歐拉

歐拉是歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家之一。1707年，小歐拉出生在瑞士的巴塞爾城。他從小就對數(shù)學(xué)有濃厚的興趣，不滿10歲就開始自學(xué)《代數(shù)學(xué)》。即使對一些成年人來說，這本書都很難讀懂，但是小歐拉卻讀得津津有味，遇到不懂的地方，他就用筆做個記號，事后再向數(shù)學(xué)老師請教。雖然小歐拉成績很好，但他同時也是一個讓老師頭疼的孩子，還因為頂撞老師而被學(xué)校開除。一次，小歐拉問老師天上有多少顆星星。老師答不上來，但是為了維護自己的威嚴(yán)，他不懂裝懂，答非所問：“星星是上帝鑲嵌在天空上的。

的主角萊昂哈德·歐拉的，可能不會太多。其實，歐拉與阿基米德、牛頓、高斯同為“數(shù)學(xué)史四大天王”，可阿基米德有“撬起地球”的豪言壯語，牛頓因為蘋果落地聞名世界，高斯少年時就顯露出計算天賦，唯獨歐拉的故事不是盡人皆知。但是，歐拉離我們并不遙遠(yuǎn)，我們熟悉的各種數(shù)學(xué)符號如用π表示圓周率；用sin、cos表示正、余弦；用f（x）表示函數(shù)……統(tǒng)統(tǒng)是歐拉的創(chuàng)造；今天計算機領(lǐng)域中廣泛使用的RSA公鑰密碼算法（哈希算法），也是以歐拉函數(shù)為基礎(chǔ)?；鸨W(wǎng)的李永樂老師說，歐拉提出

王德貴在數(shù)論中，歐拉定理（Euler Theorem），也稱費馬-歐拉定理或歐拉函數(shù)定理，是一個關(guān)于同余性質(zhì)的定理，它也是數(shù)論四大定理（威爾遜定理、費馬小定理、孫子定理、歐拉定理）之一。數(shù)學(xué)史上公認(rèn)的4名最偉大的數(shù)學(xué)家分別是：阿基米德、牛頓、歐拉和高斯。阿基米德有“撬起地球”的豪言壯語，牛頓因為蘋果聞名世界，高斯少年時就顯露出計算天賦，唯獨歐拉沒有戲劇性的故事卻讓人印象深刻。然而，幾乎每一個數(shù)學(xué)領(lǐng)域都可以看到歐拉的名字——初等幾何的歐拉線、多面體的歐拉定理

,r，則有著名的歐拉不等式R≥2r，文[1]建立了歐拉不等式的一個三角形式：文[2]給出了歐拉不等式的一個三角形式的類似結(jié)論：上述不等式是從三角函數(shù)和的形式對歐拉不等式進(jìn)行加強，在三角形中還有熟知的積形式：2 構(gòu)建新的歐拉三角不等式3 定理的證明由歐拉不等式知，顯然成立.

的主角萊昂哈德·歐拉的，可能不會太多。其實，歐拉與阿基米德、牛頓、高斯同為“數(shù)學(xué)史四大天王”，可阿基米德有“撬起地球”的豪言壯語，牛頓因為蘋果落地聞名世界，高斯少年時就顯露出計算天賦，唯獨歐拉的故事不是盡人皆知。但是，歐拉離我們并不遙遠(yuǎn)，我們熟悉的各種數(shù)學(xué)符號如用π表示圓周率;用sin、cos表示正、余弦;用f（x）表示函數(shù)……統(tǒng)統(tǒng)是歐拉的創(chuàng)造;今天計算機領(lǐng)域中廣泛使用的RSA公鑰密碼算法（哈希算法），也是以歐拉函數(shù)為基礎(chǔ)?；鸨W(wǎng)的李永樂老師說，歐拉提出

