基于概率密度函數(shù)的控制系統(tǒng)性能評(píng)價(jià)

鐘振芳 劉吉臻 孟慶偉 牛玉廣 房 方

(華北電力大學(xué)控制與計(jì)算機(jī)工程學(xué)院,北京 102206)

在工業(yè)控制領(lǐng)域中，生產(chǎn)過程的控制回路不斷增加，生產(chǎn)工藝對(duì)生產(chǎn)過程的控制要求也日益提高。大多情況下，人們往往只關(guān)注采用怎樣的控制器和怎樣的控制策略，而忽視了運(yùn)行中的控制系統(tǒng)性能評(píng)價(jià)研究。據(jù)統(tǒng)計(jì)，在當(dāng)前的工業(yè)控制系統(tǒng)中，有多達(dá)60%的控制器存在著性能差的問題[1]。若能對(duì)工業(yè)控制系統(tǒng)的性能進(jìn)行有效地評(píng)價(jià)，將提高工作效率、降低生產(chǎn)成本、提高控制的有效性。所以，進(jìn)行控制系統(tǒng)性能評(píng)價(jià)方法的研究是必要的。

關(guān)于控制系統(tǒng)性能(尤其是隨機(jī)性能)的研究主要集中在方差分析上。1989年Harris T J提出基于反饋不變項(xiàng)的最小方差(Minimum Variance，MV)性能評(píng)價(jià)指標(biāo)之后，圍繞方差對(duì)控制系統(tǒng)進(jìn)行的性能分析不斷得到發(fā)展[2]。最小方差性能指標(biāo)被相繼應(yīng)用在前饋控制系統(tǒng)[3]、串級(jí)控制系統(tǒng)[4]、非最小相位系統(tǒng)[5]和多輸入多輸出(Multiple-Input Multiple-Output,MIMO)系統(tǒng)[6]中。最小方差對(duì)傳統(tǒng)PID控制器和先進(jìn)控制器(如預(yù)測(cè)控制)的性能評(píng)價(jià)也得到了廣泛的應(yīng)用[7,8]。此外，還有一些基于最小方差的性能指標(biāo)被相繼提出，如：基于開環(huán)方差的相關(guān)方差(Relative Variance Index,RVI)指標(biāo)[9]、結(jié)合控制量約束的廣義最小方差(General Minimum Variance,GMV)[10]。

相較于方差，概率密度函數(shù)對(duì)系統(tǒng)輸出的隨機(jī)性能有著更為全面的描述，因此基于概率密度函數(shù)的性能評(píng)價(jià)具有重要的研究意義。基于概率密度函數(shù)的隨機(jī)控制是通過控制系統(tǒng)跟蹤誤差的概率密度函數(shù)來實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)的有效控制的。期望跟蹤誤差的概率密度函數(shù)分布可以是高斯分布(正態(tài)分布)、均勻分布或者某種自定義的分布，這是根據(jù)具體的控制要求來給定的。因?yàn)橐愿咚狗植甲龈怕拭芏群瘮?shù)期望分布在日常生活中普遍存在，而且具有一定的廣泛性(電解鋁的控制、化工過程分子量的空盒子、鑄件尺寸及燈泡的大小等)，所以在通常情況下將控制變量設(shè)計(jì)成服從高斯分布。由于當(dāng)前控制下系統(tǒng)跟蹤誤差的概率密度函數(shù)分布很可能不是最優(yōu)的，其與最優(yōu)分布的距離就可以用來評(píng)價(jià)當(dāng)前控制性能的優(yōu)劣。兩個(gè)函數(shù)比較其之間的差距，首先要提取其關(guān)鍵特征，故筆者先將概率密度函數(shù)向量化使對(duì)概率密度函數(shù)的分析轉(zhuǎn)化為對(duì)兩個(gè)向量的分析。為得到歸一化、規(guī)范化、易于理解的性能評(píng)價(jià)指標(biāo)，灰色關(guān)聯(lián)分析被用來比較實(shí)際分布向量和基準(zhǔn)向量之間的近似程度。*收稿日期：2013-12-16(修改稿)基金項(xiàng)目：國(guó)家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展計(jì)劃項(xiàng)目(“973”計(jì)劃)(2012CB215203)；國(guó)家自然科學(xué)基金重點(diǎn)資助項(xiàng)目(51036002)；國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61203107)；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)資助項(xiàng)目(12QX19)；北京市教育委員會(huì)共建項(xiàng)目

筆者首先給出了最優(yōu)概率密度函數(shù)分布，然后基于實(shí)際輸出的分布與最優(yōu)概率密度函數(shù)分布通過灰度關(guān)聯(lián)法定義出性能評(píng)價(jià)指標(biāo)，最后應(yīng)用該指標(biāo)對(duì)控制系統(tǒng)進(jìn)行評(píng)價(jià)。

