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    橢球上三維均勻分布的參數(shù)估計

    2012-07-14 07:07:24張莉莉魯富榮
    關(guān)鍵詞:估計量置信水平概率密度函數(shù)

    張莉莉, 魯富榮

    (1.山西農(nóng)業(yè)大學(xué)文理學(xué)院,山西太谷 030801;2.山西大學(xué)商務(wù)學(xué)院理學(xué)系,山西太原 030031)

    0 引 言

    均勻分布是概率論中的一個常用分布。目前,有關(guān)區(qū)間[a,b]上一維均勻分布的研究已有很多成果,對于二維均勻分布的研究,其成果主要有矩形區(qū)域和圓內(nèi)二維均勻分布的參數(shù)估計及區(qū)域面積的估計[1-3]。文獻[4-5]研究了長方體上的三維均勻分布問題,文獻[6]考慮了n維球內(nèi)均勻分布的參數(shù)估計問題。文中主要研究橢球上三維均勻分布的參數(shù)估計問題,并給出了未知參數(shù)與橢球體積的矩估計及參數(shù)的最大似然估計和區(qū)間估計。

    1 定義及引理

    定義1 設(shè)Ω是空間上的有界區(qū)域,其體積為V。若三維隨機變量(X,Y,Z)有概率密度

    則稱(X,Y,Z)在Ω上服從均勻分布。注1:當(dāng)

    引理1 設(shè)三維隨機變量(X,Y,Z)為來自球x2+y2+z2≤a2上均勻分布的總體,a>0未知,(X1,Y1,Z1),(X2,Y2,Z2),…,(Xn,Yn,Zn)為其n個樣本,(x1,y1,z1),(x2,y2,z2),…,(xn,yn,zn)為樣本值,則球半徑a的最大似然估計量為

    證明:隨機變量(X,Y,Z)的概率密度函數(shù)為

    即L(a)在a=a(n)時,取到最大值故a的最大似然估計值為

    a的最大似然估計量為

    注2:本引理用另一方法證明了文獻[7]中n=3的結(jié)論。

    引理2[7]設(shè)隨機變量(X,Y,Z)在球x2+y2+z2≤a2上服從均勻分布,a>0未知,則a的置信水平1-α的置信區(qū)間為且此區(qū)間為用作為樞軸量建立的置信水平為1-α的最短置信區(qū)間,其中a∧為a的最大似然估計。

    2 參數(shù)的矩估計

    橢球體積V的矩估計量為

    證明:隨機變量(X,Y,Z)的概率密度函數(shù)為

    作廣義球坐標(biāo)變換

    則X,Y,Z的2階原點矩分別為:

    即a2=5E(X2)b2=5E(Y2)

    X,Y,Z的6階混合原點矩為

    a2b2c2=315E(X2Y2Z2)

    所以,橢球半軸長a,b,c的矩估計量分別為:

    橢球體積V的矩估計量為

    注3:當(dāng)a=b=c時,可得服從球x2+y2+z2≤a2上均勻分布的三維隨機變量,球體積V=的矩估計量為

    3 參數(shù)的最大似然估計

    定理2 設(shè)三維隨機變量(X,Y,Z)在橢球上服從均勻分布,令U=X,,則隨機變量(U,V,W)服從球u2+v2+w2≤a2上的均勻分布。

    證明:隨機變量(X,Y,Z)的概率密度函數(shù)為

    作變換

    則三維隨機變量(U,V,W)的概率密度函數(shù)為

    所以,三維隨機變量(U,V,W)服從球u2+v2+w2≤a2上的均勻分布。

    定理3 設(shè)三維隨機變量(X,Y,Z)為來自橢球上均勻分布的總體,(X1,Y1,Z1),(X2,Y2,Z2),…,(Xn,Yn,Zn)為來自這一總體的n個樣本。若橢球的半軸長之比=k2已知,則a的最大似然估計量為

    b的最大似然估計量為

    c的最大似然估計量為

    證明:由引理1和定理2證之。

    4 參數(shù)的區(qū)間估計

    定理4 設(shè)三維隨機變量(X,Y,Z)在橢球上服從均勻分布,若橢球的半軸長之比已知,則a,b,c的置信水平為1-α的置信區(qū)間分別為且這些區(qū)間分別為用作為樞軸量建立的置信水平為1-α的最短置信區(qū)間。其中分別為a,b,c的最大似然估計。

    證明:由引理2和定理3易證之。

    綜上所述,我們得到了橢球上三維均勻分布未知參數(shù)及橢球體積的矩估計,在橢球半軸長之比k1,k2已知的條件下,還得到了參數(shù)的最大似然估計和區(qū)間估計。當(dāng)這個比值未知時,可先求出k1,k2的矩估計量,然后得參數(shù)的兩步估計[7]。另外,文中結(jié)論不難推廣到n維橢球上均勻分布的情況。

    參數(shù)估計問題是統(tǒng)計推斷的一類基本問題,除點估計與區(qū)間估計以外,還可研究參數(shù)的Bayes估計,如文獻[8]討論了Poission分布、二項分布、幾何分布的Bayes估計,對于均勻分布參數(shù)的Bayes估計有待進一步考慮。

    [1] 魯富榮,張莉莉.橢圓上二維均勻分布的參數(shù)估計[J].山西大同大學(xué)學(xué)報,2010,26(4):6-8.

    [2] 劉兆君.二維均勻分布矩形區(qū)域面積的估計[J].大學(xué)數(shù)學(xué),2007,23(4):155-159.

    [3] 王志祥.圓內(nèi)二維均勻分布的參數(shù)估計[J].大學(xué)數(shù)學(xué),2008,24(2):150-152.

    [4] 劉兆君,呂永敬.三維均勻分布長方體域邊長的聯(lián)合置信域[J].山東師范大學(xué)學(xué)報,2007,22(4):132-133.

    [5] 陳光曙.長方體上均勻分布的密度函數(shù)[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),2009,25(4):721-724.

    [6] 王志祥.n維球內(nèi)均勻分布的參數(shù)估計[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),2009,25(4):789-793.

    [7] 王松桂,史建紅,尹素菊,等.線性模型引論[M].北京:科學(xué)出版社,2004:5.

    [8] 邢蕾,趙鵬飛.Q-對稱熵?fù)p失函數(shù)下幾何分布參數(shù)估計[J].長春工業(yè)大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2008,29(6):614-616.

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