，α(G)都是超歐拉圖。一個有向圖稱為是歐拉有向圖，是指它有一條包含所有弧的閉跡。如果一個有向圖D包含一個生成歐拉子有向圖，則稱D是超歐拉有向圖。文獻(xiàn)［15］和［16］給出了若干有向圖是超歐拉圖的充分條件。受到廣義棱柱較多的研究成果及應(yīng)用、以及有向圖的超歐拉性的相關(guān)研究的啟發(fā)，本文主要討論兩個有向圖的廣義棱柱的超歐拉性質(zhì)。我們將無向圖G的廣義棱柱的概念推廣到有向圖上，給出了如下定義（最后一節(jié)將指出這一定義與圖G的α-廣義棱柱α(G)的聯(lián)系）。設(shè)D和H是兩個

潘學(xué)文關(guān)于判定超歐拉圖的分離結(jié)合法陳宇龍 張 林 韋美雁 潘學(xué)文（湖南科技學(xué)院 電子與信息工程學(xué)院，湖南 永州 425199）本文基于判定超歐拉圖的收縮法和撕裂法，將兩種方法進(jìn)行了結(jié)合改進(jìn)，提出一種新的超歐拉圖的判定方法——分離結(jié)合法，并進(jìn)行了實例判定。超歐拉圖；分離結(jié)合法；收縮；分裂判定一個圖是否是超歐拉圖的方法最早為Catlin在1988年提出的收縮法[2]。收縮法的關(guān)鍵是找到有效的可折疊子圖，但是在實際中對于可折疊子圖的尋找十分不容易。鑒于此，我國的

王超飛0 前言歐拉旋轉(zhuǎn)定理[1]是由瑞士著名數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家萊昂哈德·歐拉提出的：剛體繞定點的任意有限轉(zhuǎn)動可由繞過該點某根軸的一次有限轉(zhuǎn)動實現(xiàn)?？衫斫鉃閯傮w從一個姿態(tài)運動到任意一個姿態(tài)可由繞某根軸一次轉(zhuǎn)動某個角度實現(xiàn)。該軸稱為歐拉一次轉(zhuǎn)軸，該角稱為歐拉一次轉(zhuǎn)角。歐拉旋轉(zhuǎn)定理是剛體運動學(xué)中非常經(jīng)典的定理之一，其研究意義在于：一方面，它是轉(zhuǎn)動四元數(shù)和歐拉四元數(shù)姿態(tài)坐標(biāo)的理論依據(jù)；另一方面，該定理蘊含了剛體姿態(tài)問題的幾乎所有內(nèi)容，理解了該定理也就弄清了剛體姿態(tài)

天王。他的名字叫歐拉。一生堪稱傳奇，拍一部電視劇80集都不用劇本虛構(gòu)。萊昂哈德·歐拉雖然出生在瑞士的一個牧師家庭，可他父親對數(shù)學(xué)有濃厚的興趣。特別喜歡給歐拉講數(shù)學(xué)故事。由此把歐拉帶上了數(shù)學(xué)這條路。而且歐拉的父親認(rèn)識當(dāng)時大名鼎鼎的數(shù)學(xué)家約翰伯努利。他由此成為了伯努利的弟子。伯努利家族大家應(yīng)該都聽說過吧，三代人出了8位科學(xué)家。這個家族自稱研究數(shù)學(xué)就像酒鬼碰上了烈酒。而約翰伯努利則是伯努利家族成就、地位最高的三人之一。 這就相當(dāng)于什么呢？中科院院長手把手教學(xué)帶你

的微分方程被稱為歐拉方程，是變系數(shù)微分方程中應(yīng)用最為廣泛的類型之一，受到了很多學(xué)者的關(guān)注[1-5]。如王慧等[1]就研究了二階變系數(shù)線性微分方程何時可以轉(zhuǎn)變?yōu)?span id="j5i0abt0b" class="hl">歐拉方程，常秀芳[2]研究了齊次歐拉方程的通解。但因為歐拉方程的系數(shù)不是常數(shù)，非齊次歐拉方程的求解較為困難，獲得的成果也較少。本文用變量代換的方法研究一類特殊的高階歐拉方程。若記，該類方程表達(dá)式為1 二階方程表1 齊次方程（4）的通解2 三階歐拉方程表2 齊次方程（8）的通解3 n階方程（n≥3）

