矩陣環(huán)的歐拉恒等式

曹明,馮怡君,魏亞萍,游松發(fā)

(湖北大學數(shù)學與計算機科學學院,湖北 武漢 430062)

0 預備知識

一個有限連通有向圖Γ稱作歐拉圖,當且僅當Γ滿足下列條件之一:

1)?i∈A,φ(i)=0

2)?p,q∈A,使φ(p)=1,φ(q)=-1,且?i∈A<[p,q},φ(i)=0

Swan定理[1]若歐拉圖Γ有V個頂點,E條邊,且E≥2V,則Π(Γ)中奇偶置換各半.

構造1用歐拉圖構作多重線性多項式.

令Γ是有N條邊e1,e2,…,eN的歐拉圖,利用Π(Γ)及E={e1,…,eN}所對應的非交換未定元集X={x1,…,xN},我們可以構作與Γ相應的多重線性多項式

構造2用矩陣單位替換映射和歐拉圖構作新的有向圖.

構造3利用歐拉路構造只有唯一歐拉路的歐拉圖.

首先,我們定義函數(shù)π*:{1,2,…,N+1}→A={1,2,…,k},使π*(1)=σ(eπ(1));π*(r)=σ(eπ(r))=τ(eπ(r-1)),2≤r≤N,π*(N+1)=τ(eπ(N)).

然后,按遞歸的方式來定義二元序列:(g(1),w1),(g(2),w2),…,(g(r),wr)(1≤r≤N+1),其中g(r)是自然數(shù),wr?{1,2,…,N,N+1}.

若令g(1)=1,w1=Φ,須考慮3種情形:

情形1．π*(r+1)≠π*(t),?1≤t≤r;

情形2．π*(r+1)=π*(t),π*(r+1)≠π*(s),?t+1≤s≤r,t∈wr;

情形3．π*(r+1)=π*(t),π*(r+1)≠π*(s),?t+1≤s≤r,t?wr.

按以上3種情形,令

圖1 歐拉圖Γ

圖2 歐拉圖

1 主要結果

定理1的證明由于fΓ(X)是多重線性的,又C是交換環(huán),只須證明對任意替換S:X={x1,…,xN}→{Eab|1≤a,b≤n},有fΓ(S(X))=0.

令S(xr)=Ea(r)b(r)(1≤r≤N),則

(1)

由(1)式,我們有n×n陣fΓ(S(X))在(g(1),g(N+1))位置上的元為Sgn(π),因而非零.

2 應用

圖3 1個頂點、N條邊的歐拉圖

g(1)=g(2)=1

g(3)=g(4)=2

?

g(2s+1)=g(2s+2)=s+1

?

因而,對所有π∈Sym(N),有g(π)=[N/2]+1

特別地,有

圖4 kM條邊的歐拉圖

且易知,?π∈Π(Γ),

g(1)=g(2)=…=g(k+1)=1,

g(k+2)=g(k+3)=…=g(2k+2)=2,

?

g(s(k+1)+1)=g(s(k+1)+2)=…=g((s+1)(k+1)=s+1,

?

因而對所有π∈Π(Γ),我們有g(π)=M-[(M-1)/(k+1)].

特別地,若k=2,M=2n,則Γ是有2個頂點,N=4n條邊的歐拉圖(如圖5),若令π=π1×π2∈Sym(2n)×Sym(2n)=Π(Γ),記從1到2的邊對應的未定元為:x1,…,x2n,從2到1的邊對應的未定元為y1,…,y2n,我們有

圖5 2個頂點、N=4n條邊的歐拉圖

圖6 2個頂點、L+2M條邊的歐拉圖

2)文獻[3]中通過構造Mn(C)中雙樓梯:x1=E11,y1=E12,x2=E22,y2=E23,…,xn=Enn,yn=Enn,xn+1=En,n-1,yn+1=En-1,n-1,…,x2n-1=E21,y2n-1=E11,得到h2n-1(E11,…,Enn,En,n-1,…,E21,E12,…,Enn,En-1,n-1,…,E11)=ΣEii≠0,

即h2n是Mn(C)的最小2-重Capelli多項式,但此時n≥g(π)=M-[(M-1)/(k+1)]=2n-[(2n-1)/3]并不成立,這一事實說明,定理2中n≥g(π)并不是fΓ(X)在Mn(C)上賦值非零的必要條件.

應用3若Γ是有兩個頂點,L+2M條邊的歐拉圖(如圖6),兩頂點間的邊數(shù):α(1,1)=L,α(1,2)=α(2,1)=M,α(2,2)=0,若1到2,2到1,1到1的邊分別對應的未定元集為X,Y,Z,我們有

定理3若C是有1的交換環(huán),且對非負整數(shù)s,有sC≠{0},則fΓ(X,Y,Z)是Mn(C)的多項式恒等式,當且僅當

2M+L≥2(min{n,M+L}+min{n,M})

(2)

定理3的證明充分性是定理1的直接推論,

必要性,須考慮兩種情形:

1)若M≤L/2,此時(2)式等價于n≤L/2;

若n>L/2,顯然n≥[L/2]+1>M,考慮替換S:

S(xr)=E[L/2]+1,r,S(yr)=Er,[M/2]+1(1≤r≤M)

圖7 M≤L/2時的歐拉圖

若L為奇,圖7中虛線出現(xiàn),這條邊可以出現(xiàn)在“花瓣”中任何地方,所有歐拉路在fΓ(S(X),S(Y),S(Z))中符號仍一致,只不過與L為偶時的情形相反而已.

我們得到n×n矩陣fΓ(S(X),S(Y),S(Z))中(1,[L/2]+1)位置的元非零.

2)M>L/2時(即M≥[L/2]+1),(2)式等價于n≤(M/2)+(L/4),

若n>(M/2)+(L/4),我們有n≥[L/2]+[(M-[L/2])/2]+1.

考察替換S:

S(xr)=E[L/2]+1,r,S(yr)=Er,[L/2]+1(1≤r≤[L/2]+1),

圖8 M>L/2時的歐拉圖

按(1)一樣的方法可知n×n矩陣fΓ(S(X),S(Y),S(Z))在(1,[L/2]+[(M-[L/2])/2]+1)或(1,[L/2]+[(M-[L/2]-1)/2]+1)處(依賴于M-[L/2]的奇偶性)位置的元非零.

注:若M=0,我們可以得到Amitsur-Levitzki定理;若L=0,我們可以得到Chang-Giambruno-Sehgal定理.

[1] Swan R G. An application of graph theory to algebra[J]. Proc Amer Math Soc,1963,14:367-373.

[2] Rowen L H. Polynomial identities in ring theory[M]. New York: Academic Press,1980.

[3] Giambruno A, Sehgal S K. On a polynomial identity forn×nmatrices[J]. J Algebra,1989,126:451-453.

[4] Chang Q. Some Sequence of the stadard polynomial[J]. Proc Amer Soc,1988,104:707-710.

[5] Szigeti J. Permanental polynomial identites on matrix ring[J]. J Algebra,1993,161:90-101.

[6] Domokos M. A generalization of a theorem of Chang[J]. Comm in Algebra,1995,23:4333-4342.

[7] 游松發(fā),鄭玉美,胡動剛.歐拉圖與矩陣環(huán)的多項式恒等式[J].數(shù)學進展,2003,32:425-428.