X1，Y1，Z1），（X2，Y2，Z2），…，（Xn，Yn，Zn）為來自這一總體的n個樣本。若橢球的半軸長之比＝k2已知，則a的最大似然估計量為

b的最大似然估計量為

c的最大似然估計量為

證明：由引理1和定理2證之。

4 參數(shù)的區(qū)間估計

定理4 設(shè)三維隨機變量（X，Y，Z）在橢球上服從均勻分布，若橢球的半軸長之比已知，則a，b，c的置信水平為1－α的置信區(qū)間分別為且這些區(qū)間分別為用作為樞軸量建立的置信水平為1－α的最短置信區(qū)間。其中分別為a，b，c的最大似然估計。

證明：由引理2和定理3易證之。

綜上所述，我們得到了橢球上三維均勻分布未知參數(shù)及橢球體積的矩估計，在橢球半軸長之比k1，k2已知的條件下，還得到了參數(shù)的最大似然估計和區(qū)間估計。當(dāng)這個比值未知時，可先求出k1，k2的矩估計量，然后得參數(shù)的兩步估計［7］。另外，文中結(jié)論不難推廣到n維橢球上均勻分布的情況。

參數(shù)估計問題是統(tǒng)計推斷的一類基本問題，除點估計與區(qū)間估計以外，還可研究參數(shù)的Bayes估計，如文獻［8］討論了Poission分布、二項分布、幾何分布的Bayes估計，對于均勻分布參數(shù)的Bayes估計有待進一步考慮。

［1］ 魯富榮，張莉莉．橢圓上二維均勻分布的參數(shù)估計［J］．山西大同大學(xué)學(xué)報，2010，26（4）：6－8．

［2］ 劉兆君．二維均勻分布矩形區(qū)域面積的估計［J］．大學(xué)數(shù)學(xué)，2007，23（4）：155－159．

［3］ 王志祥．圓內(nèi)二維均勻分布的參數(shù)估計［J］．大學(xué)數(shù)學(xué)，2008，24（2）：150－152．

［4］ 劉兆君，呂永敬．三維均勻分布長方體域邊長的聯(lián)合置信域［J］．山東師范大學(xué)學(xué)報，2007，22（4）：132－133．

［5］ 陳光曙．長方體上均勻分布的密度函數(shù)［J］．純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，2009，25（4）：721－724．

［6］ 王志祥．n維球內(nèi)均勻分布的參數(shù)估計［J］．純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，2009，25（4）：789－793．

［7］ 王松桂，史建紅，尹素菊，等．線性模型引論［M］．北京：科學(xué)出版社，2004：5．

［8］ 邢蕾，趙鵬飛．Q－對稱熵?fù)p失函數(shù)下幾何分布參數(shù)估計［J］．長春工業(yè)大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2008，29（6）：614－616．