08)0 引 言歐拉函數(shù)φ(n)是數(shù)論中重要內(nèi)容之一，其在理論研究和實際應(yīng)用中都有著十分重要的意義[1].對于包含歐拉函數(shù)φ(n)的方程的正整數(shù)解的研究有著大量的研究成果，如文獻(xiàn)[2-8].在將 Lehmer同余式從模素數(shù)的平方推廣到模任整數(shù)的平方時[9]，Cai[10]引入了廣義歐拉函數(shù)φe(n).對于廣義歐拉函數(shù)φe(n)的性質(zhì)以及方程解的研究，有文獻(xiàn)[11-16]進(jìn)行了一定的研究，為探討歐拉函數(shù)φ(n)與廣義歐拉函數(shù)φe(n)結(jié)合的性質(zhì)，本文將討論廣

747300）歐拉羊的體型龐大，身體堅實，肌肉發(fā)達(dá)，四肢修長有力，是青藏高原一種較為特殊的品種。優(yōu)良的體態(tài)，能夠適應(yīng)高原等特殊的氣候，并且隨著青藏高原等地區(qū)的畜牧業(yè)發(fā)展，適當(dāng)?shù)募竟?jié)性休牧能夠改善青藏高原的生態(tài)環(huán)境，防止過度放牧導(dǎo)致草原退化。因此，藏羊如果在當(dāng)年進(jìn)行育肥出欄就能很好實現(xiàn)季節(jié)性減員，實現(xiàn)季節(jié)性休牧。歐拉羊養(yǎng)殖就能很好地解決這一問題。1 歐拉羊的繁育技術(shù)1.1 配種年齡良好的飼養(yǎng)條件能夠促進(jìn)歐拉羊的快速繁育，因此，適當(dāng)?shù)呐浞N年齡一般選擇在1.5

的主角萊昂哈德·歐拉的，可能不會太多。其實，歐拉與阿基米德、牛頓、高斯同為“數(shù)學(xué)史四大天王”，可阿基米德有“撬起地球”的豪言壯語，牛頓因為蘋果落地聞名世界，高斯少年時就顯露出計算天賦，唯獨歐拉的故事沒有盡人皆知。但是，歐拉離我們并不遙遠(yuǎn)，我們熟悉的各種數(shù)學(xué)符號如用π表示圓周率；用sin、cos表示正、余弦；用f（x）表示函數(shù)……統(tǒng)統(tǒng)是歐拉的創(chuàng)造；今天計算機領(lǐng)域中廣泛使用的RSA公鑰密碼算法（哈希算法），正是以歐拉函數(shù)為基礎(chǔ)?；鸨W(wǎng)的李永樂老師說，歐拉提出

300387）歐拉多項式是組合數(shù)學(xué)中一類極其重要的多項式，歐拉數(shù)也是一類非常重要的組合數(shù)，它們在組合數(shù)學(xué)中有著非常重要的應(yīng)用和意義，因而被廣泛研究并取得了豐碩的成果[1-2].1998 年，Ehrenborg 等[3]通過對歐拉數(shù)加以限制給出了一個關(guān)于單位立方體中相鄰2 個切片混合體積的組合解釋.在此基礎(chǔ)上，2008年，Brenti 等[4]在經(jīng)典歐拉多項式和歐拉數(shù)的基礎(chǔ)上，通過限制排列的第一位提出了限制歐拉多項式和限制歐拉數(shù)的概念，并研究了它們的相關(guān)性