1 最優(yōu)概率密度函數(shù)

為了評(píng)價(jià)控制系統(tǒng)的性能，要求首先給出性能評(píng)價(jià)的基準(zhǔn)。而性能評(píng)價(jià)的基準(zhǔn)需要滿足兩個(gè)要求：理論上是某個(gè)性能的界限；能通過實(shí)際閉環(huán)操作數(shù)據(jù)估計(jì)得到。

1.1 最優(yōu)概率密度函數(shù)的控制

對(duì)于常見的線性控制系統(tǒng)：

(1)

其中yk為k時(shí)刻的輸出，uk為k時(shí)刻的控制量，ωk為隨機(jī)擾動(dòng)。其控制誤差為：

ek+q=yk+q-rk+q

(2)

=f(y,u,r,ωk)

其中y為系統(tǒng)輸出向量，y=(yk,yk-1,…,y1);u為控制向量;e為誤差向量；r為設(shè)定值。若隨機(jī)噪聲ωk服從高斯分布N(μ,δ2),μ和δ分別為期望和標(biāo)準(zhǔn)差，則隨機(jī)噪聲的概率分布函數(shù)如下：

(3)

由概率論易得，跟蹤誤差的概率密度函數(shù)為：

(4)

由式(2)～(4)可得：

(5)

為獲得最優(yōu)分布的概率密度函數(shù)，筆者采用最小熵控制，在最小熵控制下，可得控制系統(tǒng)的遞推控制律[11]：

(6)

式(6)可以改寫為：

b0uk+ηk+q=b0uk-1+ηk-1+q=c

(7)

其中c為常數(shù)，則可得控制律如下：

(8)

取c=μ，將式(8)代入式(5)可得在最小熵控制下跟蹤誤差的概率密度函數(shù)為：

(9)

可知此時(shí)最優(yōu)概率密度函數(shù)服從高斯分布N(0,δ2)。

1.2 最優(yōu)概率密度函數(shù)的估計(jì)

由1.1節(jié)可得最優(yōu)的概率函數(shù)(式(9))，其中需要估計(jì)的量只有一個(gè)，就是δ，即噪聲的方差。

(10)

1.3 跟蹤誤差概率密度函數(shù)的估計(jì)

系統(tǒng)的性能評(píng)價(jià)就是系統(tǒng)當(dāng)前性能與基準(zhǔn)性能的比較過程。在得到基準(zhǔn)性能之后，需要計(jì)算系統(tǒng)的當(dāng)前性能，即計(jì)算跟蹤誤差的概率密度函數(shù)。跟蹤誤差的概率分布計(jì)算式為：

(11)

其中，N表示總的采樣數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，Num(ei

跟蹤誤差的概率密度函數(shù)的計(jì)算式為：

(12)

其中，ΔF為采樣數(shù)據(jù)的變化量，Δe為誤差的變化量。對(duì)于跟蹤誤差的概率密度函數(shù)可以多項(xiàng)式逼近的方式來表示：

(13)

其中，γ(e,u)為系統(tǒng)輸出的概率密度函數(shù)，Si(e)為定義在輸出區(qū)間上的基函數(shù)，ωi(u)為基函數(shù)權(quán)重，ε為逼近誤差。

式(13)的逼近中有一個(gè)主要的限制來自于概率密度函數(shù)的定義。對(duì)于定義在區(qū)間[p,q]上的概率密度函數(shù)，其一定滿足如下條件：

(14)

對(duì)于輸出的概率密度函數(shù)的估計(jì)，可以通過最小二乘進(jìn)行多項(xiàng)式逼近，也可以通過B-spline進(jìn)行逼近求得[13]，只是基函數(shù)的選擇不同而已。

2 性能評(píng)價(jià)

2.1 性能指標(biāo)

在第1部分中給出了最小熵控制下的控制誤差的最優(yōu)概率密度函數(shù)。該最優(yōu)概率密度函數(shù)作為標(biāo)準(zhǔn)可實(shí)現(xiàn)對(duì)控制系統(tǒng)的性能評(píng)價(jià)。

定義如下的性能指標(biāo)：

2.2 基于灰色關(guān)聯(lián)的性能指標(biāo)構(gòu)建

對(duì)系統(tǒng)實(shí)際輸出的概率密度函數(shù)可以通過一個(gè)向量來近似表示。求輸出的最大值ymax與最小值ymin，在區(qū)間[ymin,ymax]上取n個(gè)等間距的點(diǎn)(圖1)y(1)，y(2)，…，y(i)，…，y(n)，其中y(1)=ymin，y(n)=ymax。令Y=[y(1),y(2),…,y(i),…,y(n)]，其對(duì)應(yīng)的概率密度函數(shù)可由如下向量近似表示：

Υ=[Υ(1),Υ(2),…,Υ(i),…,Υ(n)]

