冪分布的有效估計(jì)*

白 雪，龍 兵

（荊楚理工學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，湖北 荊門 448000）

0 引言

冪分布是貝塔分布的一種特殊情形，在貝葉斯統(tǒng)計(jì)分析中常被用于產(chǎn)品合格率的先驗(yàn)分布。冪分布的概率密度函數(shù)和累積分布函數(shù)分別為

其中參數(shù)θ＞0,0＜x＜1。

在文獻(xiàn)[1-4]中取冪分布作為幾何分布參數(shù)的先驗(yàn)分布，討論了未知參數(shù)的貝葉斯估計(jì)問(wèn)題。文獻(xiàn)[5]在抽樣總體服從冪分布的情況下，研究了次序統(tǒng)計(jì)量的性質(zhì)。文獻(xiàn)[6-7]在部分缺失數(shù)據(jù)樣本下討論了兩個(gè)冪分布總體參數(shù)的極大似然估計(jì)、參數(shù)之差的置信區(qū)間和假設(shè)檢驗(yàn)，并通過(guò)隨機(jī)模擬驗(yàn)證估計(jì)的精度。

在許多情況下，我們需要估計(jì)概率密度函數(shù)和累積分布函數(shù)。例如，我們使用概率密度函數(shù)來(lái)估計(jì)微分熵、Kullback-Leibler散度和Fisher信息量；我們使用分布函數(shù)估計(jì)分位數(shù)函數(shù)和累積剩余熵等。因此文獻(xiàn)[8-14]討論了多個(gè)總體分布的概率密度函數(shù)和分布函數(shù)的估計(jì)，計(jì)算了估計(jì)的均方誤差并對(duì)多種估計(jì)進(jìn)行比較。然而，對(duì)冪分布的概率密度函數(shù)和分布函數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的文獻(xiàn)到目前為止還沒有見到，本文將對(duì)這一問(wèn)題進(jìn)行探討。

1 概率密度函數(shù)和累積分布函數(shù)的極大似然估計(jì)

假設(shè)X1,X2,…,X n是從冪分布（1）和（2）中抽取的獨(dú)立同分布隨機(jī)樣本，由極大似然法可以得到參數(shù)θ的極大似然估計(jì)（MLE）為

根據(jù)極大似然估計(jì)的不變性，可以得到密度函數(shù)和分布函數(shù)的極大似然估計(jì)分別為

由于-2θlnX i～χ2(2)，因此，則Y的概率密度函數(shù)為

定理1概率密度函數(shù)和累積分布函數(shù)極大似然估計(jì)的r階矩分別為

其中K v(·)表示第二類v的修正貝塞爾函數(shù)。

證明：根據(jù)（4）式，可以得到

利用文獻(xiàn)[15]中的公式(3.471.9),則

因此

注記:從定理1可以看到，當(dāng)取r=1時(shí)因此分別是f(x)，F(xiàn)(x)的有偏估計(jì)。

定理2和的均方誤差分別為

證明：根據(jù)均方誤差公式可得

在定理1中分別取r=2和r=1，可以得到

2 f(x)和F(x)的一致最小方差無(wú)偏估計(jì)

下面將得到f(x)和F(x)的一致最小方差無(wú)偏估計(jì)（UMVUE），進(jìn)而得到這些估計(jì)的均方誤差。

設(shè)X1,X2,…,X n是從冪分布（1）中抽取的獨(dú)立同分布隨機(jī)樣本，則是關(guān)于θ的一個(gè)完備充分統(tǒng)計(jì)量。設(shè)f·(x)是f(x)的一致最小方差無(wú)偏估計(jì)，根據(jù)Lehmann-Scheffe定理

其中f·(t)=f X1|T(x1|t)是當(dāng)給定T=t時(shí)X1的條件概率密度函數(shù)，f X1,T(x1,t)是X1和T的聯(lián)合概率密度函數(shù)。

定理3當(dāng)給定T=t時(shí)X1的條件概率密度函數(shù)為

證明：設(shè)Z i=-lnX i，i=1,2,…,n，則，根據(jù)（3）式可以得到T的概率密度函數(shù)為

因此當(dāng)給定T=t時(shí)X1的條件概率密度函數(shù)為

因此

定理4當(dāng)T=t時(shí)，f(x)和F(x)的一致最小方差無(wú)偏估計(jì)分別為

其中-lnx＜t＜+∞。

證明：根據(jù)（8）式和定理3，我們立即可以得到(x)是f(x)的一致最小方差無(wú)偏估計(jì)。對(duì)~(x)積分就可以得到F(x)的一致最小方差無(wú)偏估計(jì)(x)。

定理5和的均方誤差分別為

利用（9）式，可得

由于

因此

令θt=u，則

因此

由于

因此

利用均方誤差的公式則定理5得證。

3 基于分位數(shù)的估計(jì)

基于分位數(shù)的估計(jì)由Kao[16]在1958年提出，當(dāng)某個(gè)概率分布的分位數(shù)函數(shù)具有較簡(jiǎn)單的形式時(shí)可以考慮使用這種方法來(lái)估計(jì)分布的未知參數(shù)。

設(shè)X1,X2,…,X n是從冪分布（1）中抽取的獨(dú)立同分布隨機(jī)樣本，又設(shè)X(1),X(2),…,X(n)為次序統(tǒng)計(jì)量。記θ~PC為參數(shù)θ基于分位數(shù)的估計(jì)。通過(guò)極小化

利用最小二乘法，可得

因此f(x)和F(x)的估計(jì)分別為

4 隨機(jī)模擬

在這一部分通過(guò)Mathematica和Matlab軟件進(jìn)行模擬計(jì)算。當(dāng)未知參數(shù)θ的值分別取1.5,2,2.5,3時(shí)，利用逆變換法X i=(i=1,2,…,n)，其中U i是（0,1）上獨(dú)立均勻分布隨機(jī)數(shù)，則X i就是服從參數(shù)θ的冪分布隨機(jī)數(shù)，樣本量分別取n=10,20,30,40。對(duì)于產(chǎn)生的每一個(gè)隨機(jī)樣本計(jì)算出估計(jì)量的值，經(jīng)過(guò)1000次重復(fù)模擬計(jì)算出各種估計(jì)的均方誤差。

從表1中的數(shù)據(jù)可以看出，隨著樣本量n的增大，估計(jì)量的均方誤差變小?；诜治粩?shù)的估計(jì)的均方誤差比極大似然估計(jì)和一致最小方差無(wú)偏估計(jì)的均方誤差都要大。概率密度函數(shù)的極大似然估計(jì)的均方誤差要小于一致最小方差無(wú)偏估計(jì)的均方誤差，對(duì)于分布函數(shù)而言兩者的均方誤差比較接近。