線性微分方程——歐拉方程[1-4]。1 概念定義形如的方程，稱為歐拉方程。其中：p1,p2,…,pn-1,pn是常 數(shù)且p1≠0, 當(dāng)f(x)≡0 時 ，方 程xny(n)+p1xn-1xy(n-1)+… +pn-1xy′+pny=0 稱為n階線性齊次歐拉方程。當(dāng)f(x)≠0 時，方程xny(n)+p1xn-1y(n-1)x+…+pn-1xy′+pny=f(x)稱為n階線性非齊次歐拉方程。歐拉方程用微分算子表示為由解的結(jié)構(gòu)知：只要能求得n階線性齊次歐拉的通

t+1。2.2 歐拉法歐拉法公式：un+1=un+hf(tn，un)。2.3 梯形法2.4 改進(jìn)歐拉法2.5 RK法其中Wi，αi，βij均為待定系數(shù)，實際計算時，用un代替u(tn)，上述公式稱為s級RK方法。2.6 Adams法Adams方法是一種線性多步法。Adams四階預(yù)測—校正格式(PECE)，這是一個四步方法，計算un+4時要用到un+3，un+2，un+1，un，因此它不是自開始的，一般需要四階RK法為其提供出發(fā)值：u1，u2，u3。(p為階

65年，大數(shù)學(xué)家歐拉建立了一個重要的幾伺不等式，現(xiàn)被稱為歐拉不等式，即三角形外接圓半徑至少是其內(nèi)切圓半徑的兩倍，近年來，許多學(xué)者在探究歐拉不等式的加強，如2015年文[1]中研究著名的外森比克不等式的加強時提出了幾個關(guān)于歐拉不等式加強的問題，其中包括如下優(yōu)美不等式（1）;2016年文[2]中首次給出了不等式（1）的證明.

=EG,則稱G是歐拉圖。如果一個圖G包含一條閉跡使得VW=VG,或包含一個生成歐拉子圖，則稱G是超歐拉圖。定義1 在圖G中，如果對于每一個點v∈VG，滿足點刪除子圖G-v是超歐拉圖，那么G稱為D-超歐拉圖。定義2 在超歐拉圖G中，如果對于每一個點v∈VG，滿足點刪除子圖G-v是超歐拉圖，那么G稱為T-超歐拉圖。Boesch,Suffel和Tindell[3]在1977年提出了超歐拉問題，他們致力于刻畫出包含生成歐拉子圖的無向圖，與此同時，他們表示這個問題是

50108)關(guān)于歐拉不等式一個猜想的改進(jìn)黃銀珠福建省福州市閩侯縣上街實驗學(xué)校 (350108)設(shè)ΔABC的三邊為a,b,c，外接圓和內(nèi)接圓半徑分別為R,r，則有不等式R≥2r，此即為著名的歐拉不等式.文[1]提出歐拉不等式的如下加強猜想.文[2]中給出該猜想的驗證.事實上，早在1974年，就已有如下更強的結(jié)論[3]因為(a+b+c)(a3+b3+c3)-(a2+b2+c2)2=∑ab(a-b)2≥0(Σ表示輪換對稱求和).本文將式(1)作進(jìn)一步的改進(jìn)，建立

5000)重力場歐拉反褶積最優(yōu)解提取周 勇1，3，4， 曹書錦2,3， 侯萍萍2， 楊子龍2(1. 湖南文理學(xué)院 資源環(huán)境與旅游學(xué)院，常德 415000；2. 湖南科技大學(xué) 頁巖氣資源利用湖南重點實驗室，資源環(huán)境與安全工程學(xué)院，湘潭 411201；3. 中南大學(xué) 地球科學(xué)與信息物理學(xué)院，長沙 410083;4.湖南文理學(xué)院 洞庭湖生態(tài)經(jīng)濟區(qū)建設(shè)與發(fā)展湖南省協(xié)同創(chuàng)新中心，常德 415000)在傳統(tǒng)重力場歐拉反褶積中，單一構(gòu)造指數(shù)難于表征多個異弱常源；而枚舉構(gòu)