(15)

當(dāng)n趨向無窮大時(shí)，概率密度函數(shù)和其表示向量在一定輸出范圍內(nèi)完全相等。在一定輸出范圍內(nèi)，要比較兩個(gè)概率密度函數(shù)的近似程度，可以通過比較兩者在該范圍內(nèi)的向量的Υ不同來表示。

圖1 概率密度函數(shù)向量化示意圖

根據(jù)本節(jié)給出的最優(yōu)概率密度函數(shù)轉(zhuǎn)化為向量的辦法，可得最優(yōu)概率密度函數(shù)的表征向量如下：

(16)

按照灰色關(guān)聯(lián)分析理論。首先求向量差：

(17)

求其最大值：

ΔΥmax=max[ΔΥ(i)]

(18)

求其最小值：

ΔΥmin=min[ΔΥ(i)]

(19)

則此時(shí)的性能評(píng)價(jià)指標(biāo)可以寫為：

(20)

顯然該指標(biāo)滿足規(guī)范性和接近性的要求。其中ζ為分辨率，ζ∈[0,1]。

2.3 性能指標(biāo)完成步驟

筆者所提方法可以在不干擾控制系統(tǒng)正常運(yùn)行的情況下完成性能評(píng)價(jià)。在此無侵入性的要求下，希望通過閉環(huán)操作數(shù)而不是通過做性能試驗(yàn)的方法來確定控制系統(tǒng)的性能。利用閉環(huán)操作數(shù)主要是通過如下步驟來完成性能評(píng)價(jià)：

a. 通過設(shè)定值與系統(tǒng)輸出計(jì)算控制系統(tǒng)的跟蹤誤差；

b. 通過白化過程估計(jì)噪聲的方差；

c. 通過式(10)計(jì)算最優(yōu)分布的概率密度函數(shù)；

d. 通過跟蹤誤差計(jì)算其概率密度函數(shù)；

e. 通過式(15)給出實(shí)際概率密度分布的表示向量；

f. 通過式(16)計(jì)算最優(yōu)分布的概率密度函數(shù)的表示向量；

g. 通過式(20)計(jì)算系統(tǒng)性能指標(biāo)。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

對(duì)于如下的過程：

其中αt為某一均值為0、方差為0.5的白噪聲。采用如下的PI控制器：

其中kp=0.001，ki=0.002。在控制器參數(shù)不變的情況下，系統(tǒng)的特性發(fā)生變化時(shí)，控制系統(tǒng)的性能將會(huì)發(fā)生變化。當(dāng)k在5～13之間變化時(shí)，系統(tǒng)的性能變化如圖2所示?？梢钥闯?，雖然筆者性能評(píng)價(jià)的計(jì)算值與最小方差性能評(píng)價(jià)的計(jì)算值不同，但是可以得出相似的評(píng)價(jià)結(jié)果，這就驗(yàn)證了筆者方法的有效性。隨著k的增大，系統(tǒng)的控制性能先增后減。

圖2 系統(tǒng)的性能隨k值的變化

同樣當(dāng)k取定為9時(shí)，使PI控制器的比例系數(shù)和積分系數(shù)變化，系統(tǒng)的性能變化如圖3所示?？梢钥闯觯趉i不變時(shí)系統(tǒng)的性能隨著kp的增加先升后降；而在kp不變時(shí)，隨著ki的增加系統(tǒng)的性能變化不大。這就是說明，系統(tǒng)的隨機(jī)性對(duì)比例作用更敏感，也就是說要想得到較好的隨機(jī)性能要更加重視比例系數(shù)的調(diào)整。從圖3中還可以看出,在kp=3時(shí)系統(tǒng)的性能出現(xiàn)一道“山脊”，該“山脊”對(duì)應(yīng)著系統(tǒng)隨機(jī)性能較好的情況。這樣圖3實(shí)際上為PI控制器的性能評(píng)價(jià)提供了較為全面的參考，對(duì)PI參數(shù)優(yōu)化指出了方向。

圖3 k=9時(shí)系統(tǒng)的性能變化

4 結(jié)束語

筆者提出了一種基于概率密度函數(shù)的性能評(píng)價(jià)方法，給出了線性控制系統(tǒng)最優(yōu)的概率密度分布，通過灰色關(guān)聯(lián)分析構(gòu)建了新的隨機(jī)性能評(píng)價(jià)指標(biāo)，還給出基于該指標(biāo)的性能評(píng)價(jià)一般性步驟。該方法在性能評(píng)價(jià)過程中無需進(jìn)行性能實(shí)驗(yàn)，僅僅需要控制系統(tǒng)的閉環(huán)操作數(shù)，對(duì)控制系統(tǒng)的正常運(yùn)行無干擾，利于在實(shí)際工業(yè)過程中進(jìn)行應(yīng)用。