637100）歐拉不等式的兩個三角形式的加強鏈楊永剛（南充市高坪中學(xué)，四川 南充 637100）對文[1,2]中歐拉不等式的加強或加強鏈作了進(jìn)一步的優(yōu)化，得到兩個三角形式的加強鏈．歐拉不等式；三角形式；加強鏈設(shè)R，r分別為△A B C的外接圓及內(nèi)切圓半徑，則有R≥2 r，當(dāng)且僅當(dāng)△A B C為正三角形時取等號．這就是著名的歐拉不等式．文[1]給出了歐拉不等式的一個三角形式的加強鏈：引理1設(shè)R，r分別為△A B C的外接圓及內(nèi)切圓半徑，則有文[2]對以上結(jié)

315) 何 燈歐拉不等式一個加強的類似福建省福清第三中學(xué) (350315) 何 燈設(shè)ΔABC的三邊為a,b,c，外接圓和內(nèi)切圓半徑分別為R,r，則有著名的歐拉不等式R≥2r.文[1]中建立了歐拉不等式的如下三角形式的加強不等式定理1 設(shè)R,r分別為ΔABC的外接圓和內(nèi)切圓半徑，則有(Σ表示循環(huán)和)綜上可得f(s)≥0，從而得定理2成立.[1]鐘建新.歐拉不等式的一個三角形式的加強鏈[J].數(shù)學(xué)通報,2012,51(1):63.

5) 何 燈關(guān)于歐拉不等式一個猜想的證明福建省福清第三中學(xué) (350315) 何 燈設(shè)ΔABC的三邊為a,b,c，外接圓和內(nèi)切圓半徑分別為R,r，有不等式R≥2r.文[1]提出歐拉不等式的如下加強猜想當(dāng)t∈(10,+)，由引理3得顯然此時式(2)也成立.[1]馬占山,何慧敏.一個與歐拉不等式相關(guān)的不等式問題的證明[J],中學(xué)數(shù)學(xué)研究(江西),2016,2,19-20.[2]何燈,田芳松. 歐拉不等式的一個加強猜想的驗證[J],福建中學(xué)數(shù)學(xué),2016,6,9

連通有向圖Γ稱作歐拉圖,當(dāng)且僅當(dāng)Γ滿足下列條件之一:1)?i∈A,φ(i)=02)?p,q∈A,使φ(p)=1,φ(q)=-1,且?i∈A<[p,q},φ(i)=0Swan定理[1]若歐拉圖Γ有V個頂點,E條邊,且E≥2V,則Π(Γ)中奇偶置換各半.構(gòu)造1用歐拉圖構(gòu)作多重線性多項式.令Γ是有N條邊e1,e2,…,eN的歐拉圖,利用Π(Γ)及E={e1,…,eN}所對應(yīng)的非交換未定元集X={x1,…,xN},我們可以構(gòu)作與Γ相應(yīng)的多重線性多項式構(gòu)造2用矩陣單

(d)是Γ的一條歐拉路,具有歐拉路的有向連通圖稱為歐拉圖.眾所周知,連通圖Γp,q有從p到q的歐拉路,當(dāng)且僅當(dāng)下列兩個條件之一成立:a)p=q時,φ+(i)=φ-(i)(?i=1,…,k);b)p≠q時,φ+(p)=φ-(p)+1,φ-(q)=φ(q)+1,且φ+(i)=φ-(i)(?i∈{1,…,k}(〗p,q}).推論0.1[1]令Γp,q是歐拉圖,且|V(Γp,q)|=k,|E(Γ)|=d,若d≥2kn,則fΓp,q(x1,…,xd)=0是Mn(F)

(N)是Γ的一條歐拉路,具有歐拉路的有向連通圖稱為歐拉圖.眾所周知,連通圖Γp,q有從p到q的歐拉路,當(dāng)且僅當(dāng)下列兩個條件之一成立:a)p=q時,φ+(i)=φ-(i)(?i=1,…,k);b)p≠q時,φ+(p)=φ-(p)+1,φ-(q)=φ(q)+1,且φ+(i)=φ-(i)(?i∈{1,…,k}(〗p,q}).由定理0.1立即可以得到推論0.1[1]令Γp,q是歐拉圖,且|V(Γp,q)|=k,|E(Γp,q)|=N,若N≥2kn,則fΓp,q(x

魚昆歐拉（Euler，1707～1783），瑞士數(shù)學(xué)家及自然科學(xué)家。在數(shù)學(xué)的諸多領(lǐng)域我們都可以看到他的名字——初等幾何的歐拉線、多面體的歐拉定理、立體解析幾何的歐拉變換公式、數(shù)論的歐拉函數(shù)、變分法的歐拉方程、復(fù)變函數(shù)的歐拉公式……作為數(shù)學(xué)家，歐拉所做出的貢獻(xiàn)是無人能夠比擬的，作為一個普通人，他同樣是優(yōu)秀的。在歐拉的身上，我們讀到了這樣三個詞：叛逆、頑強和謙遜。追求科學(xué)真相的“叛逆”少年歐拉從小就聰明好學(xué)，特別是進(jìn)入神學(xué)院受到的一系列教育，更增加了他對學(xué)習(xí)的

把形如的方程稱為歐拉方程，（其中 a1,a2,…, an是常數(shù)），并給出了其解法，如果定義形式僅局限于此，對于更深刻的理解歐拉方程，掌握歐拉方程的應(yīng)用很不利，因此有必要將其從形式到解法進(jìn)行推廣，使其應(yīng)用更廣泛。1 推廣的歐拉方程及解法定義1 形如的方程（其中 a, b, a1, a2,… ,an均為常數(shù)）稱為推廣的歐拉方程。a=1，b=0則方程(2)轉(zhuǎn)化成方程(1)，因此方程(1)是方程(2)的特殊情況。在方程（2）中令t=ax+b，則代入(2)中得即方程

頓，１８世紀(jì)則是歐拉的天下。他是歷史上最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家，一生完成的論文和著作有８８６篇或部，其中數(shù)學(xué)著作占了一大半。正如貝多芬耳聾之后并未阻擋他對音樂創(chuàng)作的激情一樣，歐拉在晚年雙目失明的１７年中，依然保持了驚人的創(chuàng)造力，依靠口述完成了大量的著作和論文。歐拉不是純粹的數(shù)學(xué)家，他在物理學(xué)、天文學(xué)領(lǐng)域均有很深的造詣，在生理學(xué)和文學(xué)方面，也是知識淵博的學(xué)者。１７０７年４月１５日，歐拉生于瑞士的巴塞爾，他的父親是一位牧師，早年畢業(yè)于巴塞爾大學(xué)，是數(shù)學(xué)家雅各布·伯努利的

李美珠歐拉是數(shù)學(xué)史上著名的數(shù)學(xué)家，他在數(shù)論、幾何學(xué)、微積分等數(shù)學(xué)領(lǐng)域都取得了出色的成就。不過，這個大數(shù)學(xué)家在小時候因為對上帝提出懷疑而被學(xué)校除了名，回家后無事，小歐拉就一面幫爸爸放羊，一面讀書。他讀的大多是數(shù)學(xué)書。爸爸的羊漸漸地增多了，達(dá)到了100只。原來的羊圈有點小了，爸爸決定建造一個新的羊圈。他用尺量了一塊長40米、寬15米的長方形地，一算周長是110米，面積正好是600平方米，平均每一頭羊占地6平方米，爸爸正打算動工的時候，卻發(fā)現(xiàn)材料只夠圍100米的